Precesión de Lense-Thirring

Precesión de un giroscopio debido a la rotación de un cuerpo celeste cercano que afecta el espacio-tiempo

En relatividad general , la precesión de Lense-Thirring o efecto Lense-Thirring ( en alemán austríaco: [ˈlɛnsə ˈtɪrɪŋ] ; llamado así por Josef Lense y Hans Thirring ) es una corrección relativista a la precesión de un giroscopio cerca de una gran masa giratoria como la Tierra. Es un efecto de arrastre de marco gravitomagnético . Es una predicción de la relatividad general que consiste en precesiones seculares de la longitud del nodo ascendente y el argumento del pericentro de una partícula de prueba que orbita libremente alrededor de una masa giratoria central dotada de momento angular . ${\displaystyle S}$

La diferencia entre la precesión de De Sitter y el efecto Lense-Thirring es que el efecto de Sitter se debe simplemente a la presencia de una masa central, mientras que el efecto Lense-Thirring se debe a la rotación de la masa central. La precesión total se calcula combinando la precesión de De Sitter con la precesión Lense-Thirring.

Según un análisis histórico realizado en 2007 por Herbert Pfister, ^[1] el efecto debería rebautizarse como efecto Einstein -Thirring-Lense.

La métrica Lense-Thirring

El campo gravitatorio de un cuerpo esférico giratorio de densidad constante fue estudiado por Lense y Thirring en 1918, en la aproximación de campo débil . Obtuvieron la métrica ^{[2] [3]}

$${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}=\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)c^{2}\,\mathrm {d} t^{2}-\left(1+{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)\,\mathrm {d} \sigma ^{2}+4G\epsilon _{ijk}S^{k}{\frac {x^{i}}{c^{3}r^{3}}}c\,\mathrm {d} t\,\mathrm {d} x^{j},}$$donde los símbolos representan:

• ${\displaystyle \mathrm {d} s^{2}}$La métrica ,
• ${\displaystyle \mathrm {d} \sigma ^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,\mathrm {d} \varphi ^{2}}$el elemento de línea de espacio plano en tres dimensiones,
• ${\textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}$la posición "radial" del observador,
• ${\displaystyle c}$la velocidad de la luz ,
• ${\displaystyle G}$la constante gravitacional ,
• ${\displaystyle \epsilon _{ijk}}$El símbolo de Levi-Civita , completamente antisimétrico ,
• ${\textstyle M=\int T^{00}\,\mathrm {d} ^{3}x}$la masa del cuerpo giratorio,
• ${\textstyle S_{k}=\int \epsilon _{klm}x^{l}T^{m0}\,\mathrm {d} ^{3}x}$el momento angular del cuerpo giratorio,
• ${\displaystyle T^{\mu \nu }}$el tensor de energía-momento .

Lo anterior es la aproximación de campo débil de la solución completa de las ecuaciones de Einstein para un cuerpo giratorio, conocida como métrica de Kerr , la cual, debido a la dificultad de su solución, no se obtuvo hasta 1965.

El término de Coriolis

El efecto de arrastre de los marcos de referencia se puede demostrar de varias maneras. Una de ellas es resolver las geodésicas ; éstas exhibirán entonces un término similar a la fuerza de Coriolis , excepto que, en este caso (a diferencia de la fuerza de Coriolis estándar), la fuerza no es ficticia, sino que se debe al arrastre de los marcos de referencia inducido por el cuerpo giratorio. Así, por ejemplo, una geodésica que cae radialmente (instantáneamente) en el ecuador satisfará la ecuación ^[2] donde $${\displaystyle r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}+2{\frac {GJ}{c^{2}r^{3}}}{\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=0,}$$

• ${\displaystyle t}$es el momento,
• ${\displaystyle \varphi }$es el ángulo azimutal (ángulo longitudinal),
• ${\displaystyle J=\Vert S\Vert }$es la magnitud del momento angular del cuerpo masivo giratorio.

Lo anterior se puede comparar con la ecuación estándar para el movimiento sujeto a la fuerza de Coriolis :

$${\displaystyle r{\frac {\mathrm {d} ^{2}\varphi }{\mathrm {d} t^{2}}}+2\omega {\frac {\mathrm {d} r}{\mathrm {d} t}}=0,}$$

donde es la velocidad angular del sistema de coordenadas giratorio. Nótese que, en cualquier caso, si el observador no está en movimiento radial, es decir, si , no hay ningún efecto sobre el observador. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle dr/dt=0}$

Precesión

El efecto de arrastre de cuadros hará que el giroscopio realice una precesión . La tasa de precesión se expresa en ^[3], donde: $${\displaystyle \Omega ^{k}={\frac {G}{c^{2}r^{3}}}\left[S^{k}-3{\frac {(S\cdot x)x^{k}}{r^{2}}}\right],}$$

• ${\displaystyle \Omega }$es la velocidad angular de la precesión, un vector y uno de sus componentes, ${\displaystyle \Omega _{k}}$
• ${\displaystyle S_{k}}$el momento angular del cuerpo giratorio, como antes,
• ${\displaystyle S\cdot x}$el producto interno plano-métrico ordinario de la posición y el momento angular.

