Teoría de la mentira

Estudio de grupos de Lie, álgebras de Lie y ecuaciones diferenciales

En matemáticas , el matemático Sophus Lie ( / l iː / LEE ) inició líneas de estudio que involucraban la integración de ecuaciones diferenciales , grupos de transformación y contacto de esferas que han llegado a ser llamadas teoría de Lie . ^[1] Por ejemplo, el último tema es la geometría de esferas de Lie . Este artículo aborda su enfoque de los grupos de transformación, que es una de las áreas de las matemáticas , y fue elaborado por Wilhelm Killing y Élie Cartan .

La base de la teoría de Lie es la función exponencial que relaciona las álgebras de Lie con los grupos de Lie , llamada correspondencia grupo de Lie-álgebra de Lie . El tema forma parte de la geometría diferencial , ya que los grupos de Lie son variedades diferenciables . Los grupos de Lie evolucionan a partir de la identidad (1) y los vectores tangentes a los subgrupos de un parámetro generan el álgebra de Lie. La estructura de un grupo de Lie está implícita en su álgebra, y la estructura del álgebra de Lie se expresa mediante sistemas de raíces y datos de raíces .

La teoría de Lie ha sido particularmente útil en física matemática ya que describe los grupos de transformación estándar: el grupo galileano , el grupo de Lorentz , el grupo de Poincaré y el grupo conforme del espacio-tiempo .

Teoría de la mentira elemental

Los grupos de un parámetro son el primer ejemplo de la teoría de Lie. El caso compacto surge a través de la fórmula de Euler en el plano complejo . Otros grupos de un parámetro se dan en el plano de los números complejos divididos como la hipérbola unitaria

${\displaystyle \lbrace \exp(jt)=\cosh(t)+j\sinh(t):t\in R\rbrace ,\quad j^{2}=+1}$

y en el plano de números duales como la línea En estos casos los parámetros del álgebra de Lie tienen nombres: ángulo , ángulo hiperbólico y pendiente . ^[2] Estas especies de ángulo son útiles para proporcionar descomposiciones polares que describen subálgebras de matrices reales de 2 x 2. ^[3] ${\displaystyle \lbrace \exp(\varepsilon t)=1+\varepsilon t:t\in R\rbrace \quad \varepsilon ^{2}=0.}$

Existe un par clásico de álgebra y grupo de Lie de 3 parámetros: los cuaterniones de longitud unitaria que se pueden identificar con la 3-esfera . Su álgebra de Lie es el subespacio de vectores cuaterniones . Como el conmutador ij − ji = 2k, el corchete de Lie en esta álgebra es el doble del producto vectorial del análisis vectorial ordinario .

Otro ejemplo elemental de tres parámetros lo proporciona el grupo de Heisenberg y su álgebra de Lie. Los tratamientos estándar de la teoría de Lie suelen comenzar con los grupos clásicos .

Historia y alcance

Las primeras expresiones de la teoría de Lie se encuentran en los libros compuestos por Sophus Lie con Friedrich Engel y Georg Scheffers entre 1888 y 1896.

En los primeros trabajos de Lie, la idea era construir una teoría de grupos continuos , que complementara la teoría de grupos discretos que se había desarrollado en la teoría de formas modulares , de la mano de Felix Klein y Henri Poincaré . La aplicación inicial que Lie tenía en mente era la teoría de ecuaciones diferenciales . Sobre el modelo de la teoría de Galois y las ecuaciones polinómicas , la concepción impulsora era la de una teoría capaz de unificar, mediante el estudio de la simetría , todo el ámbito de las ecuaciones diferenciales ordinarias .

Según el historiador Thomas W. Hawkins, fue Élie Cartan quien hizo de la teoría de Lie lo que es hoy:

Aunque Lie tuvo muchas ideas fructíferas, Cartan fue el principal responsable de las extensiones y aplicaciones de su teoría que la han convertido en un componente básico de las matemáticas modernas. Fue él quien, con cierta ayuda de Weyl , desarrolló las ideas seminales, esencialmente algebraicas, de Killing en la teoría de la estructura y representación de las álgebras de Lie semisimples que desempeña un papel tan fundamental en la teoría de Lie actual. Y aunque Lie imaginó aplicaciones de su teoría a la geometría, fue Cartan quien realmente las creó, por ejemplo a través de sus teorías de espacios simétricos y generalizados, incluyendo todos los aparatos que las acompañan ( marcos móviles , formas diferenciales exteriores , etc.) ^[4]

