logaritmo complejo

Logaritmo de un número complejo

Una sola rama del logaritmo complejo. El tono del color se utiliza para mostrar el argumento del logaritmo complejo. El brillo del color se utiliza para mostrar el módulo del logaritmo complejo.

La parte real de log(z) es el logaritmo natural de | z | . Su gráfica se obtiene así girando la gráfica de ln( x ) alrededor del eje z .

En matemáticas , un logaritmo complejo es una generalización del logaritmo natural a números complejos distintos de cero . El término se refiere a uno de los siguientes, que están fuertemente relacionados:

• Un logaritmo complejo de un número complejo distinto de cero , definido como cualquier número complejo para el cual . ^{[1] [2]} Dicho número se denota por . ^[1] Si se da en forma polar como , donde y son números reales con , entonces es un logaritmo de , y todos los logaritmos complejos de son exactamente los números de la forma para números enteros . ^{[1] [2]} Estos logaritmos están igualmente espaciados a lo largo de una línea vertical en el plano complejo. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{w}=z}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r>0}$ ${\displaystyle \ln r+i\theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)}$ ${\displaystyle k}$
• Una función de valor complejo , definida en algún subconjunto del conjunto de números complejos distintos de cero, que satisface para todos en . Estas funciones logarítmicas complejas son análogas a la función logaritmo real , que es la inversa de la función exponencial real y, por tanto, satisface e ^{ln x} = x para todos los números reales positivos x . Las funciones logarítmicas complejas se pueden construir mediante fórmulas explícitas que involucran funciones de valores reales, mediante integración de o mediante el proceso de continuación analítica . ${\displaystyle \log \colon U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle e^{\log z}=z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \ln \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle 1/z}$

No hay una función logarítmica compleja continua definida en todos . Las formas de abordar esto incluyen ramas , la superficie de Riemann asociada e inversas parciales de la función exponencial compleja . El valor principal define una función logarítmica compleja particular que es continua excepto a lo largo del eje real negativo; en el plano complejo con los números reales negativos y 0 eliminados, es la continuación analítica del logaritmo natural (real). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$

Problemas con la inversión de la función exponencial compleja

Un gráfico de la parte imaginaria multivaluada de la función logarítmica compleja, que muestra las ramas. A medida que un número complejo z gira alrededor del origen, la parte imaginaria del logaritmo sube o baja. Esto hace que el origen sea un punto de ramificación de la función.

Para que una función tenga una inversa, debe asignar valores distintos a valores distintos ; es decir, debe ser inyectivo . Pero la función exponencial compleja no es inyectiva, porque para cualquier número complejo y entero , la suma tiene el efecto de girar en radianes en sentido antihorario . Entonces los puntos ${\displaystyle e^{w+2\pi ik}=e^{w}}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle i\theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle e^{w}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \ldots ,\;w-4\pi i,\;w-2\pi i,\;w,\;w+2\pi i,\;w+4\pi i,\;\ldots ,}$

espaciados igualmente a lo largo de una línea vertical, se asignan todos al mismo número mediante la función exponencial. Esto significa que la función exponencial no tiene una función inversa en el sentido estándar. ^{[3] [4]} Hay dos soluciones a este problema.

Una es restringir el dominio de la función exponencial a una región que no contenga dos números que difieran en un múltiplo entero de : esto lleva naturalmente a la definición de ramas de , que son ciertas funciones que seleccionan un logaritmo de cada número en sus dominios. Esto es análogo a la definición de on como el inverso de la restricción de al intervalo : hay infinitos números reales con , pero uno elige arbitrariamente el que está en . ${\displaystyle {\mathit {2\pi i}}}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \arcsin x}$ ${\displaystyle [-1,1]}$ ${\displaystyle \sin \theta }$ ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \sin \theta =x}$ ${\displaystyle [-\pi /2,\pi /2]}$

Otra forma de resolver la indeterminación es ver el logaritmo como una función cuyo dominio no es una región en el plano complejo , sino una superficie de Riemann que cubre el plano complejo perforado de manera infinita a 1.

