matriz manina

En matemáticas, las matrices de Manin , que llevan el nombre de Yuri Manin , quien las introdujo alrededor de 1987-1988, ^{[1] [2] [3]} son ​​una clase de matrices con elementos en un anillo no necesariamente conmutativo , que en cierto sentido se comportan como matrices. cuyos elementos conmutan. En particular, existe una definición natural del determinante para ellos y la mayoría de los teoremas de álgebra lineal como la regla de Cramer , el teorema de Cayley-Hamilton , etc. son válidos para ellos. Cualquier matriz con elementos conmutadores es una matriz de Manin. Estas matrices tienen aplicaciones en la teoría de la representación , en particular a la identidad de Capelli , los sistemas yangianos y cuánticos integrables .

Las matrices de Manin son ejemplos particulares de la construcción general de Manin de "simetrías no conmutativas" que se pueden aplicar a cualquier álgebra. Desde este punto de vista son "endomorfismos no conmutativos" del álgebra polinómica C [ x ₁ , ... x _n ]. Tomando variables (q)-(super)-conmutadoras se obtendrán (q)-(super)-analógicas de las matrices de Manin, que están estrechamente relacionadas con los grupos cuánticos. Las obras de Manin estuvieron influenciadas por la teoría cuántica de grupos . Descubrió que el álgebra cuantificada de funciones Fun _q (GL) puede definirse mediante el requisito de que T y T ^t sean simultáneamente matrices q-Manin. En ese sentido, cabe destacar que las matrices (q)-Manin están definidas sólo por la mitad de las relaciones del grupo cuántico relacionado Fun _q (GL) , y estas relaciones son suficientes para muchos teoremas de álgebra lineal.

Definición

Contexto

Las matrices con elementos genéricos no conmutativos no admiten una construcción natural del determinante con valores en un anillo de tierra y los teoremas básicos del álgebra lineal no se cumplen. Hay varias modificaciones de la teoría del determinante: Determinante Dieudonné que toma valores en la abelianización K ^* /[ K ^* , K ^* ] del grupo multiplicativo K ^* del anillo de tierra K ; y teoría de los cuasideterminantes . Pero la analogía entre estos determinantes y los determinantes conmutativos no es completa. Por otro lado, si se consideran ciertas clases específicas de matrices con elementos no conmutativos, hay ejemplos en los que se puede definir el determinante y demostrar teoremas de álgebra lineal que son muy similares a sus análogos conmutativos. Los ejemplos incluyen: grupos cuánticos y determinante q; Matriz de Capelli y determinante de Capelli ; supermatrices y berezinianas .

Las matrices de Manin son una clase general y natural de matrices con elementos no necesariamente conmutativos que admiten una definición natural del determinante y generalizaciones de los teoremas del álgebra lineal.

Definicion formal

Una matriz M de n por m con entradas M _ij sobre un anillo R (no necesariamente conmutativa) es una matriz de Manin si todos los elementos en una columna determinada conmutan y si para todos i , j , k , l se cumple que [ M _ij , M _kl ] = [ M _kj , M _il ]. Aquí [ a , b ] denota ( ab  −  ba ) el conmutador de a y b . ^[3]

La definición se puede ver mejor a partir de las siguientes fórmulas. Una matriz rectangular M se llama matriz de Manin si es para cualquier submatriz de 2 × 2, que consta de filas i y k , y columnas j y l :

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{ij}&\cdots &M_{il}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &M_{kj}&\cdots &M_{kl}&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &a&\cdots &b&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\\cdots &c&\cdots &d&\cdots \\\cdots &\cdots &\cdots &\cdots &\cdots \end{pmatrix}}}$

se mantienen las siguientes relaciones de conmutación

${\displaystyle ac=ca,~~~bd=db,~~~{\text{(entries in the same column commute) }}}$

${\displaystyle ad-da=cb-bc,~~~{\text{(cross commutation relation)}}.}$

Ubicuidad de matrices Manin 2 × 2

A continuación se presentan algunos ejemplos de la aparición de la propiedad Manin en varias preguntas muy simples y naturales relacionadas con matrices 2×2. La idea general es la siguiente: considere hechos bien conocidos de álgebra lineal y observe cómo relajar el supuesto de conmutatividad para elementos matriciales de modo que los resultados se conserven como verdaderos. La respuesta es: si y sólo si M es una matriz de Manin. ^[3] Las pruebas de todas las observaciones son verificación directa de 1 línea.

