La identidad de Capelli.

Análogo de la fórmula det(AB) es igual a det(A) det(B) para matrices con entradas no conmutantes

En matemáticas , la identidad de Capelli , llamada así en honor a Alfredo Capelli  (1887), es análoga a la fórmula det( AB ) = det( A ) det( B ), para ciertas matrices con entradas no conmutantes, relacionada con la teoría de representación del álgebra de Lie. . Se puede utilizar para relacionar un invariante ƒ con el invariante Ω ƒ , donde Ω es el proceso Ω de Cayley . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

Declaración

Supongamos que x _ij para i , j = 1,..., n son variables conmutadoras. Escriba E _ij para el operador de polarización.

${\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{n}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.}$

La identidad de Capelli establece que los siguientes operadores diferenciales, expresados ​​como determinantes, son iguales:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}E_{11}+n-1&\cdots &E_{1,n-1}&E_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\E_{n-1,1}&\cdots &E_{n-1,n-1}+1&E_{n-1,n}\\E_{n1}&\cdots &E_{n,n-1}&E_{nn}+0\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}x_{11}&\cdots &x_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\x_{n1}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{n1}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}.}$

Ambos lados son operadores diferenciales. El determinante de la izquierda tiene entradas que no se desplazan y se expande manteniendo todos los términos su orden "de izquierda a derecha". Tal determinante a menudo se denomina determinante de columna , ya que se puede obtener mediante la expansión de columna del determinante a partir de la primera columna. Se puede escribir formalmente como

${\displaystyle \det(A)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\sigma (1),1}A_{\sigma (2),2}\cdots A_{\sigma (n),n},}$

donde en el producto vienen primero los elementos de la primera columna, luego de la segunda y así sucesivamente. El determinante de la extrema derecha es el proceso omega de Cayley , y el de la izquierda es el determinante de Capelli.

Los operadores E _ij se pueden escribir en forma matricial:

${\displaystyle E=XD^{t},}$

donde son matrices con elementos E _ij , x _ij , respectivamente. Si todos los elementos de estas matrices fueran conmutativos, entonces claramente . La identidad de Capelli muestra que a pesar de la no conmutatividad existe una "cuantización" de la fórmula anterior. El único precio para la no conmutatividad es una pequeña corrección: en el lado izquierdo. Para fórmulas genéricas de matrices no conmutativas como ${\displaystyle E,X,D}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}}$ ${\displaystyle \det(E)=\det(X)\det(D^{t})}$ ${\displaystyle (n-i)\delta _{ij}}$

${\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)}$

no existen, y la noción de 'determinante' en sí misma no tiene sentido para matrices genéricas no conmutativas. Por eso la identidad de Capelli aún guarda cierto misterio, a pesar de las numerosas pruebas ofrecidas al respecto. No parece existir una prueba muy breve. La verificación directa de la afirmación se puede dar como ejercicio para n = 2, pero ya es larga para n = 3.

Relaciones con la teoría de la representación

Considere el siguiente contexto un poco más general. Supongamos que y son dos números enteros y para , son variables de conmutación. Redefinir casi con la misma fórmula: ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle x_{ij}}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,n,\ j=1,\dots ,m}$ ${\displaystyle E_{ij}}$

${\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}}.}$

con la única diferencia de que el índice de suma varía de a . Se puede ver fácilmente que tales operadores satisfacen las relaciones de conmutación: ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle m}$

${\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}.~~~~~~~~~}$

Aquí denota el conmutador . Estas son las mismas relaciones de conmutación que satisfacen las matrices que tienen ceros en todas partes excepto en la posición , donde está 1. ( a veces se les llama unidades matriciales ). De ahí concluimos que la correspondencia define una representación del álgebra de Lie en el espacio vectorial de polinomios de . ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle ab-ba}$ ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle \pi :e_{ij}\mapsto E_{ij}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle x_{ij}}$

Caso m = 1 y representación S k C n

Es especialmente instructivo considerar el caso especial m  = 1; en este caso tenemos x _i1 , que se abrevia como x _i :

