Teorema de Liouville (hamiltoniano)

Resultado clave en mecánica hamiltoniana y mecánica estadística

En física , el teorema de Liouville , llamado así por el matemático francés Joseph Liouville , es un teorema clave en la mecánica estadística clásica y la mecánica hamiltoniana . Afirma que la función de distribución del espacio de fases es constante a lo largo de las trayectorias del sistema , es decir, que la densidad de puntos del sistema en la vecindad de un punto dado del sistema que viaja a través del espacio de fases es constante con el tiempo. Esta densidad independiente del tiempo se conoce en mecánica estadística como probabilidad a priori clásica . ^[1]

El teorema de Liouville se aplica a sistemas conservativos , es decir, sistemas en los que los efectos de la fricción están ausentes o pueden ignorarse. La formulación matemática general para tales sistemas es el sistema dinámico que preserva la medida . El teorema de Liouville se aplica cuando hay grados de libertad que pueden interpretarse como posiciones y momentos; no todos los sistemas dinámicos que preservan la medida los tienen, pero los sistemas hamiltonianos sí. La configuración general para las coordenadas conjugadas de posición y momento está disponible en la configuración matemática de la geometría simpléctica . El teorema de Liouville ignora la posibilidad de reacciones químicas , donde el número total de partículas puede cambiar con el tiempo, o donde la energía puede transferirse a grados de libertad internos . Hay extensiones del teorema de Liouville para cubrir estas diversas configuraciones generalizadas, incluidos los sistemas estocásticos. ^[2]

Ecuación de Liouville

Evolución de un conjunto de sistemas clásicos en el espacio de fases (arriba). Cada sistema consta de una partícula masiva en un pozo de potencial unidimensional (curva roja, figura inferior). Mientras que el movimiento de un miembro individual del conjunto está dado por las ecuaciones de Hamilton , la ecuación de Liouville describe el flujo de toda la distribución. El movimiento es análogo al de un tinte en un fluido incompresible.

La ecuación de Liouville describe la evolución temporal de la función de distribución del espacio de fases . Aunque la ecuación suele denominarse "ecuación de Liouville", Josiah Willard Gibbs fue el primero en reconocer la importancia de esta ecuación como ecuación fundamental de la mecánica estadística. ^{[3] [4]} Se la conoce como ecuación de Liouville porque su derivación para sistemas no canónicos utiliza una identidad derivada por primera vez por Liouville en 1838. ^{[5] [6]} Considere un sistema dinámico hamiltoniano con coordenadas canónicas y momentos conjugados , donde . Entonces la distribución del espacio de fases determina la probabilidad de que el sistema se encuentre en el volumen infinitesimal del espacio de fases . La ecuación de Liouville gobierna la evolución de en el tiempo : ${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n}$ ${\displaystyle \rho (p,q)}$ ${\displaystyle \rho (p,q)\;\mathrm {d} ^{n}q\,\mathrm {d} ^{n}p}$ ${\displaystyle \mathrm {d} ^{n}q\,\mathrm {d} ^{n}p}$ ${\displaystyle \rho (p,q;t)}$ ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\frac {d\rho }{dt}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}+{\frac {\partial \rho }{\partial p_{i}}}{\dot {p}}_{i}\right)=0.}$

Las derivadas temporales se indican con puntos y se evalúan de acuerdo con las ecuaciones de Hamilton para el sistema. Esta ecuación demuestra la conservación de la densidad en el espacio de fases (que era el nombre que Gibbs le dio al teorema). El teorema de Liouville establece que

La función de distribución es constante a lo largo de cualquier trayectoria en el espacio de fases.

Una prueba del teorema de Liouville utiliza el teorema de divergencia n -dimensional . Esta prueba se basa en el hecho de que la evolución de obedece a una versión 2n -dimensional de la ecuación de continuidad : ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}_{i})}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}_{i})}{\partial p_{i}}}\right)=0.}$

Es decir, la 3-tupla es una corriente conservada . Observe que la diferencia entre esta ecuación y la de Liouville son los términos ${\displaystyle (\rho ,\rho {\dot {q}}_{i},\rho {\dot {p}}_{i})}$

${\displaystyle \rho \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial {\dot {q}}_{i}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}_{i}}{\partial p_{i}}}\right)=\rho \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\,\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}\right)=0,}$

donde es el hamiltoniano, y donde las derivadas y se han evaluado utilizando las ecuaciones de movimiento de Hamilton. Es decir, al considerar el movimiento a través del espacio de fases como un "flujo fluido" de puntos del sistema, el teorema de que la derivada convectiva de la densidad, , es cero se deduce de la ecuación de continuidad al notar que el "campo de velocidad" en el espacio de fases tiene divergencia cero (lo que se deduce de las relaciones de Hamilton). ^[7] ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \partial {\dot {q}}_{i}/\partial q_{i}}$ ${\displaystyle \partial {\dot {p}}_{i}/\partial p_{i}}$ ${\displaystyle d\rho /dt}$ ${\displaystyle ({\dot {p}},{\dot {q}})}$

Otras formulaciones

Soporte de Poisson

El teorema anterior se suele reformular en términos del corchete de Poisson como

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\{\,H,\rho \,\}}$

o, en términos del operador lineal de Liouville o Liouvillian ,

${\displaystyle \mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}=\sum _{i=1}^{n}\left[{\frac {\partial H}{\partial p_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}\right]=-\{H,\bullet \}}$

como

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\mathrm {i} {\widehat {\mathbf {L} }}}\rho =0.}$

Teoría ergódica

En la teoría ergódica y los sistemas dinámicos , motivados por las consideraciones físicas dadas hasta ahora, hay un resultado correspondiente también conocido como teorema de Liouville. En la mecánica hamiltoniana , el espacio de fases es una variedad suave que viene naturalmente equipada con una medida suave (localmente, esta medida es la medida de Lebesgue de 6 n -dimensional ). El teorema dice que esta medida suave es invariante bajo el flujo hamiltoniano . De manera más general, se puede describir la condición necesaria y suficiente bajo la cual una medida suave es invariante bajo un flujo ^{[ cita requerida ]} . El caso hamiltoniano entonces se convierte en un corolario.

Geometría simpléctica

También podemos formular el teorema de Liouville en términos de geometría simpléctica . Para un sistema dado, podemos considerar el espacio de fases de un hamiltoniano particular como una variedad dotada de una 2-forma simpléctica ${\displaystyle (q^{\mu },p_{\mu })}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

${\displaystyle \omega =dp_{\mu }\wedge dq^{\mu }.}$

La forma de volumen de nuestra variedad es la potencia exterior superior de la forma 2 simpléctica, y es simplemente otra representación de la medida en el espacio de fases descrito anteriormente.

En nuestra variedad simpléctica del espacio de fases podemos definir un campo vectorial hamiltoniano generado por una función como ${\displaystyle f(q,p)}$

${\displaystyle X_{f}={\frac {\partial f}{\partial p_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}-{\frac {\partial f}{\partial q^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}.}$

En concreto, cuando la función generadora es el propio hamiltoniano, , obtenemos ${\displaystyle f(q,p)=H}$

${\displaystyle X_{H}={\frac {\partial H}{\partial p_{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}-{\frac {\partial H}{\partial q^{\mu }}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}={\frac {dq^{\mu }}{dt}}{\frac {\partial }{\partial q^{\mu }}}+{\frac {dp^{\mu }}{dt}}{\frac {\partial }{\partial p_{\mu }}}={\frac {d}{dt}}}$

donde utilizamos las ecuaciones de movimiento de Hamilton y la definición de la regla de la cadena. ^[8]

En este formalismo, el teorema de Liouville establece que la derivada de Lie de la forma de volumen es cero a lo largo del flujo generado por . Es decir, para una variedad simpléctica de 2n dimensiones, ${\displaystyle X_{H}}$ ${\displaystyle (M,\omega )}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}(\omega ^{n})=0.}$

De hecho, se conserva la estructura simpléctica en sí, no sólo su potencia exterior superior. Es decir, el teorema de Liouville también da ^[9] ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{X_{H}}(\omega )=0.}$

Ecuación cuántica de Liouville

El análogo de la ecuación de Liouville en mecánica cuántica describe la evolución temporal de un estado mixto . La cuantificación canónica produce una versión mecánico-cuántica de este teorema, la ecuación de von Neumann . Este procedimiento, que se utiliza a menudo para idear análogos cuánticos de sistemas clásicos, implica describir un sistema clásico utilizando la mecánica hamiltoniana. Las variables clásicas se reinterpretan entonces como operadores cuánticos, mientras que los corchetes de Poisson se sustituyen por conmutadores . En este caso, la ecuación resultante es ^{[10] [11]}

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}[H,\rho ],}$

donde ρ es la matriz de densidad .

Cuando se aplica al valor esperado de un observable , la ecuación correspondiente viene dada por el teorema de Ehrenfest , y toma la forma

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle A\rangle =-{\frac {1}{i\hbar }}\langle [H,A]\rangle ,}$

donde es un observable. Nótese la diferencia de signos, que se desprende del supuesto de que el operador es estacionario y el estado depende del tiempo. ${\displaystyle A}$

En la formulación del espacio de fases de la mecánica cuántica, la sustitución de los corchetes de Moyal por corchetes de Poisson en el análogo del espacio de fases de la ecuación de von Neumann da como resultado la compresibilidad del fluido de probabilidad y, por lo tanto, violaciones de la incompresibilidad del teorema de Liouville. Esto, entonces, conduce a dificultades concomitantes para definir trayectorias cuánticas significativas. ^[12]

Ejemplos

Volumen del espacio de fases SHO

Evolución temporal del espacio de fase para el oscilador armónico simple (SHO). Aquí hemos tomado y estamos considerando la región . ${\displaystyle m=\omega =1}$ ${\displaystyle p,q\in [-1,1]}$

Consideremos un sistema de partículas en tres dimensiones y centrémonos únicamente en la evolución de las partículas. Dentro del espacio de fases, estas partículas ocupan un volumen infinitesimal dado por ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {N}}}$ ${\displaystyle \mathrm {d} {\mathcal {N}}}$

${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma =\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}p_{i}d^{3}q_{i}.}$

Queremos que permanezca igual a lo largo del tiempo, de modo que sea constante a lo largo de las trayectorias del sistema. Si permitimos que nuestras partículas evolucionen en un paso de tiempo infinitesimal , vemos que la posición del espacio de fase de cada partícula cambia a medida que ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma }}}$ ${\displaystyle \rho (\Gamma ,t)}$ ${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle {\begin{cases}q_{i}'=q_{i}+{\dot {q_{i}}}\delta t,\\p_{i}'=p_{i}+{\dot {p_{i}}}\delta t,\end{cases}}}$

donde y denotan y respectivamente, y solo hemos mantenido los términos lineales en . Extendiendo esto a nuestro hipercubo infinitesimal , las longitudes de los lados cambian como ${\displaystyle {\dot {q_{i}}}}$ ${\displaystyle {\dot {p_{i}}}}$ ${\displaystyle {\frac {dq_{i}}{dt}}}$ ${\displaystyle {\frac {dp_{i}}{dt}}}$ ${\displaystyle \delta t}$ ${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma }$

${\displaystyle {\begin{cases}dq_{i}'=dq_{i}+{\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}dq_{i}\delta t,\\dp_{i}'=dp_{i}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}dp_{i}\delta t.\end{cases}}}$

Para hallar el nuevo volumen infinitesimal del espacio de fases , necesitamos el producto de las cantidades anteriores. Para ordenar primero en , obtenemos lo siguiente: ${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '}$ ${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].}$

Hasta ahora, todavía no hemos hecho ninguna especificación sobre nuestro sistema. Ahora, especialicémonos en el caso de osciladores armónicos isótropos de dimensión . Es decir, cada partícula de nuestro conjunto puede tratarse como un oscilador armónico simple . El hamiltoniano para este sistema está dado por ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3}$

${\displaystyle H=\displaystyle \sum _{i=1}^{3N}\left({\frac {1}{2m}}p_{i}^{2}+{\frac {m\omega ^{2}}{2}}q_{i}^{2}\right).}$

Al utilizar las ecuaciones de Hamilton con el hamiltoniano anterior, encontramos que el término entre paréntesis anterior es idénticamente cero, lo que da como resultado

${\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}.}$

A partir de esto podemos encontrar el volumen infinitesimal del espacio de fases:

${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '=\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma .}$

Así, finalmente hemos descubierto que el volumen infinitesimal del espacio de fases no cambia, lo que da como resultado

${\displaystyle \rho (\Gamma ',t+\delta t)={\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma '}}={\frac {\mathrm {d} {\mathcal {N}}}{\mathrm {d} \Gamma }}=\rho (\Gamma ,t),}$

demostrando que el teorema de Liouville es válido para este sistema. ^[13]

La pregunta que queda es cómo evoluciona realmente el volumen del espacio de fases en el tiempo. Más arriba hemos demostrado que el volumen total se conserva, pero no hemos dicho nada sobre cómo se ve. Para una sola partícula podemos ver que su trayectoria en el espacio de fases está dada por la elipse de constante . Explícitamente, uno puede resolver las ecuaciones de Hamilton para el sistema y encontrar ${\displaystyle H}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}(t)&=Q_{i}\cos {\omega t}+{\frac {P_{i}}{m\omega }}\sin {\omega t},\\p_{i}(t)&=P_{i}\cos {\omega t}-m\omega Q_{i}\sin {\omega t},\end{aligned}}}$

donde y denotan la posición inicial y el momento de la partícula -ésima. Para un sistema de múltiples partículas, cada una tendrá una trayectoria en el espacio de fases que traza una elipse correspondiente a la energía de la partícula. La frecuencia a la que se traza la elipse está dada por el en el hamiltoniano, independientemente de cualquier diferencia en la energía. Como resultado, una región del espacio de fases simplemente rotará alrededor del punto con una frecuencia dependiente de . ^[14] Esto se puede ver en la animación anterior. ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )=(0,0)}$ ${\displaystyle \omega }$

Oscilador armónico amortiguado

Evolución del volumen del espacio de fases para el oscilador armónico amortiguado. Se utilizan los mismos valores de parámetros que en el caso SHO, con . ${\displaystyle \gamma =0.5\ (\alpha =0.25)}$

Para ver un ejemplo en el que no se aplica el teorema de Liouville, podemos modificar las ecuaciones de movimiento del oscilador armónico simple para tener en cuenta los efectos de la fricción o la amortiguación. Consideremos de nuevo el sistema de partículas, cada una en un potencial armónico isótropo dimensional, cuyo hamiltoniano se da en el ejemplo anterior. Esta vez, añadimos la condición de que cada partícula experimente una fuerza de fricción , donde es una constante positiva que dicta la cantidad de fricción. Como se trata de una fuerza no conservativa , necesitamos extender las ecuaciones de Hamilton como ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle -\gamma p_{i}}$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\dot {q_{i}}}&={\frac {\partial H}{\partial p_{i}}},\\{\dot {p_{i}}}&=-{\frac {\partial H}{\partial q_{i}}}-\gamma p_{i}.\end{aligned}}}$

A diferencia de las ecuaciones de movimiento del oscilador armónico simple, estas ecuaciones modificadas no adoptan la forma de ecuaciones de Hamilton y, por lo tanto, no esperamos que se cumpla el teorema de Liouville. En cambio, como se muestra en la animación de esta sección, un volumen de espacio de fase genérico se contraerá a medida que evolucione según estas ecuaciones de movimiento.

Para ver esta violación del teorema de Liouville explícitamente, podemos seguir un procedimiento muy similar al caso del oscilador armónico no amortiguado, y llegamos nuevamente a

${\displaystyle dq_{i}'dp_{i}'=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial {\dot {q_{i}}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p_{i}}}}{\partial p_{i}}}\right)\delta t\right].}$

Introduciendo nuestras ecuaciones de Hamilton modificadas, encontramos

${\displaystyle {\begin{aligned}dq_{i}'dp_{i}'&=dq_{i}dp_{i}\left[1+\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q_{i}\partial p_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p_{i}\partial q_{i}}}-\gamma \right)\delta t\right],\\&=dq_{i}dp_{i}\left[1-\gamma \delta t\right].\end{aligned}}}$

Calculando nuestro nuevo volumen de espacio de fase infinitesimal, y manteniendo solo el primer orden, encontramos el siguiente resultado: ${\displaystyle \delta t}$

${\displaystyle \mathrm {d} \Gamma '=\displaystyle \prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}'d^{3}p_{i}'=\left[1-\gamma \delta t\right]^{3N}\prod _{i=1}^{N}d^{3}q_{i}d^{3}p_{i}=\mathrm {d} \Gamma \left[1-3N\gamma \delta t\right].}$

Hemos descubierto que el volumen infinitesimal del espacio de fases ya no es constante y, por lo tanto, la densidad del espacio de fases no se conserva. Como se puede ver en la ecuación, a medida que aumenta el tiempo, esperamos que nuestro volumen del espacio de fases disminuya a cero a medida que la fricción afecta al sistema.

En cuanto a cómo evoluciona el volumen del espacio de fases en el tiempo, seguiremos teniendo la rotación constante como en el caso no amortiguado. Sin embargo, la amortiguación introducirá una disminución constante en los radios de cada elipse. Nuevamente podemos resolver las trayectorias explícitamente usando las ecuaciones de Hamilton, teniendo cuidado de usar las modificadas anteriores. Dejando por conveniencia, encontramos ${\displaystyle \alpha \equiv {\frac {\gamma }{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}q_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[Q_{i}\cos {\omega _{1}t}+B_{i}\sin {\omega _{1}t}\right]&&\omega _{1}\equiv {\sqrt {\omega ^{2}-\alpha ^{2}}},\\p_{i}(t)&=e^{-\alpha t}\left[P_{i}\cos {\omega _{1}t}-m(\omega _{1}Q_{i}+2\alpha B_{i})\sin {\omega _{1}t}\right]&&B_{i}\equiv {\frac {1}{\omega _{1}}}\left({\frac {P_{i}}{m}}+2\alpha Q_{i}\right),\end{aligned}}}$

donde los valores y denotan la posición inicial y el momento de la partícula -ésima. A medida que el sistema evoluciona, el volumen total del espacio de fases se desplazará en espiral hacia el origen. Esto se puede ver en la figura anterior. ${\displaystyle Q_{i}}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle i}$

Observaciones

• La ecuación de Liouville es válida tanto para sistemas en equilibrio como en desequilibrio. Es una ecuación fundamental de la mecánica estadística del desequilibrio .
• La ecuación de Liouville es fundamental para la demostración del teorema de fluctuación , del que se puede derivar la segunda ley de la termodinámica . También es el componente clave de la derivación de las relaciones de Green-Kubo para coeficientes de transporte lineales como la viscosidad de corte , la conductividad térmica o la conductividad eléctrica .
• Prácticamente cualquier libro de texto sobre mecánica hamiltoniana , mecánica estadística avanzada o geometría simpléctica derivará el teorema de Liouville. ^{[9] [15] [16] [17] [18]}
• En física del plasma, la ecuación de Vlasov puede interpretarse como el teorema de Liouville, que reduce la tarea de resolver la ecuación de Vlasov a la del movimiento de una sola partícula. ^[19] Al utilizar el teorema de Liouville de esta manera con la conservación de la energía o del momento magnético, por ejemplo, se pueden determinar campos desconocidos utilizando funciones de distribución de partículas conocidas, o viceversa. Este método se conoce como mapeo de Liouville. ^[19]

Véase también

• Ecuación de transporte de Boltzmann
• Algoritmo de propagación del sistema de referencia reversible (r-RESPA)

Referencias

1. Harald JW Müller-Kirsten, Fundamentos de física estadística, 2.ª ed., World Scientific (Singapur, 2013)
2. Kubo, Ryogo (1963-02-01). "Ecuaciones estocásticas de Liouville". Revista de física matemática . 4 (2): 174–183. Bibcode :1963JMP.....4..174K. doi :10.1063/1.1703941. ISSN  0022-2488.
3. J. W. Gibbs, "Sobre la fórmula fundamental de la mecánica estadística, con aplicaciones a la astronomía y la termodinámica". Actas de la Asociación Estadounidense para el Avance de la Ciencia, 33 , 57-58 (1884). Reproducido en The Scientific Papers of J. Willard Gibbs, vol. II (1906), pág. 16.
4. Gibbs, Josiah Willard (1902). Principios elementales de mecánica estadística . Nueva York: Charles Scribner's Sons .
5. Liouville, José (1838). "Sur la Theorie de la Variation des constantes arbitraires" (PDF) . Journal de mathématiques pures et appliquées . 3 : 342–349.
6. Ehrendorfer, Martin. "La ecuación de Liouville: antecedentes - antecedentes históricos". La ecuación de Liouville en la predictibilidad atmosférica (PDF) . pp. 48–49.
7. Harald JW Müller-Kirsten, Introducción a la mecánica cuántica: ecuación de Schrödinger e integral de trayectoria, 2.ª ed., World Scientific (Singapur, 2012).
8. Nakahara, Mikio (2003). Geometría, topología y física (2.ª ed.). Taylor & Francis Group. pp. 201–204. ISBN 978-0-7503-0606-5.
9. Nash, Oliver (8 de enero de 2015). "El teorema de Liouville para pedantes" (PDF) .Demuestra el teorema de Liouville utilizando el lenguaje de la geometría diferencial moderna.
10. La teoría de los sistemas cuánticos abiertos , de Breuer y Petruccione, pág. 110.
11. Mecánica estadística , por Schwabl, pág. 16.
12. Oliva, Maxime; Kakofengitis, Dimitris; Steuernagel, Ole (2018). "Los sistemas mecánicos cuánticos anarmónicos no presentan trayectorias en el espacio de fases". Physica A: Mecánica estadística y sus aplicaciones . 502 : 201–210. arXiv : 1611.03303 . Bibcode :2018PhyA..502..201O. doi :10.1016/j.physa.2017.10.047. S2CID  53691877.
13. Kardar, Mehran (2007). Física estadística de partículas . University of Cambridge Press. pp. 59–60. ISBN 978-0-521-87342-0.
14. Eastman, Peter (2014–2015). "Evolución de las probabilidades del espacio de fases".
15. Para una derivación particularmente clara, véase Tolman, RC (1979). The Principles of Statistical Mechanics. Dover. pp. 48–51. ISBN. 9780486638966.
16. "Espacio de fases y teorema de Liouville" . Consultado el 6 de enero de 2014 .Casi idéntica a la demostración de este artículo de Wikipedia. Supone (sin demostración) la ecuación de continuidad n -dimensional.
17. "Preservación del volumen del espacio de fases y teorema de Liouville" . Consultado el 6 de enero de 2014 .Una prueba rigurosa basada en cómo el elemento de volumen jacobiano se transforma bajo la mecánica hamiltoniana.
18. "Física 127a: Apuntes de clase" (PDF) . Consultado el 6 de enero de 2014 .Utiliza el teorema de divergencia n -dimensional (sin prueba).
19. Schwartz, SJ, Daly, PW y Fazakerley, AN, 1998, Análisis de la cinética del plasma en naves espaciales múltiples, en Métodos de análisis para datos de naves espaciales múltiples , editado por G. Paschmann y PW Daly, n.º SR-001 en ISSI Scientific Reports, cap. 7, págs. 159-163, ESA Publ. Div., Noordwijk, Países Bajos.

Lectura adicional

• Murugeshan, R. Física moderna . S. Chand.
• Misner; Thorne; Wheeler (1973). "Teoría cinética en el espacio-tiempo curvo". Gravitación . Freeman. págs. 583–590. ISBN 9781400889099.

Enlaces externos

• "Funciones de distribución del espacio de fases y teorema de Liouville".