Ecuación de Richards

La ecuación de Richards representa el movimiento del agua en suelos no saturados y se atribuye a Lorenzo A. Richards, quien publicó la ecuación en 1931. ^[1] Es una ecuación diferencial parcial cuasilineal ; su solución analítica a menudo se limita a condiciones iniciales y de contorno específicas. ^[2] La prueba de la existencia y unicidad de la solución fue dada solo en 1983 por Alt y Luckhaus . ^[3] La ecuación se basa en la ley de Darcy-Buckingham ^[1] que representa el flujo en medios porosos en condiciones de saturación variable, que se expresa como

${\displaystyle {\vec {q}}=-\mathbf {K} (\theta )(\nabla h+\nabla z),}$

dónde

${\displaystyle {\vec {q}}}$es el flujo volumétrico ;

${\displaystyle \theta }$es el contenido volumétrico de agua ;

${\displaystyle h}$es la carga de presión del líquido , que es negativa para medios porosos no saturados;

${\displaystyle \mathbf {K} (h)}$es la conductividad hidráulica no saturada;

${\displaystyle \nabla z}$es el gradiente de la carga geodésica, que se supone como para los problemas tridimensionales. ${\displaystyle \nabla z=\left({\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}}\right)}$

Considerando la ley de conservación de la masa para un medio poroso incompresible y densidad de líquido constante, expresada como

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {q}}+S=0}$,

dónde

${\displaystyle S}$es el término sumidero [T ], típicamente la absorción de agua por la raíz. ^[4] ${\displaystyle ^{-1}}$

Luego, sustituyendo los flujos por la ley de Darcy-Buckingham, se obtiene la siguiente ecuación de Richards en forma mixta:

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {K} (h)(\nabla h+\nabla z)-S}$.

Para modelar la infiltración unidimensional, esta forma de divergencia se reduce a

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial z}}\left(\mathbf {K} (\theta )\left({\frac {\partial h}{\partial z}}+1\right)\right)-S}$.

Aunque se atribuye a LA Richards, la ecuación fue introducida originalmente 9 años antes por Lewis Fry Richardson en 1922. ^{[5] [6]}

Formulaciones

La ecuación de Richards aparece en muchos artículos de la literatura medioambiental porque describe el flujo en la zona vadosa entre la atmósfera y el acuífero. También aparece en revistas puramente matemáticas porque tiene soluciones no triviales. La formulación mixta dada anteriormente implica dos variables desconocidas: y . Esto se puede resolver fácilmente considerando la relación constitutiva , que se conoce como la curva de retención de agua . Aplicando la regla de la cadena , la ecuación de Richards puede reformularse como ecuación de Richards en forma - (basada en la carga) o en forma - (basada en la saturación). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \theta (h)}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle \theta }$

Basado en la cabeza

Al aplicar la regla de la cadena sobre la derivada temporal se llega a

${\displaystyle {\frac {\partial \theta (h)}{\partial t}}={\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}{\frac {\partial h}{\partial t}}}$,

donde se conoce como capacidad de retención de agua . La ecuación se enuncia entonces como ${\displaystyle {\frac {{\textrm {d}}\theta }{{\textrm {d}}h}}}$ ${\displaystyle C(h)}$

${\displaystyle C(h){\frac {\partial h}{\partial t}}=\nabla \cdot \left(\mathbf {K} (h)\nabla h+\nabla z\right)-S}$.

La ecuación de Richards basada en la cabeza es propensa al siguiente problema computacional: la derivada temporal discretizada que utiliza el método de Rothe implícito produce la siguiente aproximación:

${\displaystyle {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}\approx C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}},\quad {\mbox{and so}}\quad {\frac {\Delta \theta }{\Delta t}}-C(h){\frac {\Delta h}{\Delta t}}=\varepsilon .}$

Esta aproximación produce un error que afecta la conservación de la masa de la solución numérica, por lo que son necesarias estrategias especiales para el tratamiento de las derivadas temporales. ^[7] ${\displaystyle \varepsilon }$

Basado en saturación

Aplicando la regla de la cadena a la derivada espacial se llega a

${\displaystyle \mathbf {K} (h)\nabla h=\mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}\nabla \theta ,}$

donde , que podría formularse además como , se conoce como la difusividad del agua del suelo . La ecuación se enuncia entonces como ${\displaystyle \mathbf {K} (h){\frac {{\textrm {d}}h}{{\textrm {d}}\theta }}}$ ${\displaystyle {\frac {\mathbf {K} (\theta )}{C(\theta )}}}$ ${\displaystyle \mathbf {D} (\theta )}$

${\displaystyle {\frac {\partial \theta }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {D} (\theta )\nabla \theta -S.}$