Considere una matriz de 2 × 2 ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.}$

Observación 1. Coacción en un avión.
Considere el anillo polinómico C [ x ₁ , x ₂ ] y suponga que los elementos de la matriz a , b , c , d conmutan con x ₁ , x ₂ . Definir y ₁ , y ₂ por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}.}$

Entonces y ₁ , y ₂ conmutan entre sí si y sólo si M es una matriz de Manin.

Prueba:

${\displaystyle [y_{1},y_{2}]=[ax_{1}+bx_{2},cx_{1}+dx_{2}]=[a,c]x_{1}^{2}+[b,d]x_{2}^{2}+([a,d]+[b,c])x_{1}x_{2}.}$

Al exigir que esto sea cero, obtenemos las relaciones de Manin.

Observación 2. Coacción en un superplano.
Considere el álgebra de Grassmann C [ ψ ₁ , ψ ₂ ] y suponga que los elementos de la matriz a , b , c , d conmutan con ψ ₁ , ψ ₂ . Definir φ ₁ , φ ₂ por

${\displaystyle {\begin{pmatrix}\phi _{1},~\phi _{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\psi _{1},~\psi _{2}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}.}$

Entonces φ ₁ , φ ₂ son variables de Grassmann (es decir, anticonmutación entre sí y φ _i ² =0) si y sólo si M es una matriz de Manin.

Las observaciones 1,2 son válidas para matrices de Manin generales de n × m . Demuestran el enfoque original de Manin como se describe a continuación (se debe pensar en las matrices habituales como homomorfismos de anillos polinómicos, mientras que las matrices de Manin son "homomorfismos no conmutativos" más generales). Preste atención a que los generadores de álgebra polinomial se presentan como vectores de columna, mientras que el álgebra de Grassmann como vectores de fila, lo mismo se puede generalizar a un par arbitrario de álgebras duales de Koszul y matrices de Manin generales asociadas.

Observación 3. Regla de Cramer . La matriz inversa viene dada por la fórmula estándar.

${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{ad-cb}}{\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}$

si y sólo si M es una matriz de Manin.

Prueba:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}da-bc&db-bd\\-ca+ac&-cb+ad\end{pmatrix}}={\text{if and only if }}M{\text{ is a Manin matrix}}={\begin{pmatrix}ad-cb&0\\0&ad-cb\end{pmatrix}}.}$

Observación 4. Teorema de Cayley-Hamilton . La igualdad

${\displaystyle M^{2}-(a+d)M+(ad-cb)1_{2\times 2}=0}$

se cumple si y sólo si M es una matriz de Manin.

Observación 5. Multiplicatividad de determinantes.

^columna det ( MN ) = ^columna det ( M )det( N ) es válida para todas las matrices N de valores complejos si y solo si M es una matriz de Manin.

^{Donde la columna} det de la matriz 2×2 se define como ad  −  cb , es decir, los elementos de la primera columna ( a , c ) ocupan el primer lugar en los productos.

Definición conceptual. Concepto de "simetrías no conmutativas"

Según Yu. La ideología de Manin se puede asociar a cualquier álgebra cierta biálgebra de sus "simetrías no conmutativas (es decir, endomorfismos)". De manera más general , a un par de álgebras A , B se puede asociar su álgebra de "homomorfismos no conmutativos" entre A y B. Estas ideas están naturalmente relacionadas con ideas de geometría no conmutativa . Las matrices de Manin consideradas aquí son ejemplos de esta construcción general aplicada a álgebras polinómicas C [ x ₁ , ... x _n ].