Las ramas tienen la ventaja de que pueden evaluarse en números complejos. Por otro lado, la función en la superficie de Riemann es elegante porque agrupa todas las ramas del logaritmo y no requiere una elección arbitraria como parte de su definición.

Valor principal

Definición

Para cada número complejo distinto de cero , el valor principal es el logaritmo cuya parte imaginaria se encuentra en el intervalo . ^[2] La expresión se deja sin definir ya que no hay ningún número complejo que satisfaga . ^[1] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} 0}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle e^{w}=0}$

Cuando la notación aparece sin que se haya especificado ningún logaritmo en particular, generalmente es mejor suponer que se pretende utilizar el valor principal. En particular, esto da un valor consistente con el valor real de cuando es un número real positivo. ^{Algunos autores [2]} utilizan la mayúscula en la notación para distinguir el valor principal de otros logaritmos de ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \ln z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle z.}$

Calcular el valor principal

La forma polar de un número complejo distinto de cero es , donde es el valor absoluto de y es su argumento . El valor absoluto es real y positivo. El argumento se define hasta la suma de un múltiplo entero de 2 π . Su valor principal es el valor que pertenece al intervalo , el cual se expresa como . ${\displaystyle z=x+yi}$ ${\displaystyle z=re^{i\theta }}$ ${\textstyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi ]}$ ${\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)}$

Esto lleva a la siguiente fórmula para el valor principal del logaritmo complejo:

${\displaystyle \operatorname {Log} z=\ln r+i\theta =\ln |z|+i\operatorname {Arg} z=\ln {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+i\operatorname {atan2} (y,x).}$

Por ejemplo, y . ${\displaystyle \operatorname {Log} (-3i)=\ln 3-\pi i/2}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (-3)=\ln 3+\pi i}$

El valor principal como función inversa.

Otra forma de describirla es como la inversa de una restricción de la función exponencial compleja, como en la sección anterior. La franja horizontal que consta de números complejos como eso es un ejemplo de una región que no contiene dos números que difieren en un múltiplo entero de , por lo que la restricción de la función exponencial a tiene una inversa. De hecho, la función exponencial se asigna biyectivamente al plano complejo perforado y la inversa de esta restricción es . La siguiente sección de mapeo conforme explica las propiedades geométricas de este mapa con más detalle. ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle w=x+yi}$ ${\displaystyle -\pi <y\leq \pi }$ ${\displaystyle 2\pi i}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}=\mathbb {C} \setminus \{0\}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to S}$

El valor principal como continuación analítica.

En la región formada por números complejos que no son números reales negativos o 0, la función es la continuación analítica del logaritmo natural. Los valores de la recta real negativa se pueden obtener como límites de valores en números complejos cercanos con partes imaginarias positivas. ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

Propiedades

No todas las identidades satisfechas por se extienden a números complejos. Es cierto que para todos (esto es lo que significa que para ser un logaritmo de ), pero la identidad falla para fuera de la franja . Por esta razón, no siempre se puede recurrir a ambos lados de una identidad para deducir . Además, la identidad puede fallar: los dos lados pueden diferir en un múltiplo entero de ; ^[1] por ejemplo, ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle e^{\operatorname {Log} z}=z}$ ${\displaystyle z\not =0}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (e^{z})=z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle e^{z}=e^{w}}$ ${\displaystyle z=w}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} (z_{1}z_{2})=\operatorname {Log} z_{1}+\operatorname {Log} z_{2}}$ ${\displaystyle 2\pi i}$

${\displaystyle \operatorname {Log} ((-1)i)=\operatorname {Log} (-i)=\ln(1)-{\frac {\pi i}{2}}=-{\frac {\pi i}{2}},}$

pero

${\displaystyle \operatorname {Log} (-1)+\operatorname {Log} (i)=\left(\ln(1)+\pi i\right)+\left(\ln(1)+{\frac {\pi i}{2}}\right)={\frac {3\pi i}{2}}\neq -{\frac {\pi i}{2}}.}$