La ecuación de Richards basada en la saturación es propensa a los siguientes problemas computacionales. Dado que los límites y , donde es el contenido de agua saturada (máximo) y es el contenido de agua residual (mínimo), una solución numérica exitosa está restringida solo para rangos de contenido de agua satisfactorios por debajo de la saturación total (la saturación debe ser incluso menor que el valor de entrada de aire ) así como satisfactorios por encima del contenido de agua residual. ^[8] ${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{s}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty }$ ${\displaystyle \lim _{\theta \to \theta _{r}}||\mathbf {D} (\theta )||=\infty }$ ${\displaystyle \theta _{s}}$ ${\displaystyle \theta _{r}}$

Parametrización

La ecuación de Richards en cualquiera de sus formas involucra las propiedades hidráulicas del suelo, que es un conjunto de cinco parámetros que representan el tipo de suelo. Las propiedades hidráulicas del suelo generalmente consisten en parámetros de la curva de retención de agua de van Genuchten: ^[9] ( ), donde es la inversa del valor de entrada de aire [L ⁻¹ ], es el parámetro de distribución del tamaño de poro [-], y generalmente se asume como . Además, también se debe proporcionar la conductividad hidráulica saturada (que para un entorno no isótropo es un tensor de segundo orden). La identificación de estos parámetros a menudo no es trivial y fue tema de numerosas publicaciones durante varias décadas. ^{[10] [11] [12] [13] [14] [15]} ${\displaystyle \alpha ,\,n,\,m,\,\theta _{s},\theta _{r}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle m=1-{\frac {1}{n}}}$ ${\displaystyle \mathbf {K} _{s}}$

Limitaciones

La solución numérica de la ecuación de Richards es uno de los problemas más desafiantes en las ciencias de la Tierra. ^[16] La ecuación de Richards ha sido criticada por ser computacionalmente costosa e impredecible ^{[17] [18]} porque no hay garantía de que un solucionador converja para un conjunto particular de relaciones constitutivas del suelo. Aquí se requieren soluciones computacionales y de software avanzadas para superar este obstáculo. El método también ha sido criticado por enfatizar demasiado el papel de la capilaridad, ^[19] y por ser en algunos sentidos "demasiado simplista" ^[20]. En simulaciones unidimensionales de infiltración de lluvia en suelos secos, se requiere una discretización espacial fina de menos de un cm cerca de la superficie terrestre, ^[21] lo que se debe al pequeño tamaño del volumen elemental representativo para el flujo multifásico en medios porosos. En aplicaciones tridimensionales, la solución numérica de la ecuación de Richards está sujeta a restricciones de relación de aspecto donde la relación de resolución horizontal a vertical en el dominio de la solución debe ser menor que aproximadamente 7. ^{[ cita requerida ]}