Es decir, si el momento angular del giroscopio con respecto a las estrellas fijas es , entonces precesa como ${\displaystyle L^{i}}$ $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} L^{i}}{\mathrm {d} t}}=\epsilon _{ijk}\Omega ^{j}L^{k}.}$$

La velocidad de precesión se obtiene mediante la fórmula: donde es el símbolo de Christoffel para la métrica anterior. Gravitación de Misner, Thorne y Wheeler ^[3] proporciona pistas sobre cómo calcularla de la forma más sencilla. $${\displaystyle \epsilon _{ijk}\Omega ^{k}=\Gamma _{ij0},}$$ ${\displaystyle \Gamma _{ij0}}$

Análisis gravitomagnético

En algunos círculos es popular utilizar el enfoque gravitomagnético para las ecuaciones de campo linealizadas . La razón de esta popularidad debería ser evidente de inmediato a continuación, al contrastarla con las dificultades de trabajar con las ecuaciones anteriores. La métrica linealizada se puede leer a partir de la métrica de Lense-Thirring dada anteriormente, donde , y . En este enfoque, se escribe la métrica linealizada, dada en términos de los potenciales gravitomagnéticos y es y donde es el potencial gravitoeléctrico, y es el potencial gravitomagnético. Aquí es la coordenada espacial 3D del observador, y es el momento angular del cuerpo giratorio, exactamente como se definió anteriormente. Los campos correspondientes son para el campo gravitoeléctrico, y es el campo gravitomagnético. Entonces es una cuestión de sustitución y reordenamiento para obtener como el campo gravitomagnético. Tenga en cuenta que es la mitad de la frecuencia de precesión de Lense-Thirring. En este contexto, la precesión de Lense-Thirring puede considerarse esencialmente como una forma de precesión de Larmor . El factor 1/2 sugiere que el análogo gravitomagnético correcto de la relación giromagnética es (¡curiosamente!) dos. Este factor de dos puede explicarse de forma completamente análoga al factor g del electrón teniendo en cuenta los cálculos relativistas. ${\displaystyle h_{\mu \nu }=g_{\mu \nu }-\eta _{\mu \nu }}$ ${\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }}$ ${\displaystyle \eta _{\mu \nu }\,dx^{\mu }\,dx^{\nu }=c^{2}\,dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {\vec {A}}}$ $${\displaystyle h_{00}={\frac {-2\phi }{c^{2}}}}$$ $${\displaystyle h_{0i}={\frac {2A_{i}}{c^{2}}},}$$ $${\displaystyle \phi ={\frac {-GM}{r}}}$$ $${\displaystyle {\vec {A}}={\frac {G}{2r^{3}c}}{\vec {S}}\times {\vec {r}}}$$ ${\displaystyle {\vec {r}}}$ ${\displaystyle {\vec {S}}}$ $${\displaystyle {\vec {E}}=-\nabla \phi -{\frac {\partial {\vec {A}}}{\partial t}}}$$ $${\displaystyle {\vec {B}}={\vec {\nabla }}\times {\vec {A}}}$$ $${\displaystyle {\vec {B}}=-{\frac {G}{2cr^{3}}}\left[{\vec {S}}-3{\frac {({\vec {S}}\cdot {\vec {r}}){\vec {r}}}{r^{2}}}\right]}$$

El análogo gravitomagnético de la fuerza de Lorentz en el límite no relativista está dado por donde es la masa de una partícula de prueba que se mueve con velocidad . Esto se puede utilizar de manera sencilla para calcular el movimiento clásico de los cuerpos en el campo gravitomagnético. Por ejemplo, un cuerpo que cae radialmente tendrá una velocidad ; la sustitución directa produce el término de Coriolis dado en una sección anterior. $${\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {E}}+m{\frac {\vec {v}}{c}}\times {\vec {B}},}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}=-{\hat {r}}\,dr/dt}$

Ejemplo: El péndulo de Foucault

Para tener una idea de la magnitud del efecto, lo anterior se puede utilizar para calcular la velocidad de precesión del péndulo de Foucault , ubicado en la superficie de la Tierra.

Para una bola sólida de densidad uniforme, como la Tierra, de radio , el momento de inercia está dado por de modo que el valor absoluto del momento angular es con la velocidad angular de la bola giratoria. ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle 2MR^{2}/5,}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Vert S\Vert =2MR^{2}\omega /5,}$ ${\displaystyle \omega }$

La dirección de giro de la Tierra puede tomarse como el eje z , mientras que el eje del péndulo es perpendicular a la superficie de la Tierra, en la dirección radial. Por lo tanto, podemos tomar , donde es la latitud . De manera similar, la ubicación del observador está en la superficie de la Tierra . Esto deja como resultado la velocidad de precesión como ${\displaystyle {\hat {z}}\cdot {\hat {r}}=\cos \theta }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle R}$ $${\displaystyle \Omega _{\text{LT}}={\frac {2}{5}}{\frac {GM\omega }{c^{2}R}}\cos \theta .}$$

Como ejemplo se utiliza como referencia la latitud de la ciudad de Nijmegen en los Países Bajos. Esta latitud proporciona un valor para la precesión de Lense-Thirring. $${\displaystyle \Omega _{\text{LT}}=2.2\cdot 10^{-4}{\text{ arcseconds}}/{\text{day}}.}$$

A este ritmo, un péndulo de Foucault tendría que oscilar durante más de 16.000 años para precesar un grado. A pesar de ser bastante pequeño, sigue siendo dos órdenes de magnitud mayor que la precesión de Thomas para un péndulo de este tipo.

Lo anterior no incluye la precesión de Sitter ; sería necesario agregarla para obtener las precesiones relativistas totales en la Tierra.

Verificación experimental

El efecto Lense-Thirring, y el efecto del arrastre de fotogramas en general, continúan estudiándose experimentalmente. Existen dos escenarios básicos para las pruebas experimentales: la observación directa a través de satélites y naves espaciales en órbita alrededor de la Tierra, Marte o Júpiter, y la observación indirecta mediante la medición de fenómenos astrofísicos, como los discos de acreción que rodean los agujeros negros y las estrellas de neutrones , o los chorros astrofísicos que emanan de los mismos.

El conjunto de instrumentos científicos de la nave espacial Juno caracterizará y explorará principalmente la estructura tridimensional de la magnetosfera polar de Júpiter , las auroras y la composición de masa. ^[4] Como Juno es una misión de órbita polar, será posible medir el arrastre del marco orbital , también conocido como precesión Lense-Thirring, causado por el momento angular de Júpiter. ^[5]

Los resultados de los entornos astrofísicos se presentan a continuación de la siguiente sección.

Entorno astrofísico

Una estrella que orbita un agujero negro supermasivo giratorio experimenta una precesión Lense-Thirring, lo que hace que su línea orbital de nodos precese a una velocidad ^[6] donde $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \Omega }{\mathrm {d} t}}={\frac {2GS}{c^{2}a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}}}={\frac {2G^{2}M^{2}\chi }{c^{3}a^{3}\left(1-e^{2}\right)^{3/2}}},}$$

• a y e son el semieje mayor y la excentricidad de la órbita,
• M es la masa del agujero negro,
• χ es el parámetro de espín adimensional (0 <  χ  < 1).

Las estrellas en precesión también ejercen un par sobre el agujero negro, lo que hace que su eje de rotación precese a una velocidad ^[7] donde $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {S} }{\mathrm {d} t}}={\frac {2G}{c^{2}}}\sum _{j}{\frac {\mathbf {L} _{j}\times \mathbf {S} }{a_{j}^{3}\left(1-e_{j}^{2}\right)^{3/2}}},}$$

• L _j es el momento angular de la j -ésima estrella,
• a _j y e _j son su semieje mayor y excentricidad.

Un disco de acreción gaseoso que está inclinado con respecto a un agujero negro giratorio experimentará una precesión Lense-Thirring, a una velocidad dada por la ecuación anterior, después de establecer e  = 0 e identificar a con el radio del disco. Debido a que la velocidad de precesión varía con la distancia al agujero negro, el disco se "enrollará" hasta que la viscosidad fuerce al gas a entrar en un nuevo plano, alineado con el eje de giro del agujero negro (el "efecto Bardeen-Petterson"). ^[8]

Pruebas astrofísicas

La orientación de un chorro astrofísico se puede utilizar como evidencia para deducir la orientación de un disco de acreción ; un cambio rápido en la orientación de un chorro sugiere una reorientación del disco de acreción, como se describió anteriormente. Exactamente un cambio de este tipo se observó en 2019 con el sistema binario de rayos X de agujero negro en V404 Cygni . ^[9]

Los púlsares emiten pulsos de radio que se repiten rápidamente con una regularidad extremadamente alta, que se puede medir con precisión de microsegundos a lo largo de períodos de años e incluso décadas. Un estudio de 2020 informa sobre la observación de un púlsar en una órbita estrecha con una enana blanca , con una precisión de submilisegundos a lo largo de dos décadas. La determinación precisa permite estudiar el cambio de los parámetros orbitales; estos confirman el funcionamiento del efecto Lense-Thirring en este entorno astrofísico. ^[10]

Es posible detectar el efecto Lense-Thirring mediante la medición a largo plazo de la órbita de la estrella S2 alrededor del agujero negro supermasivo en el centro de la Vía Láctea , utilizando el instrumento GRAVITY del Very Large Telescope . ^[11] La estrella orbita con un período de 16 años, y debería ser posible restringir el momento angular del agujero negro observando la estrella durante dos o tres períodos (32 a 48 años). ^[12]

Véase también

• Sonda de gravedad B

Referencias

1. Pfister, Herbert (noviembre de 2007). "Sobre la historia del llamado efecto Lense-Thirring". Relatividad general y gravitación . 39 (11): 1735–1748. Bibcode :2007GReGr..39.1735P. CiteSeerX  10.1.1.693.4061 . doi :10.1007/s10714-007-0521-4. S2CID  22593373.
2. Ronald Adler; Maurice Bazin; Menahem Schiffer (1965). "Sección 7.7". Introducción a la relatividad general . McGraw-Hill Book Company. ISBN 0-07-000423-4.
3. Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1973). "Capítulo 19". Gravitación . WH Freeman. ISBN 0-7167-0334-3.
4. "Objetivos científicos de Juno". Universidad de Wisconsin-Madison . Archivado desde el original el 16 de octubre de 2008. Consultado el 13 de octubre de 2008 .
5. Iorio, L. (agosto de 2010). "Juno, el momento angular de Júpiter y el efecto Lense-Thirring". Nueva Astronomía . 15 (6): 554–560. arXiv : 0812.1485 . Código Bibliográfico :2010NewA...15..554I. doi :10.1016/j.newast.2010.01.004.
6. Merritt, David (2013). Dinámica y evolución de los núcleos galácticos. Princeton, NJ: Princeton University Press . p. 169. ISBN. 978-1-4008-4612-2.
7. Merritt, David ; Vasiliev, Eugene (noviembre de 2012). "Evolución del espín de agujeros negros supermasivos y núcleos galácticos". Physical Review D . 86 (10): 102002. arXiv : 1205.2739 . Bibcode :2012PhRvD..86j2002M. doi :10.1103/PhysRevD.86.022002. S2CID  118452256.
8. Bardeen, James M.; Petterson, Jacobus A. (enero de 1975). "El efecto Lense-Thirring y los discos de acreción alrededor de los agujeros negros de Kerr". The Astrophysical Journal Letters . 195 : L65. Código Bibliográfico :1975ApJ...195L..65B. doi : 10.1086/181711 .
9. James CA Miller-Jones; Alexandra J. Tetarenko; Gregory R. Sivakoff; Matthew J. Middleton; Diego Altamirano; Gemma E. Anderson; Tomaso M. Belloni; Rob P. Fender; Peter G. Jonker; Elmar G. Körding; Hans A. Krimm; Dipankar Maitra; Sera Markoff; Simone Migliari; Kunal P. Mooley; Michael P. Rupen; David M. Russell; Thomas D. Russell; Craig L. Sarazin; Roberto Soria; Valeriu Tudose (29 de abril de 2019). "Una orientación de chorro que cambia rápidamente en el sistema de agujero negro de masa estelar V404 Cygni" (PDF) . Nature . 569 (7756): 374–377. arXiv : 1906.05400 . Código Bibliográfico :2019Natur.569..374M. Código ASCII : 10.1038/s41586-019-1152-0. PMID  : 31036949. S2CID  : 139106116.
10. "El espacio-tiempo gira alrededor de una estrella muerta, lo que demuestra que Einstein tenía razón una vez más". Space.com . 2020-01-30.
11. Eisenhauer, Frank; et al. (marzo de 2011). "GRAVITY: Observando el universo en movimiento". The Messenger . 143 : 16–24. Código Bibliográfico :2011Msngr.143...16E.
12. Grould, Marion; Vincent, Frédéric H.; Paumard, Thibaut; Perrin, Guy (2016). "Detección de efectos relativistas en la órbita S2 con GRAVITY". Actas de la Unión Astronómica Internacional . 11 (S322). Cambridge University Press (CUP): 25–30. doi : 10.1017/s174392131601245x . ISSN  1743-9213.

Enlaces externos

• (Alemán) Explicación del efecto Thirring-Lense Contiene imágenes del ejemplo del satélite.