Los tres teoremas de Lie

En su trabajo sobre grupos de transformación, Sophus Lie demostró tres teoremas que relacionan los grupos y las álgebras que llevan su nombre. El primer teorema exhibió la base de un álgebra a través de transformaciones infinitesimales . ^{[5] : 96} El segundo teorema exhibió constantes de estructura del álgebra como resultado de productos conmutadores en el álgebra. ^{[5] : 100} El tercer teorema mostró que estas constantes son antisimétricas y satisfacen la identidad de Jacobi . ^{[5] : 106} Como escribió Robert Gilmore:

Los tres teoremas de Lie proporcionan un mecanismo para construir el álgebra de Lie asociada con cualquier grupo de Lie. También caracterizan las propiedades de un álgebra de Lie. ¶ Los inversos de los tres teoremas de Lie hacen lo opuesto: proporcionan un mecanismo para asociar un grupo de Lie con cualquier álgebra de Lie de dimensión finita... El teorema de Taylor permite la construcción de una función de estructura analítica canónica φ(β,α) a partir del álgebra de Lie. ¶ Estos siete teoremas –los tres teoremas de Lie y sus inversos, y el teorema de Taylor– proporcionan una equivalencia esencial entre los grupos de Lie y las álgebras. ^[5]

Aspectos de la teoría de Lie

La teoría de Lie se basa con frecuencia en el estudio de los grupos algebraicos lineales clásicos . Las ramas especiales incluyen los grupos de Weyl , los grupos de Coxeter y los edificios . El tema clásico se ha ampliado a los grupos de tipo Lie .

En 1900, David Hilbert desafió a los teóricos de Lie con su Quinto Problema presentado en el Congreso Internacional de Matemáticos en París.

Véase también

• Fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff
• Glosario de grupos de Lie y álgebras de Lie
• Lista de temas de los grupos de Lie
• Integrador de grupo Lie

Notas y referencias

1. "Los logros duraderos de Lie son las grandes teorías que creó. Sin embargo, estas teorías (grupos de transformación, integración de ecuaciones diferenciales, geometría de contacto) no surgieron en el vacío. Fueron precedidas por resultados particulares de un alcance más limitado, que señalaron el camino a teorías más generales que siguieron. La correspondencia línea-esfera es seguramente un ejemplo de este fenómeno: establece claramente el escenario para el trabajo posterior de Lie sobre transformaciones de contacto y grupos de simetría". R. Milson (2000) "An Overview of Lie's line-sphere correlation", pp 1–10 de The Geometric Study of Differential Equations , JA Leslie & TP Robart editors, American Mathematical Society ISBN  0-8218-2964-5 , cita pp 8,9
2. Geometría/Ángulos unificados en Wikilibros
3. Álgebra abstracta/Matrices reales 2x2 en Wikilibros
4. Thomas Hawkins (1996) Historia Mathematica 23(1):92–5
5. Robert Gilmore (1974) Grupos de Lie, álgebras de Lie y algunas de sus aplicaciones , página 87, Wiley ISBN 0-471-30179-5 

• John A. Coleman (1989) "El mayor artículo matemático de todos los tiempos", The Mathematical Intelligencer 11(3): 29–38.

Lectura adicional

• MA Akivis y BA Rosenfeld (1993) Élie Cartan (1869–1951) , traducido del original ruso por VV Goldberg, capítulo 2: Grupos de Lie y álgebras de Lie, American Mathematical Society ISBN 0-8218-4587-X . 
• PM Cohn (1957) Grupos de Lie , Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
  • Nijenhuis, Albert (1959). "Revisión: Grupos de Lie, por PM Cohn". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 65 (6): 338–341. doi : 10.1090/s0002-9904-1959-10358-x .
• JL Coolidge (1940) Una historia de los métodos geométricos , págs. 304-17, Oxford University Press (Dover Publications 2003).
• Robert Gilmore (2008) Grupos de Lie, física y geometría: una introducción para físicos, ingenieros y químicos , Cambridge University Press ISBN 9780521884006 . 
• F. Reese Harvey (1990) Espinores y calibraciones , Academic Press, ISBN 0-12-329650-1 . 
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, vol. 222 (2.ª ed.), Springer, ISBN 978-3319134666.
• Hawkins, Thomas (2000). Surgimiento de la teoría de los grupos de Lie: un ensayo sobre la historia de las matemáticas, 1869-1926 . Springer. ISBN 0-387-98963-3.
• Sattinger, David H.; Weaver, OL (1986). Grupos de Lie y álgebras con aplicaciones a la física, la geometría y la mecánica . Springer-Verlag. ISBN 3-540-96240-9.
• Stillwell, John (2008). Teoría de la mentira ingenua . Springer. ISBN 978-0-387-98289-2.
• Heldermann Verlag Revista de teoría de la mentira