Referencias

1. Richards, LA (1931). "Conducción capilar de líquidos a través de medios porosos". Física . 1 (5): 318–333. Bibcode :1931Physi...1..318R. doi :10.1063/1.1745010.
2. Tracy, FT (agosto de 2006). "Soluciones analíticas limpias bidimensionales y tridimensionales de la ecuación de Richards para probar solucionadores numéricos: NOTA TÉCNICA". Investigación de recursos hídricos . 42 (8). doi : 10.1029/2005WR004638 . S2CID  119938184.
3. Wilhelm Alt, Hans; Luckhaus, Stephan (1 de septiembre de 1983). "Ecuaciones diferenciales elíptico-parabólicas cuasilineales". Mathematische Zeitschrift . 183 (3): 311–341. doi :10.1007/BF01176474. ISSN  1432-1823. S2CID  120607569.
4. Feddes, RA; Zaradny, H. (1 de mayo de 1978). "Modelo para simular el contenido de agua del suelo considerando la evapotranspiración — Comentarios". Revista de hidrología . 37 (3): 393–397. Bibcode :1978JHyd...37..393F. doi :10.1016/0022-1694(78)90030-6. ISSN  0022-1694.
5. Knight, John; Raats, Peter. "Las contribuciones de Lewis Fry Richardson a la teoría del drenaje, la física del suelo y el continuo suelo-planta-atmósfera" (PDF) . Asamblea General de la EGU 2016.
6. Richardson, Lewis Fry (1922). Predicción meteorológica mediante procesos numéricos. Cambridge, The University Press. pp. 262.
7. Celia, Michael A.; Bouloutas, Efthimios T.; Zarba, Rebecca L. (julio de 1990). "Una solución numérica general de conservación de masas para la ecuación de flujo no saturado". Investigación de recursos hídricos . 26 (7): 1483–1496. Código Bibliográfico :1990WRR....26.1483C. doi :10.1029/WR026i007p01483.
8. Kuráž, Michal; Mayer, Petr; Lepš, Matěj; Trpkošová, Dagmar (15 de abril de 2010). "Una discretización temporal adaptativa del modelo clásico y de porosidad dual de la ecuación de Richards". Revista de Matemática Computacional y Aplicada . Métodos de Elementos Finitos en Ingeniería y Ciencia (FEMTEC 2009). 233 (12): 3167–3177. Bibcode :2010JCoAM.233.3167K. doi :10.1016/j.cam.2009.11.056. ISSN  0377-0427.
9. van Genuchten, M. Th. (septiembre de 1980). "Una ecuación de forma cerrada para predecir la conductividad hidráulica de suelos no saturados". Revista de la Sociedad Americana de Ciencias del Suelo . 44 (5): 892–898. Código Bibliográfico :1980SSASJ..44..892V. doi :10.2136/sssaj1980.03615995004400050002x.
10. Inoue, M.; Šimůnek, J.; Shiozawa, S.; Hopmans, JW (junio de 2000). "Estimación simultánea de parámetros hidráulicos del suelo y de transporte de solutos a partir de experimentos de infiltración transitoria". Avances en recursos hídricos . 23 (7): 677–688. Bibcode :2000AdWR...23..677I. doi :10.1016/S0309-1708(00)00011-7.
11. Fodor, Nándor; Sándor, Renata; Orfanus, Tomás; Lichner, Lubomir; Rajkai, Kálmán (octubre de 2011). "Dependencia del método de evaluación de la conductividad hidráulica saturada medida". Geoderma . 165 (1): 60–68. Código Bib : 2011Geode.165...60F. doi :10.1016/j.geoderma.2011.07.004.
12. Angulo-Jaramillo, Rafael; Vandervaere, Jean-Pierre; Roulier, Stéphanie; Thony, Jean-Louis; Gaudet, Jean-Paul; Vauclin, Michel (mayo de 2000). "Medición de campo de las propiedades hidráulicas de la superficie del suelo mediante infiltrómetros de disco y anillo". Investigación de suelos y labranza . 55 (1–2): 1–29. doi :10.1016/S0167-1987(00)00098-2.
13. Köhne, J. Maximilian; Mohanty, Binayak P.; Šimůnek, Jirka (enero de 2006). "Modelado de permeabilidad dual inversa del flujo de agua preferencial en una columna de suelo e implicaciones para el transporte de solutos a escala de campo". Revista Vadose Zone . 5 (1): 59–76. Bibcode :2006VZJ.....5...59K. doi :10.2136/vzj2005.0008. ISSN  1539-1663. S2CID  781417.
14. Younes, Anis; Mara, Thierry; Fahs, Marwan; Grunberger, Olivier; Ackerer, Philippe (3 de mayo de 2017). "Evaluación de parámetros hidráulicos y de transporte mediante experimentos de infiltración en columnas". Hidrología y Ciencias del Sistema Terrestre . 21 (5): 2263–2275. Bibcode :2017HESS...21.2263Y. doi : 10.5194/hess-21-2263-2017 . ISSN  1607-7938.
15. Kuraz, Michal; Jačka, Lukáš; Ruth Blöcher, Johanna; Lepš, Matěj (1 de noviembre de 2022). "Metodología de calibración automatizada para evitar problemas de convergencia durante la identificación inversa de las propiedades hidráulicas del suelo". Avances en software de ingeniería . 173 : 103278. doi :10.1016/j.advengsoft.2022.103278. ISSN  0965-9978. S2CID  252508220.
16. Farthing, Matthew W. y Fred L. Ogden, (2017). Solución numérica de la ecuación de Richards: una revisión de avances y desafíos. Revista de la Sociedad Americana de Ciencias del Suelo , 81(6), pp.1257-1269.
17. Short, D., WR Dawes e I. White (1995). La viabilidad de utilizar la ecuación de Richards para modelos de dinámica suelo-agua de uso general. Envir. Int'l . 21(5):723-730.
18. Tocci, MD, CT Kelley y CT Miller (1997), Solución precisa y económica de la forma de presión-cabeza de la ecuación de Richards mediante el método de líneas, Adv. Wat. Resour. , 20(1), 1–14.
19. Germann, P. (2010), Comentario sobre “Teoría para el modelado de película de superficie libre y sensible a la fuente de flujo no saturado”, Vadose Zone J. 9(4), 1000-1101.
20. Gray, WG y S. Hassanizadeh (1991), Paradojas y realidades en la teoría del flujo no saturado, Water Resour. Res. , 27(8), 1847-1854.
21. Downer, Charles W. y Fred L. Ogden (2003), Hydrol. Proc. , 18, págs. 1-22. DOI:10.1002/hyp.1306.

Véase también

• Infiltración (hidrología)
• Curva de retención de agua
• Método de flujo en zona vadosa con contenido finito de agua
• Ecuación de la velocidad de la humedad del suelo