La función es discontinua en cada número real negativo, pero continua en el resto de . Para explicar la discontinuidad, considere lo que sucede cuando se aproxima a un número real negativo . Si se acerca desde arriba, entonces se acerca lo que también es el valor de sí mismo. Pero si se acerca desde abajo, entonces se acerca a So "salta" cuando cruza el eje real negativo, y de manera similar salta ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle \pi ,}$ ${\displaystyle \arg a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle -\pi .}$ ${\displaystyle \arg z}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle 2\pi i.}$

Ramas del logaritmo complejo

¿Existe una forma diferente de elegir un logaritmo de cada número complejo distinto de cero para formar una función que sea continua en todos ? La respuesta es no. Para ver por qué, imagine seguir una función logarítmica a lo largo del círculo unitario , evaluando los aumentos desde hasta . Si es continuo, entonces también lo es , pero este último es una diferencia de dos logaritmos de por lo que toma valores en el conjunto discreto por lo que es constante. En particular, lo que contradice . ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{i\theta }\right)-i\theta }$ ${\displaystyle e^{i\theta },}$ ${\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} ,}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi i=\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0}$ ${\displaystyle \operatorname {L} \left(e^{2\pi i}\right)-2\pi =\operatorname {L} \left(e^{0}\right)-0}$

Para obtener un logaritmo continuo definido en números complejos, es necesario restringir el dominio a un subconjunto más pequeño del plano complejo. Debido a que uno de los objetivos es poder diferenciar la función, es razonable suponer que la función se define en una vecindad de cada punto de su dominio; en otras palabras, debería ser un conjunto abierto . Además, es razonable suponer que está conectado , ya que de lo contrario los valores de la función en diferentes componentes de podrían no estar relacionados entre sí. Todo esto motiva la siguiente definición: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Una rama de es una función continua definida en un subconjunto abierto conectado del plano complejo tal que es un logaritmo de para cada uno en . ^[2] ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Por ejemplo, el valor principal define una rama en el conjunto abierto donde es continuo, que es el conjunto obtenido eliminando 0 y todos los números reales negativos del plano complejo. ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$

Otro ejemplo: la serie Mercator

${\displaystyle \ln(1+u)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}u^{n}=u-{\frac {u^{2}}{2}}+{\frac {u^{3}}{3}}-\cdots }$

converge localmente de manera uniforme para , por lo que la configuración define una rama de en el disco abierto de radio 1 centrado en 1. (En realidad, esto es solo una restricción de , como se puede mostrar diferenciando la diferencia y comparando valores en 1). ${\displaystyle |u|<1}$ ${\displaystyle z=1+u}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

Una vez que se fija una rama, se puede indicar si no puede producirse confusión. Sin embargo, diferentes ramas pueden dar diferentes valores para el logaritmo de un número complejo particular, por lo que una rama debe fijarse de antemano (o bien debe entenderse la rama principal) para que " " tenga un significado preciso e inequívoco. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \log z}$

cortes de ramas

El argumento anterior que involucra el círculo unitario se generaliza para mostrar que no existe ninguna rama de en un conjunto abierto que contiene una curva cerrada que gira alrededor de 0. Se dice que " " tiene un punto de ramificación en 0". Para evitar contener curvas cerradas que giran alrededor de 0, Normalmente se elige como el complemento de un rayo o curva en el plano complejo que va desde 0 (inclusive) hasta el infinito en alguna dirección. En este caso, la curva se conoce como corte de rama . Por ejemplo, la rama principal tiene un corte de rama. a lo largo del eje real negativo. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$

Si la función se extiende para definirse en un punto del corte de rama, necesariamente será discontinua allí; en el mejor de los casos será continuo "en un lado", como en un número real negativo. ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$

La derivada del logaritmo complejo.

