El método de líneas (MOL, NMOL, NUMOL [1] [2] [3] ) es una técnica para resolver ecuaciones diferenciales parciales (EDP) en las que todas las dimensiones, excepto una, están discretizadas. Al reducir una EDP a una única dimensión continua, el método de líneas permite calcular soluciones a través de métodos y software desarrollados para la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO) y sistemas de ecuaciones diferenciales-algebraicas (EDA). A lo largo de los años se han desarrollado muchas rutinas de integración en muchos lenguajes de programación diferentes, y algunas se han publicado como recursos de código abierto . [4]
El método de líneas se refiere con mayor frecuencia a la construcción o análisis de métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales que proceden primero discretizando solo las derivadas espaciales y dejando la variable temporal continua. Esto conduce a un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias al que se puede aplicar un método numérico para ecuaciones ordinarias de valor inicial. El método de líneas en este contexto se remonta al menos a principios de la década de 1960. [5] Desde entonces han aparecido muchos artículos que analizan la precisión y la estabilidad del método de líneas para varios tipos de ecuaciones diferenciales parciales. [6] [7]
MOL requiere que el problema de EDP esté bien planteado como un problema de valor inicial ( Cauchy ) en al menos una dimensión, porque los integradores de EDO y DAE son solucionadores de problemas de valor inicial (IVP). Por lo tanto, no se puede utilizar directamente en ecuaciones diferenciales parciales puramente elípticas , como la ecuación de Laplace . Sin embargo, MOL se ha utilizado para resolver la ecuación de Laplace utilizando el método de falsos transitorios . [1] [8] En este método, se agrega una derivada temporal de la variable dependiente a la ecuación de Laplace. Luego se utilizan diferencias finitas para aproximar las derivadas espaciales, y el sistema de ecuaciones resultante se resuelve mediante MOL. También es posible resolver problemas elípticos mediante un método semianalítico de líneas . [9] En este método, el proceso de discretización da como resultado un conjunto de EDO que se resuelven explotando las propiedades de la matriz exponencial asociada.
Recientemente, para superar los problemas de estabilidad asociados con el método de transitorios falsos, se propuso un enfoque de perturbación que resultó ser más robusto que el método estándar de transitorios falsos para una amplia gama de PDE elípticas. [10]