${\displaystyle E_{ij}=x_{i}{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}.}$

En particular, para los polinomios de primer grado se ve que:

${\displaystyle E_{ij}x_{k}=\delta _{jk}x_{i}.~~~~~~~~~~~~~~}$

Por tanto, la acción de restringido al espacio de polinomios de primer orden es exactamente la misma que la acción de unidades matriciales sobre vectores en . Entonces, desde el punto de vista de la teoría de la representación, el subespacio de polinomios de primer grado es una subrepresentación del álgebra de Lie , que identificamos con la representación estándar en . Yendo más allá, se ve que los operadores diferenciales preservan el grado de los polinomios y, por tanto, los polinomios de cada grado fijo forman una subrepresentación del álgebra de Lie . Se puede ver además que el espacio de polinomios homogéneos de grado k puede identificarse con la potencia tensorial simétrica de la representación estándar . ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle e_{ij}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle S^{k}\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

También se puede identificar fácilmente la estructura de mayor peso de estas representaciones. De hecho, el monomio es un vector de mayor peso : para i  <  j . Su peso más alto es igual a ( k , 0, ... ,0), efectivamente: . ${\displaystyle x_{1}^{k}}$ ${\displaystyle E_{ij}x_{1}^{k}=0}$ ${\displaystyle E_{ii}x_{1}^{k}=k\delta _{i1}x_{1}^{k}}$

Esta representación a veces se denomina representación bosónica de . Fórmulas similares definen la llamada representación fermiónica; aquí hay variables anti-conmutación. Nuevamente, los polinomios de k -ésimo grado forman una subrepresentación irreducible que es isomorfa, es decir, potencia tensorial antisimétrica de . El peso más alto de dicha representación es (0, ..., 0, 1, 0, ..., 0). Estas representaciones para k  = 1, ...,  n son representaciones fundamentales de . ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$ ${\displaystyle E_{ij}=\psi _{i}{\frac {\partial }{\partial \psi _{j}}}}$ ${\displaystyle \psi _{i}}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}\mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

Identidad de Capelli para m = 1

Volvamos a la identidad Capelli. Se puede probar lo siguiente:

${\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=0,\qquad n>1}$

La motivación para esta igualdad es la siguiente: considere algunas variables de conmutación . La matriz es de rango uno y por tanto su determinante es igual a cero. Los elementos de la matriz se definen mediante fórmulas similares, sin embargo, sus elementos no se conmutan. La identidad de Capelli muestra que la identidad conmutativa: puede conservarse por el pequeño precio de corregir la matriz mediante . ${\displaystyle E_{ij}^{c}=x_{i}p_{j}}$ ${\displaystyle x_{i},p_{j}}$ ${\displaystyle E^{c}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \det(E^{c})=0}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle (n-i)\delta _{ij}}$

Mencionemos también que se puede dar una identidad similar para el polinomio característico:

${\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\mathrm {Tr} (E)t^{[n-1]},~~~~}$

dónde . La contraparte conmutativa de esto es el simple hecho de que para matrices de rango = 1 el polinomio característico contiene sólo el primer y el segundo coeficiente. ${\displaystyle t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1)}$

Considere un ejemplo para n  = 2.

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}t+x_{1}\partial _{1}+1&x_{1}\partial _{2}\\x_{2}\partial _{1}&t+x_{2}\partial _{2}\end{vmatrix}}\\[8pt]&=(t+x_{1}\partial _{1}+1)(t+x_{2}\partial _{2})-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\\[6pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{1}\partial _{1}x_{2}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}\partial _{1}x_{1}\partial _{2}\end{aligned}}}$