Cada rama de en un conjunto abierto es la inversa de una restricción de la función exponencial, es decir, la restricción a la imagen . Dado que la función exponencial es holomorfa (es decir, diferenciable compleja) con derivada que no desaparece, se aplica el análogo complejo del teorema de la función inversa . Muestra que es holomórfico en y para cada uno en . ^[2] Otra forma de demostrar esto es verificar las ecuaciones de Cauchy-Riemann en coordenadas polares . ^[2] ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (U)}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \operatorname {L} '(z)=1/z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Construyendo sucursales a través de la integración

La función real se puede construir mediante la fórmula ${\displaystyle \ln(x)}$ ${\displaystyle x>0}$

$${\displaystyle \ln(x)=\int _{1}^{x}{\frac {du}{u}}.}$$

${\displaystyle a}$

$${\displaystyle \ln(x)=\ln(a)+\int _{a}^{x}{\frac {du}{u}}}$$

Al desarrollar el análogo del logaritmo complejo , existe una complicación adicional: la definición de la integral compleja requiere una elección de camino. Afortunadamente, si el integrando es holomórfico, entonces el valor de la integral no cambia al deformar el camino (mientras se mantienen fijos los puntos finales), y en una región simplemente conexa (una región "sin agujeros"), cualquier camino desde el interior puede deformarse continuamente por dentro en cualquier otro. Todo esto lleva a lo siguiente: ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$

Si es un subconjunto abierto simplemente conexo que no contiene 0, entonces se puede construir una rama de definido en eligiendo un punto de partida en , eligiendo un logaritmo de y definiendo ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

$${\displaystyle L(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {dw}{w}}}$$

para cada uno en . ^[5] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

El logaritmo complejo como aplicación conforme.

Los círculos Re(Log z ) = constante y los rayos Im(Log  z ) = constante en el plano z complejo .

El mapeo de registros complejo asigna radios a líneas horizontales y círculos a líneas verticales

Cualquier aplicación holomorfa que satisfaga a todos es una aplicación conforme , lo que significa que si dos curvas que pasan por un punto de forman un ángulo (en el sentido de que las rectas tangentes a las curvas en forman un ángulo ), entonces las imágenes de las dos curvas forman el mismo ángulo en . Dado que una rama de es holomorfa y su derivada nunca es 0, define una aplicación conforme. ${\displaystyle f\colon U\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f'(z)\neq 0}$ ${\displaystyle z\in U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle 1/z}$

Por ejemplo, la rama principal , vista como un mapeo desde la franja horizontal definida por , tiene las siguientes propiedades, que son consecuencias directas de la fórmula en términos de forma polar: ${\displaystyle w=\operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \left|\operatorname {Im} z\right|<\pi }$

• Los círculos ^[6] en el plano z centrados en 0 se asignan a segmentos verticales en el plano w que se conectan a , donde es el registro real del radio del círculo. ${\displaystyle a-\pi i}$ ${\displaystyle a+\pi i}$ ${\displaystyle a}$
• Los rayos que emanan de 0 en el plano z se asignan a líneas horizontales en el plano w .

Cada círculo y rayo en el plano z como se muestra arriba se encuentran en ángulo recto. Sus imágenes bajo Log son un segmento vertical y una línea horizontal (respectivamente) en el plano w , y estos también se encuentran en ángulo recto. Esta es una ilustración de la propiedad conforme de Log.

La superficie de Riemann asociada

Una visualización de la superficie de Riemann de log  z . La superficie parece girar en espiral alrededor de una línea vertical correspondiente al origen del plano complejo. La superficie real se extiende arbitrariamente tanto horizontal como verticalmente, pero en esta imagen está recortada.