El ámbito de la geometría se refiere a los espacios, mientras que el ámbito del álgebra respectivamente con las álgebras, el puente entre los dos ámbitos es la asociación a cada espacio de un álgebra de funciones sobre él, que es el álgebra conmutativa. Muchos conceptos de geometría pueden expresarse en el lenguaje de las álgebras y viceversa.

La idea de simetría G del espacio V puede verse como la acción de G sobre V , es decir, la existencia de un mapa G× V -> V. Esta idea se puede traducir al lenguaje algebraico como existencia de homomorfismo Fun(G) Fun(V) <- Fun(V) (ya que normalmente los mapas entre funciones y espacios van en direcciones opuestas). También se pueden componer mapas de un espacio a sí mismo (forman un semigrupo), por lo tanto, un objeto dual Fun(G) es una biálgebra . ${\displaystyle \otimes }$

Finalmente, se pueden tomar estas dos propiedades como básicas y dar una definición puramente algebraica de "simetría" que se puede aplicar a un álgebra arbitraria (no necesariamente conmutativa):

Definición. El álgebra de simetrías no conmutativas (endomorfismos) de alguna álgebra A es una biálgebra End(A) , tal que existen homomorfismos llamados coacción :

${\displaystyle coaction:~~End(A)\otimes A\leftarrow A,}$

lo cual es compatible con una comultiplicación de forma natural. Finalmente, se requiere que End(A) satisfaga sólo las relaciones que provienen de lo anterior, no otras relaciones, es decir , es una biálgebra de coacción universal para A.

La coacción debe pensarse como dual a la acción G× V -> V , por eso se llama coacción . La compatibilidad del mapa de comultiplicación con el mapa de coacción es dual para g (hv) = (gh) v . Se puede escribir fácilmente esta compatibilidad.

Un hecho algo sorprendente es que esta construcción aplicada al álgebra polinomial C [ x ₁ , ..., x _n ] no dará como resultado el álgebra habitual de matrices Mat _n (más precisamente, álgebra de funciones), sino un álgebra no conmutativa mucho mayor. álgebra de matrices de Manin (más precisamente álgebra generada por elementos Mij . Más precisamente _, las siguientes proposiciones simples son verdaderas.

Proposición . Considere el álgebra polinomial Pol = C [ x ₁ , ..., x _n ] y la matriz M con elementos en algún álgebra EndPol . Los elementos conmutan entre sí si y sólo si M es una matriz de Manin. ${\displaystyle y_{i}=\sum _{k}M_{ik}\otimes x_{k}\in EndPol\otimes Pol}$

Corolario. El mapa es homomorfismo de Pol a EndPol Pol . Define la coacción. ${\displaystyle x_{i}\mapsto y_{i}=\sum _{k}M_{ik}\otimes x_{k}}$ ${\displaystyle \otimes }$

De hecho, para asegurarnos de que el mapa sea homomorfismo, lo único que debemos verificar es que y _i conmutan entre sí.

Proposición . Defina el mapa de comultiplicación mediante la fórmula . Entonces es coasociativo y es compatible con la coacción en el álgebra polinómica definida en la proposición anterior. ${\displaystyle \Delta (M_{ij})=\sum _{l}M_{il}\otimes M_{lj}}$

Las dos proposiciones anteriores implican que el álgebra generada por elementos de una matriz de Manin es una biálgebra que coopera con el álgebra polinómica. Si no se imponen otras relaciones, se obtiene álgebra de endomorfismos no conmutativos del álgebra polinomial.

Propiedades

Ejemplos y propiedades elementales.