Usando

${\displaystyle \partial _{1}x_{1}=x_{1}\partial _{1}+1,\partial _{1}x_{2}=x_{2}\partial _{1},x_{1}x_{2}=x_{2}x_{1}}$

vemos que esto es igual a:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})+x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}+x_{2}\partial _{2}-x_{2}x_{1}\partial _{1}\partial _{2}-x_{2}\partial _{2}\\[8pt]&=t(t+1)+t(x_{1}\partial _{1}+x_{2}\partial _{2})=t^{[2]}+t\,\mathrm {Tr} (E).\end{aligned}}}$

El álgebra envolvente universal y su centro. U ( g l n ) {\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}

Una propiedad interesante del determinante de Capelli es que conmuta con todos los operadores E _ij , es decir, el conmutador es igual a cero. Se puede generalizar: ${\displaystyle [E_{ij},\det(E+(n-i)\delta _{ij})]=0}$

Considere cualquier elemento E _ij en cualquier anillo, de modo que satisfaga la relación de conmutación (por lo que pueden ser operadores diferenciales anteriores, unidades matriciales e _ij o cualquier otro elemento), defina los elementos C _k de la siguiente manera: ${\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}}$

${\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}C_{k},~~~~~}$

dónde ${\displaystyle t^{[k]}=t(t+1)\cdots (t+k-1),}$

entonces:

• los elementos C _k conmutan con todos los elementos E _ij
• Los elementos C _k se pueden dar mediante fórmulas similares al caso conmutativo:

${\displaystyle C_{k}=\sum _{I=(i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k})}\det(E+(k-i)\delta _{ij})_{II},}$

es decir, son sumas de menores principales de la matriz E , módulo de la corrección de Capelli . En particular, el elemento C ₀ es el determinante de Capelli considerado anteriormente. ${\displaystyle +(k-i)\delta _{ij}}$

Estas afirmaciones están interrelacionadas con la identidad de Capelli, como se discutirá más adelante, y de manera similar a ella, la breve prueba directa de pocas líneas no parece existir, a pesar de la simplicidad de la formulación.

El álgebra envolvente universal se puede definir como un álgebra generada por E _ij sujeta a las relaciones ${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}$

${\displaystyle [E_{ij},E_{kl}]=\delta _{jk}E_{il}-\delta _{il}E_{kj}}$

solo. La proposición anterior muestra que los elementos C _k pertenecen al centro de . Se puede demostrar que en realidad son generadores libres del centro de . A veces se les llama generadores Capelli . Las identidades de Capelli para ellos se discutirán a continuación. ${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {gl}}_{n})}$

Considere un ejemplo para n  = 2.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\quad {\begin{vmatrix}t+E_{11}+1&E_{12}\\E_{21}&t+E_{22}\end{vmatrix}}&=(t+E_{11}+1)(t+E_{22})-E_{21}E_{12}\\&=t(t+1)+t(E_{11}+E_{22})+E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}.\end{aligned}}}$

Es inmediato comprobar con qué elemento conmuta . (Corresponde a un hecho obvio que la matriz identidad conmuta con todas las demás matrices). Más instructivo es comprobar la conmutatividad del segundo elemento con . Hagámoslo por : ${\displaystyle (E_{11}+E_{22})}$ ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle E_{12}}$

${\displaystyle [E_{12},E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}+E_{22}]}$

${\displaystyle =[E_{12},E_{11}]E_{22}+E_{11}[E_{12},E_{22}]-[E_{12},E_{21}]E_{12}-E_{21}[E_{12},E_{12}]+[E_{12},E_{22}]}$

${\displaystyle =-E_{12}E_{22}+E_{11}E_{12}-(E_{11}-E_{22})E_{12}-0+E_{12}}$

${\displaystyle =-E_{12}E_{22}+E_{22}E_{12}+E_{12}=-E_{12}+E_{12}=0.}$

Vemos que el determinante ingenuo no conmutará y la corrección de Capelli es fundamental para asegurar la centralidad. ${\displaystyle E_{11}E_{22}-E_{21}E_{12}}$ ${\displaystyle E_{12}}$ ${\displaystyle +E_{22}}$

General m y pares duales

Volvamos al caso general:

${\displaystyle E_{ij}=\sum _{a=1}^{m}x_{ia}{\frac {\partial }{\partial x_{ja}}},}$

para n y m arbitrarios . La definición de operadores E _ij se puede escribir en forma matricial: , donde es una matriz con elementos ; es matriz con elementos ; es una matriz con elementos . ${\displaystyle E=XD^{t}}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle x_{ij}}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle n\times m}$ ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}}$

Identidades Capelli-Cauchy-Binet

En general, la matriz m E se da como producto de las dos matrices rectangulares: X y se transpone a D. Si todos los elementos de estas matrices conmutaran, entonces se sabe que el determinante de E puede expresarse mediante la llamada fórmula de Cauchy-Binet mediante menores de X y D. También existe un análogo de esta fórmula para la matriz E por el mismo precio suave de la corrección : ${\displaystyle E\rightarrow (E+(n-i)\delta _{ij})}$

${\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{n}\leq m)}\det(X_{I})\det(D_{I}^{t})}$,

En particular (similar al caso conmutativo): si m < n , entonces ; si m = n volvemos a la identidad anterior. ${\displaystyle \det(E+(n-i)\delta _{ij})=0}$

Mencionemos también que, de manera similar al caso conmutativo (ver Cauchy-Binet para menores ), se puede expresar no solo el determinante de E , sino también sus menores a través de menores de X y D :

${\displaystyle \det(E+(s-i)\delta _{ij})_{KL}=\sum _{I=(1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{s}\leq m)}\det(X_{KI})\det(D_{IL}^{t})}$,

Aquí K  = ( k ₁  <  k ₂  < ... <  k _s ), L  = ( l ₁  <  l ₂  < ... <  l _s ), son índices múltiples arbitrarios; como suele denotarse una submatriz de M formada por los elementos M _{k a l b} . Preste atención a que la corrección de Capelli ahora contiene s , no n como en la fórmula anterior. Tenga en cuenta que para s=1 , la corrección ( s  −  i ) desaparece y obtenemos solo la definición de E como producto de X y la transponemos a D. Mencionemos también que para K,L genéricos los menores correspondientes no conmutan con todos los elementos E _ij , por lo que la identidad de Capelli existe no sólo para los elementos centrales. ${\displaystyle M_{KL}}$

Como corolario de esta fórmula y la del polinomio característico del apartado anterior mencionemos lo siguiente:

${\displaystyle \det(t+E+(n-i)\delta _{ij})=t^{[n]}+\sum _{k=n-1,\dots ,0}t^{[k]}\sum _{I,J}\det(X_{IJ})\det(D_{JI}^{t}),}$

dónde . Esta fórmula es similar al caso conmutativo, modula en el lado izquierdo y t ^[n] en lugar de t ⁿ en el lado derecho. ${\displaystyle I=(1\leq i_{1}<\cdots <i_{k}\leq n),}$ ${\displaystyle J=(1\leq j_{1}<\cdots <j_{k}\leq n)}$ ${\displaystyle +(n-i)\delta _{ij}}$

Relación con pares duales

El interés moderno en estas identidades ha sido estimulado mucho por Roger Howe, quien las consideró en su teoría de los pares duales reductivos (también conocida como dualidad de Howe). Para tomar un primer contacto con estas ideas, veamos más precisamente a los operadores . Estos operadores conservan el grado de los polinomios. Veamos los polinomios de grado 1: , vemos que se conserva el índice l . Se puede ver que desde el punto de vista de la teoría de la representación, los polinomios de primer grado se pueden identificar con la suma directa de las representaciones , aquí el l -ésimo subespacio ( l=1...m ) está abarcado por , i  = 1, .. .,  n . Echemos otro vistazo a este espacio vectorial: ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle E_{ij}x_{kl}=x_{il}\delta _{jk}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle x_{il}}$

${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\oplus \cdots \oplus \mathbb {C} ^{n}=\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}.}$

Este punto de vista da el primer indicio de simetría entre m y n . Para profundizar esta idea considere:

${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}=\sum _{a=1}^{n}x_{ai}{\frac {\partial }{\partial x_{aj}}}.}$

Estos operadores vienen dados por las mismas fórmulas que la remuneración de módulos , de ahí que por los mismos argumentos podemos deducir que forman una representación del álgebra de Lie en el espacio vectorial de polinomios de x _ij . Antes de continuar podemos mencionar la siguiente propiedad: los operadores diferenciales conmutan con los operadores diferenciales . ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle i\leftrightarrow j}$ ${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{m}}$ ${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$ ${\displaystyle E_{kl}}$

El grupo de Lie actúa sobre el espacio vectorial de forma natural. Se puede demostrar que la acción correspondiente del álgebra de Lie viene dada por los operadores diferenciales y respectivamente. Esto explica la conmutatividad de estos operadores. ${\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}\times {\mathfrak {gl}}_{m}}$ ${\displaystyle E_{ij}~~~~}$ ${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$

Las siguientes propiedades más profundas en realidad son ciertas:

• Los únicos operadores diferenciales que conmutan son los polinomios en y viceversa. ${\displaystyle E_{ij}~~~~}$ ${\displaystyle E_{ij}^{\text{dual}}}$
• La descomposición del espacio vectorial de polinomios en una suma directa de productos tensoriales de representaciones irreducibles de y se puede dar de la siguiente manera: ${\displaystyle GL_{n}}$ ${\displaystyle GL_{m}}$

${\displaystyle \mathbb {C} [x_{ij}]=S(\mathbb {C} ^{n}\otimes \mathbb {C} ^{m})=\sum _{D}\rho _{n}^{D}\otimes \rho _{m}^{D'}.}$

Los sumandos están indexados por los diagramas de Young D y las representaciones son mutuamente no isomorfas. Y determinar el diagrama y viceversa. ${\displaystyle \rho ^{D}}$ ${\displaystyle {D}}$ ${\displaystyle {D'}}$

• En particular, la representación del gran grupo está libre de multiplicidad, es decir, cada representación irreductible ocurre sólo una vez. ${\displaystyle GL_{n}\times GL_{m}}$

Se observa fácilmente la fuerte similitud con la dualidad Schur-Weyl .

Generalizaciones

Se ha trabajado mucho sobre la identidad y sus generalizaciones. Aproximadamente dos docenas de matemáticos y físicos contribuyeron al tema, por nombrar algunos: R. Howe , B. Kostant ^{[1] [2]} Medallista de Fields A. Okounkov ^{[3] [4]} A. Sokal , ^[5] D. Zeilberger . ^[6]

Parece que históricamente las primeras generalizaciones fueron obtenidas por Herbert Westren Turnbull en 1948, ^[7] quien encontró la generalización para el caso de matrices simétricas (ver ^{[5] [6]} para tratamientos modernos).

Las otras generalizaciones se pueden dividir en varios patrones. La mayoría de ellos se basan en el punto de vista del álgebra de Lie. Dichas generalizaciones consisten en cambiar el álgebra de Lie a álgebras de Lie simples ^[8] y sus super ^{[9] [10]} (q) , ^{[11] [12]} y sus versiones actuales. ^[13] Además, la identidad se puede generalizar para diferentes pares duales reductivos . ^{[14] [15]} Y finalmente se puede considerar no sólo el determinante de la matriz E, sino su permanente, ^[16] rastro de sus potencias e inmanantes. ^{[3] [4] [17] [18]} Mencionemos algunos artículos más; ^{[19] [20] [21] [22] [23] [24] [25]} aún la lista de referencias está incompleta. Durante mucho tiempo se ha creído que la identidad está íntimamente relacionada con las álgebras de Lie semisimples. Sorprendentemente, en 2008 ^[5] S. Caracciolo, A. Sportiello, AD Sokal encontraron una nueva generalización puramente algebraica de la identidad que no tiene nada que ver con ninguna álgebra de Lie. ${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}}$

Identidad de Turnbull para matrices simétricas

Considere matrices simétricas

${\displaystyle X={\begin{vmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\x_{12}&x_{22}&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\x_{13}&x_{23}&x_{33}&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\x_{1n}&x_{2n}&x_{3n}&\cdots &x_{nn}\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}2{\frac {\partial }{\partial x_{11}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{22}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&2{\frac {\partial }{\partial x_{33}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &2{\frac {\partial }{\partial x_{nn}}}\end{vmatrix}}}$

Herbert Westren Turnbull ^[7] en 1948 descubrió la siguiente identidad:

${\displaystyle \det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D)}$

La prueba combinatoria se puede encontrar en el artículo, ^[6] otra prueba y generalizaciones divertidas en el artículo, ^[5] ver también la discusión a continuación.

La identidad Howe-Umeda-Kostant-Sahi para matrices antisimétricas

Considere matrices antisimétricas

${\displaystyle X={\begin{vmatrix}0&x_{12}&x_{13}&\cdots &x_{1n}\\-x_{12}&0&x_{23}&\cdots &x_{2n}\\-x_{13}&-x_{23}&0&\cdots &x_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-x_{1n}&-x_{2n}&-x_{3n}&\cdots &0\end{vmatrix}},D={\begin{vmatrix}0&{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{12}}}&0&{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}\\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{13}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{23}}}&0&\cdots &{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}\\[6pt]\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[6pt]-{\frac {\partial }{\partial x_{1n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{2n}}}&-{\frac {\partial }{\partial x_{3n}}}&\cdots &0\end{vmatrix}}.}$

Entonces

${\displaystyle \det(XD+(n-i)\delta _{ij})=\det(X)\det(D).}$

La identidad Caracciolo-Sportiello-Sokal para matrices de Manin

Considere dos matrices M e Y sobre algún anillo asociativo que satisfacen la siguiente condición

${\displaystyle [M_{ij},Y_{kl}]=-\delta _{jk}Q_{il}~~~~~}$

para algunos elementos Q _il . O “en palabras”: los elementos en la j -ésima columna de M conmutan con los elementos en la k -ésima fila de Y a menos que j  =  k , y en este caso el conmutador de los elementos Mik _e Y kl _depende solo de i , l , pero no depende de k .

Supongamos que M es una matriz de Manin (el ejemplo más simple es la matriz con elementos conmutantes).

Entonces para el caso de matriz cuadrada

${\displaystyle \det(MY+Q\,\mathrm {diag} (n-1,n-2,\dots ,1,0))=\det(M)\det(Y).~~~~~~~}$

Aquí Q es una matriz con elementos Q _il , y diag( n  − 1,  n  − 2, ..., 1, 0) significa la matriz diagonal con los elementos n  − 1, n  − 2, ..., 1, 0 en la diagonal.

Consulte ^[5] proposición 1.2 'fórmula (1.15) página 4, nuestra Y se transpone a  su B.

Evidentemente la identidad original de Cappeli es el caso particular de esta identidad. Además de esta identidad se puede ver que en la identidad original de Capelli se pueden considerar elementos

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{ij}}}+f_{ij}(x_{11},\dots ,x_{kl},\dots )}$

para funciones arbitrarias f _ij y la identidad seguirá siendo verdadera.

La identidad Mukhin-Tarasov-Varchenko y el modelo Gaudin

Declaración

Considere las matrices X y D como en la identidad de Capelli, es decir, con elementos y en la posición ( ij ). ${\displaystyle x_{ij}}$ ${\displaystyle \partial _{ij}}$

Sea z otra variable formal (que conmuta con x ). Sean A y B unas matrices cuyos elementos son números complejos.

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-A-X{\frac {1}{z-B}}D^{t}\right)}$

${\displaystyle ={\det }_{{\text{Put all }}x{\text{ and }}z{\text{ on the left, while all derivations on the right}}}^{\text{calculate as if all commute}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-A-X{\frac {1}{z-B}}D^{t}\right)}$

Aquí el primer determinante se entiende (como siempre) como determinante de columna de una matriz con entradas no conmutativas. El determinante de la derecha se calcula como si todos los elementos conmutaran, y poniendo todas las x y z a la izquierda, mientras que las derivaciones a la derecha. (Esta receta se llama ordenamiento de Wick en la mecánica cuántica ).

El sistema cuántico integrable de Gaudin y el teorema de Talalaev

La matriz

${\displaystyle L(z)=A+X{\frac {1}{z-B}}D^{t}}$

es una matriz Lax para el sistema de cadena de espín integrable cuántico de Gaudin. D. Talalaev resolvió el antiguo problema de la solución explícita del conjunto completo de leyes de conservación de la conmutación cuántica del modelo de Gaudin y descubrió el siguiente teorema.

Considerar

${\displaystyle \det \left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}-L(z)\right)=\sum _{i=0}^{n}H_{i}(z)\left({\frac {\partial }{\partial _{z}}}\right)^{i}.}$

Entonces para todo i,j,z,w

${\displaystyle [H_{i}(z),H_{j}(w)]=0,~~~~~~~~}$

es decir, H _i ( z ) son funciones generadoras en z para los operadores diferenciales en x , todos los cuales conmutan. Por tanto, proporcionan leyes de conservación de la conmutación cuántica para el modelo de Gaudin.

Permanentes, inmanantes, huellas: "identidades superiores de Capelli"

La identidad original de Capelli es una declaración sobre determinantes. Posteriormente se encontraron identidades análogas para permanentes , inmanantes y huellas. Uno de los primeros resultados en esta dirección se basó en el artículo sobre el enfoque combinatorio de SG Williamson ^{[26] .}

Identidad de Turnbull para permanentes de matrices antisimétricas

Considere las matrices antisimétricas X y D con elementos x _ij y sus correspondientes derivaciones, como en el caso de la identidad HUKS anterior.

Entonces

${\displaystyle \mathrm {perm} (X^{t}D-(n-i)\delta _{ij})=\mathrm {perm} _{{\text{Put all }}x{\text{ on the left, with all derivations on the right}}}^{\text{Calculate as if all commute}}(X^{t}D).}$

Citemos: ^[6] "...se afirma sin pruebas al final del artículo de Turnbull". Los propios autores siguen a Turnbull: al final de su artículo escriben:

"Dado que la prueba de esta última identidad es muy similar a la prueba del análogo simétrico de Turnbull (con un ligero giro), lo dejamos como un ejercicio instructivo y ameno para el lector".

La identidad está profundamente analizada en el papel. ^[27]

Referencias

1. Kostant, B .; Sahi, S. (1991), "La identidad Capelli, dominios de tubo y la transformada de Laplace generalizada", Avances en Matemáticas , 87 : 71–92, doi : 10.1016/0001-8708(91)90062-C
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3. Okounkov, A. (1996), "Inmanantes cuánticos e identidades Capelli superiores", Grupos de transformación , 1 (1–2): 99–126, arXiv : q-alg/9602028 , Bibcode : 1996q.alg.... .2028O, doi :10.1007/BF02587738, S2CID  262827
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Otras lecturas

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• Howe, Roger ; Umeda, Toru (1991), "La identidad de Capelli, el teorema del doble conmutante y acciones libres de multiplicidad", Mathematische Annalen , 290 (1): 565–619, doi :10.1007/BF01459261, S2CID  120894514
• Umeda, Tôru (1998), "Las identidades Capelli, un siglo después", Artículos seleccionados sobre análisis, grupos e invariantes armónicos, Amer. Matemáticas. Soc. Traducción Ser. 2, vol. 183, americano. Matemáticas. Soc., págs. 51–78, ISBN 978-0-8218-0840-5, señor  1615137
• Weyl, Hermann (1946), Los grupos clásicos: sus invariantes y representaciones, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-05756-9, SEÑOR  0000255