Construcción

Las distintas ramas de no se pueden unir para dar una única función continua porque dos ramas pueden dar valores diferentes en un punto donde ambas están definidas. Compárese, por ejemplo, la rama principal en con la parte imaginaria en y la rama en cuya parte imaginaria se encuentra en . Estos concuerdan en el semiplano superior , pero no en el semiplano inferior. Por lo tanto, tiene sentido pegar los dominios de estas ramas sólo a lo largo de las copias del semiplano superior . El dominio pegado resultante está conectado, pero tiene dos copias del semiplano inferior. Esas dos copias se pueden visualizar como dos niveles de un estacionamiento, y se puede llegar desde el nivel del semiplano inferior hasta el nivel del semiplano inferior yendo en radianes en sentido antihorario alrededor de 0 , cruzando primero el eje real positivo (de el nivel) en la copia compartida del semiplano superior y luego cruzando el eje real negativo (del nivel) en el nivel del semiplano inferior. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle \log \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \operatorname {Log} z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\leq 0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-\pi ,\pi )}$ ${\displaystyle \operatorname {L} (z)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} -\mathbb {R} _{\geq 0}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (0,2\pi )}$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$ ${\displaystyle 2\pi }$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$ ${\displaystyle {\text{L}}}$

Se puede continuar pegando ramas con parte imaginaria en , en , etcétera, y en la otra dirección, ramas con parte imaginaria en , en , etcétera. El resultado final es una superficie conectada que puede verse como un estacionamiento en espiral con infinitos niveles que se extienden tanto hacia arriba como hacia abajo. Esta es la superficie de Riemann asociada a . ^[7] ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (\pi ,3\pi )}$ ${\displaystyle (2\pi ,4\pi )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle (-2\pi ,0)}$ ${\displaystyle (-3\pi ,-\pi )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \log z}$

Un punto en puede considerarse como un par donde hay un posible valor del argumento de . De esta manera, R se puede incrustar en . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} \approx \mathbb {R} ^{3}}$

La función logaritmo en la superficie de Riemann.

Debido a que los dominios de las ramas se pegaron sólo a lo largo de conjuntos abiertos donde sus valores coincidían, las ramas se pegan para dar una única función bien definida . ^[8] Asigna cada punto a . Este proceso de extender la rama original pegando funciones holomorfas compatibles se conoce como continuación analítica . ${\displaystyle \log _{R}\colon R\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \ln |z|+i\theta }$ ${\displaystyle {\text{Log}}}$

Hay un "mapa de proyección" de abajo hacia abajo que "aplana" la espiral, enviando a . Para cualquiera , si se toman todos los puntos que se encuentran "directamente encima" y se evalúan en todos estos puntos, se obtienen todos los logaritmos de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle z}$

Pegando todas las ramas de log z

En lugar de pegar solo las ramas elegidas anteriormente, se puede comenzar con todas las ramas de y pegar simultáneamente cada par de ramas y a lo largo del subconjunto abierto más grande de en el que y estén de acuerdo. Esto produce la misma superficie y función de Riemann que antes. Este enfoque, aunque un poco más difícil de visualizar, es más natural porque no requiere seleccionar ninguna rama en particular. ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle L_{1}\colon U_{1}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle L_{2}\colon U_{2}\to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle U_{1}\cap U_{2}}$ ${\displaystyle L_{1}}$ ${\displaystyle L_{2}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \log _{R}}$

Si es un subconjunto abierto de proyección biyectiva a su imagen en , entonces la restricción de a corresponde a una rama de definida en . Cada rama de surge de esta manera. ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle U'}$ ${\displaystyle \log z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log z}$

La superficie de Riemann como revestimiento universal

El mapa de proyección se realiza como un espacio de cobertura de . De hecho, es una cubierta de Galois con un grupo de transformación de cubierta isomorfa a , generada por el homeomorfismo que envía a . ${\displaystyle R\to \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle (z,\theta )}$ ${\displaystyle (z,\theta +2\pi )}$

Como variedad compleja , es biholomórfica con vía . (El mapa inverso envía a .) Esto muestra que está simplemente conectado, al igual que la cubierta universal de . ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log _{R}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \left(e^{z},\operatorname {Im} (z)\right)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}$