• Cualquier matriz con elementos conmutadores es una matriz de Manin.
• Cualquier matriz cuyos elementos de diferentes filas conmutan entre sí (tales matrices a veces llamadas matrices de Cartier - Foata ) es una matriz de Manin.
• Cualquier submatriz de una matriz de Manin es una matriz de Manin.
• Se pueden intercambiar filas y columnas en una matriz de Manin y el resultado también será una matriz de Manin. Se puede agregar una fila o columna multiplicada por el elemento central a otra fila o columna y los resultados volverán a ser la matriz de Manin. Es decir, se pueden realizar transformaciones elementales con la restricción de que el multiplicador sea central.
• Considere dos matrices de Manin M , N tales que todos sus elementos conmuten, entonces la suma M+N y el producto MN también serán matrices de Manin.
• Si la matriz M y simultáneamente la matriz transpuesta M ^t son matrices de Manin, entonces todos los elementos de M conmutan entre sí.
• Hechos prohibidos: M ^k no es una matriz de Manin en general (excepto k = -1 que se analiza a continuación); ni det( M ) ni Tr( M ) son centrales en el álgebra generada por _Mij en general (en ese sentido las matrices de Manin difieren de los grupos cuánticos); det( mi ^M ) ≠ mi ^{Tr( M )} ; Iniciar sesión(det( M )) ≠ Tr(log( M )).
• Considere el álgebra polinomial C [ x _ij ] y denote por los operadores de diferenciación con respecto a ${\displaystyle \partial _{ij}}$

x _ij , formar matrices X, D con los elementos correspondientes. Considere también la variable z y el operador diferencial correspondiente . A continuación se ofrece un ejemplo de una matriz de Manin que es importante para las identidades de Capelli : ${\displaystyle \partial _{z}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}zId&D^{t}\\X&\partial _{z}Id\end{pmatrix}}.}$

Se puede reemplazar X , D por cualquier matriz cuyos elementos satisfagan la relación: X _ij D _kl - D _kl X _ij = δ _ik δ _kl , lo mismo ocurre con z y su derivada.

Calcular el determinante de esta matriz de dos maneras: directa y mediante la fórmula del complemento de Schur esencialmente da la identidad de Capelli y su generalización (ver sección 4.3.1, ^[4] basado en ^[5] ).

Determinante = determinante de columna

El determinante de una matriz de Manin se puede definir mediante la fórmula estándar, con la prescripción de que los elementos de las primeras columnas ocupan el primer lugar en el producto.

Teoremas de álgebra lineal

Muchas afirmaciones de álgebra lineal son válidas para matrices de Manin incluso cuando R no es conmutativo. En particular, el determinante se puede definir de forma estándar mediante permutaciones y satisface la regla de Cramer . ^[3] El teorema de MacMahon Master es válido para las matrices de Manin y, de hecho, para sus generalizaciones (super), (q), etc.

Proposición. Regla de Cramer (Ver ^[2] o sección 4.1. ^[3] ) La inversa de una matriz de Manin M se puede definir mediante la fórmula estándar: donde M ^adj es la matriz conjugada dada por la fórmula estándar: su (i,j)-ésima El elemento es el determinante de columna de la matriz (n − 1) × (n − 1) que resulta de eliminar la fila j y la columna i de M y multiplicarla por (-1) ^i+j . ${\displaystyle M^{-1}={\frac {1}{{\det }^{col}(M)}}M^{adj},}$

La única diferencia con el caso conmutativo es que se debe prestar atención a que todos los determinantes se calculan como determinantes de columna y también la matriz adjunta está a la derecha, mientras que la inversa conmutativa del determinante de M está a la izquierda, es decir, debido a la no conmutatividad, El orden es importante.

Proposición. Inverso es también Manin. (Ver sección 4.3. ^[3] ) Supongamos que existe una inversa de dos lados de una matriz de Manin M , entonces también será una matriz de Manin. Además, det(M ⁻¹ ) = (det(M)) ⁻¹ .

Esta proposición no es nada trivial; implica el resultado de Enríquez-Rubtsov y Babelon-Talon en la teoría de los sistemas cuánticos integrables (ver sección 4.2.1 ^[4] ).

Proposición. Teorema de Cayley-Hamilton (Ver sección 7.1. ^[3] )

${\displaystyle det^{column}(t-M)|_{t=M}^{right~substitute}=0,~~i.e.~~\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}M^{n-i}=0.}$

Donde σ _i son coeficientes del polinomio característico . ${\displaystyle det^{column}(t-M)=\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{n-i}}$

Proposición. Identidades de Newton (Ver sección 7.2.1. ^[3] ) ${\displaystyle \forall k\geq 0:-(-1)^{k}k\sigma _{k}=\sum _{i=0...k-1}\sigma _{i}Tr(M^{k-i})}$

Donde σ _i son coeficientes del polinomio característico , y por convención σ _i =0, para i>n , donde n es el tamaño de la matriz M. ${\displaystyle det^{column}(t-M)=\sum _{i=0...n}(-1)^{i}\sigma _{i}t^{n-i}}$

Proposición. Determinante mediante complemento de Schur (consulte la sección 5.2. ^[3] ) Suponga que la siguiente matriz de bloques es una matriz de Manin y que existen inversas de dos lados M ⁻¹ , A ⁻¹ , D ⁻¹ , entonces

${\displaystyle det^{column}{\begin{pmatrix}A&B\\C&d\\\end{pmatrix}}=det^{column}(A)det^{column}(D-CA^{-1}B)=det^{column}(D)det^{column}(A-BD^{-1}C).}$

Además, los complementos de Schur son matrices de Manin. ${\displaystyle (D-CA^{-1}B),(A-BD^{-1}C)}$

Proposición. Teorema del maestro MacMahon

^[6]

Ejemplos y aplicaciones

Matriz de Capelli como matriz de Manin y centro de U (gl n )

La identidad de Capelli del siglo XIX ofrece uno de los primeros ejemplos de determinantes para matrices con elementos no conmutantes. Las matrices de Manin dan una nueva mirada a este tema clásico. Este ejemplo está relacionado con el álgebra de Lie gl _n y sirve como prototipo para aplicaciones más complicadas de bucle del álgebra de Lie para sistemas gl _n , Yangianos e integrables.

Tome E _ij como matrices con 1 en la posición ( i,j ) y ceros en el resto. Forme una matriz E con elementos E _ij en la posición ( i,j ). Es una matriz con elementos en anillo de matrices Mat _n . No es una matriz Manin, sin embargo, existen modificaciones que la transforman en una matriz Manin como se describe a continuación.

Introduzca una variable formal z que conmute con E _ij , respectivamente d/dz es operador de diferenciación en z . Lo único que se utilizará es que el conmutador de estos operadores sea igual a 1.

Observación. La matriz es una matriz de Manin. ${\displaystyle d/dzId-E/z}$

Aquí Id es la matriz de identidad.

Ejemplo 2×2: ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}d/dz-E_{11}/z&-E_{12}/z\\-E_{21}/z&d/z-E_{22}/z\end{pmatrix}}.}$

Es instructivo comprobar el requisito de conmutatividad de la columna: . ${\displaystyle [d/dz-E_{11}/z,-E_{21}/z]=[d/dz,-E_{21}/z]+[-E_{11}/z,-E_{21}/z]=E_{21}/z^{2}-E_{21}/z^{2}=0}$

Observación. La matriz es una matriz de Manin. ${\displaystyle exp(-d/dz)(Id+E/z)}$

El único hecho que se requiere de E _ij para estas observaciones es que satisfagan relaciones de conmutación [ E _ij , E _kl ] = δ _jk E _il - δ _li E _kj . Entonces, las observaciones son ciertas si E _ij son generadores del álgebra envolvente universal del álgebra de Lie gl _n , o sus imágenes en cualquier representación. Por ejemplo, se puede tomar

${\displaystyle E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}};~~~~~E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}};~~~~E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}.}$

Aquí ψ son variables de Grassmann .

Observación. ${\displaystyle z^{n-1}det^{col}(d/dz-E/z)=det^{col}(zd/dz-E-diag(n-1,n-2,...,1,0))}$

En el lado derecho de esta igualdad se reconoce el determinante de Capelli (o más precisamente el polinomio característico de Capelli), mientras que en el lado izquierdo se tiene una matriz de Manin con su determinante natural. Entonces las matrices de Manin dan una nueva visión del determinante de Capelli. Además, la identidad de Capelli y su generalización pueden derivarse mediante técnicas de matrices de Manin. También proporciona una manera fácil de demostrar que esta expresión pertenece al centro del álgebra envolvente universal U(gl _n ), lo cual está lejos de ser trivial. En efecto, basta comprobar la invariancia con respecto a la acción del grupo GL _n mediante conjugación. . Así que la única propiedad utilizada aquí es la que es cierta para cualquier matriz M de Manin y cualquier matriz g con elementos centrales (por ejemplo, escalares). ${\displaystyle det^{col}(d/dz-gEg^{-1}/z)=det^{col}(g(d/dz-E/z)g^{-1})=det(g)det^{col}(d/dz-E/z)det(g^{-1})=det^{col}(d/dz-E/z)}$ ${\displaystyle det(gM)=det(Mg)=det(M)det(g)}$

Álgebra de bucles para gl n , correspondencia de Langlands y matriz de Manin

Matrices de tipo Yangian como matrices de Manin

Observación. Sea T(z) una matriz generadora del Yangiano para gl _n . Entonces la matriz exp(-d/dz) T(z) es una matriz de Manin.

El determinante cuántico de Yangian se puede definir como exp (nd/dz) det ^column (exp(-d/dz) T(z)) . Tenga en cuenta que exp(-d/dz) se puede cancelar, por lo que la expresión no depende de ello. Entonces, el determinante en la teoría Yangian tiene una interpretación natural a través de matrices de Manin.

Por el bien de los sistemas cuánticos integrables, es importante construir subálgebras conmutativas en yangiano. Es bien sabido que en las expresiones límite clásicas Tr(T ^k (z)) se genera la subálgebra conmutativa de Poisson. La cuantificación correcta de estas expresiones se propuso por primera vez mediante el uso de identidades de Newton para matrices de Manin:

Proposición. Los coeficientes de Tr(T(z+k-1)T(z+k-2)...T(z)) para todos los k conmutan entre sí. Generan subálgebra conmutativa en Yangian. La misma subálgebra que los coeficientes de la ^columna det del polinomio característico (1-exp(-d/dz) T(z)) .

(La subálgebra a veces se llama subálgebra de Bethe, ya que Bethe ansatz es un método para encontrar sus pares de eig conjuntos).

Mas preguntas

Historia

Manin propuso la construcción general de "simetrías no conmutativas" en ^[1] , el caso particular que se denomina matrices de Manin se analiza en ^[2] , donde se describen algunas propiedades básicas. La principal motivación de estos trabajos fue dar otra mirada a los grupos cuánticos. Matrices cuánticas Fun _q ( GL _n ) se puede definir como matrices en las que T y simultáneamente T ^t son matrices q-Manin (es decir, son simetrías no conmutativas de polinomios q-conmutantes x _i x _j = qx _j x _i . Según el original de Manin Sólo hubo unos pocos artículos sobre matrices de Manin hasta 2003. Pero alrededor y algunos después de esta fecha aparecieron matrices de Manin en varias áreas no del todo relacionadas: ^[6] obtuvo cierta generalización no conmutativa de la identidad maestra de MacMahon, que se usó en la teoría de nudos; aplicaciones a sistemas cuánticos integrables, álgebras de Lie se han encontrado en ^[4] aparecieron generalizaciones de la identidad de Capelli que involucran matrices de Manin. ^[7] Las direcciones propuestas en estos artículos se han desarrollado aún más.

Referencias

1. Manin, Yuri (1987), "Algunas observaciones sobre las álgebras de Koszul y los grupos cuánticos", Annales de l'Institut Fourier , 37 (4): 191–205, doi : 10.5802/aif.1117 , Zbl  0625.58040
2. Manin, Y. (1988). "Grupos Cuánticos y Geometría No Conmutativa" . Université de Montréal, Centre de Recherches Mathématiques : 91 páginas. ISBN 978-2-921120-00-5. Zbl  0724.17006.
3. A. Chervov; G. Falqui; V. Rubtsov (2009). "Propiedades algebraicas de las matrices de Manin I". Avances en Matemática Aplicada . 43 (3). Elsevier: 239–315. arXiv : 0901.0235 . doi :10.1016/j.aam.2009.02.003. ISSN  0196-8858. S2CID  14101198. Zbl  1230.05043.
4. A. Chervov; G. Falqui (2008). "Matrices de Manin y fórmula de Talalaev". Revista de Física A. 41 (19): 239–315. arXiv : 0711.2236 . Código Bib : 2008JPhA...41s4006C. doi :10.1088/1751-8113/41/19/194006. S2CID  16193419. Zbl  1151.81022.
5. Mukhin, E.; Tarasov, V.; Varchenko, A. (2006), Una generalización de la identidad Capelli , arXiv : math/0610799 , Bibcode :2006math.....10799M
6. Garoufalidis, Stavros; Le, TTQ; Zeilberger, Doron (2006), "El teorema maestro cuántico de MacMahon", Proc. Nacional. Acad. Ciencia. EE. UU. , 103 (38): 13928–13931, arXiv : math/0303319 , Bibcode : 2006PNAS..10313928G, doi : 10.1073/pnas.0606003103 , PMC 1599890 , PMID  16966614 
7. Caracciolo, Sergio; Sportiello, Andrea; Sokal, Alan D. (2009), "Determinantes no conmutativos, fórmulas de Cauchy-Binet e identidades de tipo Capelli. I. Generalizaciones de las identidades de Capelli y Turnbull" (artículo de investigación) , Electron. J. peine. , 16 (1, número R103): 43, arXiv : 0809.3516 , Bibcode :2008arXiv0809.3516C, doi :10.37236/192, ISSN  1077-8926, S2CID  1765203, Zbl  1192.15001

Otras lecturas

• V. Rubtsov; D. Talalaev; A. Silantiev (2009). "Matrices de Manin, familias conmutativas elípticas cuánticas y polinomio característico del modelo elíptico de Gaudin". SIGMA . 5 : 110. arXiv : 0908.4064 . Código Bib : 2009SIGMA...5..110R. doi :10.3842/SIGMA.2009.110. S2CID  15639061. Zbl  1190.37079.
• Suemi Rodríguez-Romo; Earl Taft (2002). "Algunas álgebras de Hopf de tipo cuántico que permanecen no conmutativas cuando q = 1". Letón. Matemáticas. Física . 61 : 41–50. doi :10.1023/A:1020221319846. S2CID  115931689.
• Suemi Rodríguez-Romo; Earl Taft (2005). "Un grupo cuántico de izquierda". J. Álgebra . 286 : 154-160. doi : 10.1016/j.jalgebra.2005.01.002 .
• S. Wang (1998). "Grupos de simetría cuántica de espacios finitos". Com. Matemáticas. Física . 195 (1): 195–211. arXiv : matemáticas/9807091 . Código Bib : 1998CMaPh.195..195W. doi :10.1007/s002200050385. S2CID  14688083.
• Teodor Bánica; Julián Bichón; Benoit Collins (2007). "Análisis armónicos no conmutativos con aplicaciones a la probabilidad". Grupos de permutación cuántica: una encuesta . Publicación del Centro Banach. vol. 78. Varsovia. págs. 13–34. arXiv : matemáticas/0612724 . Código Bib : 2006 matemáticas..... 12724B.{{cite book}}: CS1 maint: location missing publisher (link)
• Matjaz Konvalinka (2007). "Una generalización de la transformación fundamental de Foata y sus aplicaciones al álgebra cuántica derecha". arXiv : matemáticas/0703203 .
• Konvalinka, Matjaž (2007). "Identidad determinante de Sylvester no conmutativa". Electrón. J. Combinar . 14 (1). #R42. arXiv : matemáticas/0703213 . Código Bib : 2007 matemáticas ...... 3213K. doi :10.37236/960. ISSN  1077-8926. S2CID  544799.