Aplicaciones

• El logaritmo complejo es necesario para definir la exponenciación en la que la base es un número complejo. Es decir, si y son números complejos con , se puede usar el valor principal para definir . También se pueden sustituir por otros logaritmos de para obtener otros valores de , difiriendo por factores de la forma . ^{[1] [9]} La expresión tiene un valor único si y sólo si es un número entero. ^[1] ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a\not =0}$ ${\displaystyle a^{b}=e^{b\operatorname {Log} a}}$ ${\displaystyle \operatorname {Log} a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle e^{2\pi inb}}$ ${\displaystyle a^{b}}$ ${\displaystyle b}$
• Debido a que las funciones trigonométricas se pueden expresar como funciones racionales de , las funciones trigonométricas inversas se pueden expresar en términos de logaritmos complejos. ${\displaystyle e^{iz}}$
• Dado que el mapeo transforma círculos centrados en 0 en segmentos de línea recta vertical, es útil en aplicaciones de ingeniería que involucran un anillo . ^{[ cita necesaria ]} ${\displaystyle w=\operatorname {Log} z}$
• En ingeniería eléctrica, la constante de propagación implica un logaritmo complejo.

Generalizaciones

Logaritmos a otras bases

Al igual que para los números reales, se puede definir para números complejos y ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log x}{\log b}},}$

con la única salvedad de que su valor depende de la elección de una rama del registro definida en y (con ). Por ejemplo, usar el valor principal da ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \log b\not =0}$

${\displaystyle \log _{i}e={\frac {\operatorname {Log} e}{\operatorname {Log} i}}={\frac {1}{\pi i/2}}=-{\frac {2i}{\pi }}.}$

Logaritmos de funciones holomorfas.

Si f es una función holomorfa en un subconjunto abierto conectado de , entonces una rama de on es una función continua de tal que para todos en . Tal función es necesariamente holomorfa con for all in . ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \log f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle e^{g(z)}=f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g'(z)=f'(z)/f(z)}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Si es un subconjunto abierto simplemente conexo de y es una función holomorfa de on que no desaparece en ninguna parte , entonces se puede construir una rama de definida por eligiendo un punto de partida a en , eligiendo un logaritmo de y definiendo ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle \log f}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle f(a)}$

${\displaystyle g(z)=b+\int _{a}^{z}{\frac {f'(w)}{f(w)}}\,dw}$

para cada uno en . ^[2] ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle U}$

Notas

1. Ahlfors, sección 3.4.
2. Sarason, Sección IV.9.
3. Conway, pág. 39.
4. Otra interpretación de esto es que la "inversa" de la función exponencial compleja es una función multivaluada que lleva cada número complejo z distinto de cero al conjunto de todos los logaritmos de z .
5. Lang, pág. 121.
6. Estrictamente hablando, se debe descartar el punto de cada círculo en el eje real negativo, o se debe usar el valor principal allí.
7. Ahlfors, Sección 4.3.
8. Las notaciones R y log _R no se utilizan universalmente.
9. Kreyszig, pag. 640.

Referencias

• Ahlfors, Lars V. (1966). Análisis complejo (2ª ed.). McGraw-Hill.
• Conway, John B. (1978). Funciones de una variable compleja (2ª ed.). Saltador. ISBN 9780387903286.
• Kreyszig, Erwin (2011). Matemáticas de ingeniería avanzada (10ª ed.). Berlín: Wiley . ISBN 9780470458365.
• Lang, Serge (1993). Análisis complejo (3ª ed.). Springer-Verlag. ISBN 9783642592737.
• Moretti, Gino (1964). Funciones de una variable compleja. Prentice Hall.
• Sarason, Donald (2007). Teoría de funciones complejas (2ª ed.). Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 9780821886229.
• Whittaker, et al ; Watson, GN (1927). Un curso de análisis moderno (Cuarta ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge.