polinomio de Lagrange

Polinomios utilizados para la interpolación.

Esta imagen muestra, para cuatro puntos ( (−9, 5) , (−4, 2) , (−1, −2) , (7, 9) ), el polinomio de interpolación (cúbico) L ( x ) (discontinuo, negro), que es la suma de los polinomios de base escalados y ₀ ℓ ₀ ( x ) , y ₁ ℓ ₁ ( x ) , y ₂ ℓ ₂ ( x ) y y ₃ ℓ ₃ ( x ) . El polinomio de interpolación pasa por los cuatro puntos de control, y cada polinomio de base escalada pasa por su respectivo punto de control y es 0 donde x corresponde a los otros tres puntos de control.

En análisis numérico , el polinomio de interpolación de Lagrange es el único polinomio de menor grado que interpola un conjunto dado de datos.

Dado un conjunto de datos de pares de coordenadas , se denominan nodos y se denominan valores . El polinomio de Lagrange tiene grado y asume cada valor en el nodo correspondiente, ${\displaystyle (x_{j},y_{j})}$ ${\displaystyle 0\leq j\leq k,}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\textstyle \leq k}$ ${\displaystyle L(x_{j})=y_{j}.}$

Aunque lleva el nombre de Joseph-Louis Lagrange , quien lo publicó en 1795, ^[1] el método fue descubierto por primera vez en 1779 por Edward Waring . ^[2] También es una fácil consecuencia de una fórmula publicada en 1783 por Leonhard Euler . ^[3]

Los usos de los polinomios de Lagrange incluyen el método de integración numérica de Newton-Cotes , el esquema de intercambio secreto de Shamir en criptografía y la corrección de errores de Reed-Solomon en teoría de codificación .

Para nodos equiespaciados, la interpolación de Lagrange es susceptible al fenómeno de gran oscilación de Runge .

Definición

Dado un conjunto de nodos , que deben ser todos distintos, para índices , la base de Lagrange para polinomios de grado para esos nodos es el conjunto de polinomios, cada uno de grado , que toma valores si y . Usando el delta de Kronecker esto se puede escribir. Cada polinomio base se puede describir explícitamente mediante el producto: ${\textstyle k+1}$ ${\displaystyle \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}\}}$ ${\displaystyle x_{j}\neq x_{m}}$ ${\displaystyle j\neq m}$ ${\textstyle \leq k}$ ${\textstyle \{\ell _{0}(x),\ell _{1}(x),\ldots ,\ell _{k}(x)\}}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle \ell _{j}(x_{m})=0}$ ${\textstyle m\neq j}$ ${\textstyle \ell _{j}(x_{j})=1}$ ${\textstyle \ell _{j}(x_{m})=\delta _{jm}.}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}(x)&={\frac {(x-x_{0})}{(x_{j}-x_{0})}}\cdots {\frac {(x-x_{j-1})}{(x_{j}-x_{j-1})}}{\frac {(x-x_{j+1})}{(x_{j}-x_{j+1})}}\cdots {\frac {(x-x_{k})}{(x_{j}-x_{k})}}\\[10mu]&=\prod _{\begin{smallmatrix}0\leq m\leq k\\m\neq j\end{smallmatrix}}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}.\end{aligned}}}$$

Observe que el numerador tiene raíces en los nodos mientras que el denominador escala el polinomio resultante de modo que ${\textstyle \prod _{m\neq j}(x-x_{m})}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle \{x_{m}\}_{m\neq j}}$ ${\textstyle \prod _{m\neq j}(x_{j}-x_{m})}$ ${\textstyle \ell _{j}(x_{j})=1.}$

El polinomio de interpolación de Lagrange para esos nodos a través de los valores correspondientes es la combinación lineal: ${\displaystyle \{y_{0},y_{1},\ldots ,y_{k}\}}$

$${\displaystyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x).}$$

Cada polinomio base tiene grado , por lo que la suma tiene grado e interpola los datos porque ${\textstyle k}$ ${\textstyle L(x)}$ ${\textstyle \leq k}$ ${\textstyle L(x_{m})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}(x_{m})=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\delta _{mj}=y_{m}.}$

El polinomio de interpolación es único. Prueba: supongamos que el polinomio de grado interpola los datos. Entonces la diferencia es cero en nodos distintos. Pero el único polinomio de grado con más de raíces es la función cero constante, entonces o ${\textstyle M(x)}$ ${\textstyle \leq k}$ ${\textstyle M(x)-L(x)}$ ${\textstyle k+1}$ ${\textstyle \{x_{0},x_{1},\ldots ,x_{k}\}.}$ ${\textstyle \leq k}$ ${\textstyle k}$ ${\textstyle M(x)-L(x)=0,}$ ${\textstyle M(x)=L(x).}$

forma baricéntrica

Cada polinomio de base de Lagrange se puede reescribir como el producto de tres partes, una función común a cada polinomio de base, una constante específica del nodo (llamada peso baricéntrico ) y una parte que representa el desplazamiento de a : ^[4] ${\textstyle \ell _{j}(x)}$ ${\textstyle \ell (x)=\prod _{m}(x-x_{m})}$ ${\textstyle w_{j}=\prod _{m\neq j}(x_{j}-x_{m})^{-1}}$ ${\textstyle x_{j}}$ ${\textstyle x}$

$${\displaystyle \ell _{j}(x)=\ell (x){\dfrac {w_{j}}{x-x_{j}}}}$$

Factorizando la suma, podemos escribir el polinomio de Lagrange en la llamada primera forma baricéntrica : ${\textstyle \ell (x)}$

${\displaystyle L(x)=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}.}$

Si los pesos se han calculado previamente, esto requiere solo operaciones comparadas para evaluar cada polinomio de base de Lagrange individualmente. ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(k^{2})}$ ${\displaystyle \ell _{j}(x)}$

La fórmula de interpolación baricéntrica también se puede actualizar fácilmente para incorporar un nuevo nodo dividiendo cada uno de los , por y construyendo el nuevo como se indicó anteriormente. ${\displaystyle x_{k+1}}$ ${\displaystyle w_{j}}$ ${\displaystyle j=0\dots k}$ ${\displaystyle (x_{j}-x_{k+1})}$ ${\displaystyle w_{k+1}}$

Para cualquiera, porque la función constante es el único polinomio de grado que interpola los datos, podemos simplificar aún más la fórmula baricéntrica dividiendo ${\textstyle x,}$ ${\textstyle \sum _{j=0}^{k}\ell _{j}(x)=1}$ ${\textstyle g(x)=1}$ ${\displaystyle \leq k}$ ${\textstyle \{(x_{0},1),(x_{1},1),\ldots ,(x_{k},1)\}.}$ ${\displaystyle L(x)=L(x)/g(x)\colon }$

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{\Bigg /}\ell (x)\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}\\[10mu]&=\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}{\Bigg /}\sum _{j=0}^{k}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}.\end{aligned}}}$

Esto se denomina segunda forma o forma verdadera de la fórmula de interpolación baricéntrica.

Esta segunda forma tiene ventajas en cuanto a costo y precisión de cálculo: evita la evaluación de ; el trabajo para calcular cada término en el denominador ya se ha realizado en informática y, por lo tanto, calcular la suma en el denominador solo cuesta operaciones de suma; para los puntos de evaluación que están cerca de uno de los nodos , la cancelación catastrófica normalmente sería un problema para el valor ; sin embargo, esta cantidad aparece tanto en el numerador como en el denominador y los dos se cancelan dejando una buena precisión relativa en el resultado final. ${\displaystyle \ell (x)}$ ${\displaystyle w_{j}/(x-x_{j})}$ ${\displaystyle {\bigl (}w_{j}/(x-x_{j}){\bigr )}y_{j}}$ ${\textstyle k-1}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle x_{j}}$ ${\textstyle (x-x_{j})}$

El uso de esta fórmula para evaluar en uno de los nodos dará como resultado un valor indeterminado ; Las implementaciones informáticas deben reemplazar dichos resultados por ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle x_{j}}$ ${\displaystyle \infty y_{j}/\infty }$ ${\displaystyle L(x_{j})=y_{j}.}$

Cada polinomio de base de Lagrange también se puede escribir en forma baricéntrica:

${\displaystyle \ell _{j}(x)={\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}{\Bigg /}\sum _{m=0}^{k}{\frac {w_{m}}{x-x_{m}}}.}$

Una perspectiva desde el álgebra lineal.

Resolver un problema de interpolación conduce a un problema de álgebra lineal que equivale a la inversión de una matriz. Usando una base monomial estándar para nuestro polinomio de interpolación , debemos invertir la matriz de Vandermonde para resolver los coeficientes de . Al elegir una base mejor, la base de Lagrange, simplemente obtenemos la matriz identidad , que es su propia inversa: la base de Lagrange invierte automáticamente el análogo de la matriz de Vandermonde. ${\textstyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}x^{j}m_{j}}$ ${\displaystyle (x_{i})^{j}}$ ${\displaystyle L(x_{i})=y_{i}}$ ${\displaystyle m_{j}}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\textstyle L(x)=\sum _{j=0}^{k}l_{j}(x)y_{j}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$

Esta construcción es análoga al teorema del resto chino . En lugar de verificar los restos de números enteros módulo números primos, estamos verificando los restos de polinomios cuando se dividen por lineales.

Además, cuando el orden es grande, se puede utilizar la transformación rápida de Fourier para resolver los coeficientes del polinomio interpolado.

Ejemplo

Deseamos interpolar el dominio en los tres nodos : ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$ ${\displaystyle 1\leq x\leq 3}$ ${\displaystyle \{1,\,2,\,3\}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=1,&&&y_{0}=f(x_{0})&=1,\\[3mu]x_{1}&=2,&&&y_{1}=f(x_{1})&=4,\\[3mu]x_{2}&=3,&&&y_{2}=f(x_{2})&=9.\end{aligned}}}$

El polinomio de nodo es ${\displaystyle \ell }$

${\displaystyle \ell (x)=(x-1)(x-2)(x-3)=x^{3}-6x^{2}+11x-6.}$

Los pesos baricéntricos son

${\displaystyle {\begin{aligned}w_{0}&=(1-2)^{-1}(1-3)^{-1}={\tfrac {1}{2}},\\[3mu]w_{1}&=(2-1)^{-1}(2-3)^{-1}=-1,\\[3mu]w_{2}&=(3-1)^{-1}(3-2)^{-1}={\tfrac {1}{2}}.\end{aligned}}}$

Los polinomios de base de Lagrange son

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{0}(x)&={\frac {x-2}{1-2}}\cdot {\frac {x-3}{1-3}}={\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {5}{2}}x+3,\\[5mu]\ell _{1}(x)&={\frac {x-1}{2-1}}\cdot {\frac {x-3}{2-3}}=-x^{2}+4x-3,\\[5mu]\ell _{2}(x)&={\frac {x-1}{3-1}}\cdot {\frac {x-2}{3-2}}={\tfrac {1}{2}}x^{2}-{\tfrac {3}{2}}x+1.\end{aligned}}}$

El polinomio de interpolación de Lagrange es:

${\displaystyle {\begin{aligned}L(x)&=1\cdot {\frac {x-2}{1-2}}\cdot {\frac {x-3}{1-3}}+4\cdot {\frac {x-1}{2-1}}\cdot {\frac {x-3}{2-3}}+9\cdot {\frac {x-1}{3-1}}\cdot {\frac {x-2}{3-2}}\\[6mu]&=x^{2}.\end{aligned}}}$

En (segunda) forma baricéntrica,

${\displaystyle L(x)={\frac {\displaystyle \sum _{j=0}^{2}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}y_{j}}{\displaystyle \sum _{j=0}^{2}{\frac {w_{j}}{x-x_{j}}}}}={\frac {\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{x-1}}+{\frac {-4}{x-2}}+{\frac {\tfrac {9}{2}}{x-3}}}{\displaystyle {\frac {\tfrac {1}{2}}{x-1}}+{\frac {-1}{x-2}}+{\frac {\tfrac {1}{2}}{x-3}}}}.}$

Notas

Ejemplo de divergencia de interpolación para un conjunto de polinomios de Lagrange.

La forma de Lagrange del polinomio de interpolación muestra el carácter lineal de la interpolación polinómica y la unicidad del polinomio de interpolación. Por tanto, se prefiere en pruebas y argumentos teóricos. La unicidad también se puede ver en la invertibilidad de la matriz de Vandermonde, debido a que el determinante de Vandermonde no desaparece .

Pero, como se puede ver en la construcción, cada vez que cambia un nodo x _k , todos los polinomios de base de Lagrange deben recalcularse. Una mejor forma del polinomio de interpolación para fines prácticos (o computacionales) es la forma baricéntrica de la interpolación de Lagrange (ver más abajo) o polinomios de Newton .

Lagrange y otras interpolaciones en puntos equidistantes, como en el ejemplo anterior, producen un polinomio que oscila por encima y por debajo de la función verdadera. Este comportamiento tiende a crecer con el número de puntos, dando lugar a una divergencia conocida como fenómeno de Runge ; el problema puede eliminarse eligiendo puntos de interpolación en los nodos de Chebyshev . ^[5]

Los polinomios de base de Lagrange se pueden utilizar en integración numérica para derivar las fórmulas de Newton-Cotes .

Resto en la fórmula de interpolación de Lagrange

Al interpolar una función dada f por un polinomio de grado k en los nodos obtenemos el resto que se puede expresar como ^[6] ${\displaystyle x_{0},...,x_{k}}$ ${\displaystyle R(x)=f(x)-L(x)}$

${\displaystyle R(x)=f[x_{0},\ldots ,x_{k},x]\ell (x)=\ell (x){\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}},\quad \quad x_{0}<\xi <x_{k},}$

¿Dónde está la notación para diferencias divididas ? Alternativamente, el resto se puede expresar como una integral de contorno en un dominio complejo como ${\displaystyle f[x_{0},\ldots ,x_{k},x]}$

${\displaystyle R(x)={\frac {\ell (x)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(t)}{(t-x)(t-x_{0})\cdots (t-x_{k})}}dt={\frac {\ell (x)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {f(t)}{(t-x)\ell (t)}}dt.}$

El resto puede vincularse como

${\displaystyle |R(x)|\leq {\frac {(x_{k}-x_{0})^{k+1}}{(k+1)!}}\max _{x_{0}\leq \xi \leq x_{k}}|f^{(k+1)}(\xi )|.}$

Derivación [7]

Claramente, es cero en los nodos. Para encontrar en un punto , defina una nueva función y elija dónde está la constante que debemos determinar para un punto determinado . Elegimos que tenga ceros (en todos los nodos y ) entre y (incluidos los puntos finales). Suponiendo que es -veces diferenciable, ya que y son polinomios, y por tanto, son infinitamente diferenciables, será -veces diferenciable. Según el teorema de Rolle , tiene ceros, tiene ceros... tiene 1 cero, digamos . Escribiendo explícitamente : ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle R(x)}$ ${\displaystyle x_{p}}$ ${\displaystyle F(x)=R(x)-{\tilde {R}}(x)=f(x)-L(x)-{\tilde {R}}(x)}$ ${\textstyle {\tilde {R}}(x)=C\cdot \prod _{i=0}^{k}(x-x_{i})}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x_{p}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle k+2}$ ${\displaystyle x_{p}}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle x_{k}}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle L(x)}$ ${\displaystyle {\tilde {R}}(x)}$ ${\displaystyle F(x)}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle F^{(1)}(x)}$ ${\displaystyle k+1}$ ${\displaystyle F^{(2)}(x)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle F^{(k+1)}}$ ${\displaystyle \xi ,\,x_{0}<\xi <x_{k}}$ ${\displaystyle F^{(k+1)}(\xi )}$

${\displaystyle F^{(k+1)}(\xi )=f^{(k+1)}(\xi )-L^{(k+1)}(\xi )-{\tilde {R}}^{(k+1)}(\xi )}$

${\displaystyle L^{(k+1)}=0,{\tilde {R}}^{(k+1)}=C\cdot (k+1)!}$(Porque el poder más alto de in es ) ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle {\tilde {R}}(x)}$ ${\displaystyle k+1}$

${\displaystyle 0=f^{(k+1)}(\xi )-C\cdot (k+1)!}$

La ecuación se puede reordenar como

${\displaystyle C={\frac {f^{(k+1)}(\xi )}{(k+1)!}}}$

Desde que tenemos ${\displaystyle F(x_{p})=0}$ ${\displaystyle R(x_{p})={\tilde {R}}(x_{p})={\frac {f^{k+1}(\xi )}{(k+1)!}}\prod _{i=0}^{k}(x_{p}-x_{i})}$

Derivados

La d -ésima derivada de un polinomio de interpolación de Lagrange se puede escribir en términos de las derivadas de los polinomios básicos,

${\displaystyle L^{(d)}(x):=\sum _{j=0}^{k}y_{j}\ell _{j}^{(d)}(x).}$

Recuerde (ver § Definición anterior) que cada polinomio de base de Lagrange es

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}(x)&=\prod _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\neq j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}.\end{aligned}}}$$

La primera derivada se puede encontrar usando la regla del producto :

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}'(x)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\Biggl [}{\frac {1}{x_{j}-x_{i}}}\prod _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\not =(i,j)\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{m}}{x_{j}-x_{m}}}{\Biggr ]}\\[5mu]&=\ell _{j}(x)\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}.\end{aligned}}}$

La segunda derivada es

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}''(x)&=\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\neq j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x_{j}-x_{i}}}{\Biggl [}\sum _{\begin{smallmatrix}m=0\\m\neq (i,j)\end{smallmatrix}}^{k}{\Biggl (}{\frac {1}{x_{j}-x_{m}}}\prod _{\begin{smallmatrix}n=0\\n\neq (i,j,m)\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {x-x_{n}}{x_{j}-x_{n}}}{\Biggr )}{\Biggr ]}\\[10mu]&=\ell _{j}(x)\sum _{0\leq i<m\leq k}{\frac {2}{(x-x_{i})(x-x_{m})}}\\[10mu]&=\ell _{j}(x){\Biggl [}{\Biggl (}\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{x-x_{i}}}{\Biggr )}^{2}-\sum _{\begin{smallmatrix}i=0\\i\not =j\end{smallmatrix}}^{k}{\frac {1}{(x-x_{i})^{2}}}{\Biggr ]}.\end{aligned}}}$

La tercera derivada es

${\displaystyle {\begin{aligned}\ell _{j}'''(x)&=\ell _{j}(x)\sum _{0\leq i<m<n\leq k}{\frac {3!}{(x-x_{i})(x-x_{m})(x-x_{n})}}\end{aligned}}}$

y lo mismo para derivados superiores.

Tenga en cuenta que todas estas fórmulas para derivadas no son válidas en un nodo o cerca de él. Un método para evaluar todos los órdenes de derivadas de un polinomio de Lagrange de manera eficiente en todos los puntos del dominio, incluidos los nodos, es convertir el polinomio de Lagrange a la forma de potencia y luego evaluar las derivadas.

campos finitos

El polinomio de Lagrange también se puede calcular en campos finitos . Esto tiene aplicaciones en criptografía , como en el esquema Secret Shamir de Shamir .

Ver también

• algoritmo de neville
• Forma de Newton del polinomio de interpolación
• polinomio de Bernstein
• teorema de carlson
• constante de lebesgue
• El sistema Chebfun
• Tabla de series newtonianas
• covariante de Frobenius
• La fórmula de Sylvester
• Coeficiente de diferencias finitas
• interpolación de Hermite

Referencias

1. Lagrange, Joseph-Louis (1795). "Leçon Cinquième. Sur l'usage des courbes dans la solucion des problèmes". Leçons Elémentaires sur les Mathématiques (en francés). París.Republicado en Serret, Joseph-Alfred , ed. (1877). Obras de Lagrange . vol. 7. Gauthier-Villars. págs. 271–287.Traducido como "Conferencia V. Sobre el empleo de curvas en la solución de problemas". Conferencias sobre Matemática Elemental . Traducido por McCormack, Thomas J. (2ª ed.). Corte abierta. 1901, págs. 127-149.
2. Waring, Eduardo (1779). "Problemas de interpolación". Transacciones filosóficas de la Royal Society . 69 : 59–67. doi :10.1098/rstl.1779.0008.
3. Meijering, Erik (2002). "Una cronología de la interpolación: desde la astronomía antigua hasta el procesamiento moderno de señales e imágenes" (PDF) . Actas del IEEE . 90 (3): 319–342. doi :10.1109/5.993400.
4. Berrut, Jean-Paul ; Trefethen, Lloyd N. (2004). "Interpolación baricéntrica de Lagrange" (PDF) . Revisión SIAM . 46 (3): 501–517. Código Bib : 2004SIAMR..46..501B. doi : 10.1137/S0036144502417715 .
5. Quarteroni, Alfio ; Saleri, Fausto (2003). Computación Científica con MATLAB. Textos de ciencia e ingeniería computacional. vol. 2. Saltador. pag. 66.ISBN​ 978-3-540-44363-6..
6. Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , eds. (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 25, ecuación 25.2.3". Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficas y tablas matemáticas . Serie de Matemáticas Aplicadas. vol. 55 (Novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Publicaciones de Dover. pag. 878.ISBN​ 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. SEÑOR  0167642. LCCN  65-12253.
7. "Interpolación" (PDF) .

enlaces externos

• "Fórmula de interpolación de Lagrange", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• ALGLIB tiene implementaciones en C++/C#/VBA/Pascal.
• GSL tiene un código de interpolación polinomial en C
• SO tiene un ejemplo de MATLAB que demuestra el algoritmo y recrea la primera imagen de este artículo.
• Método de interpolación de Lagrange: notas, PPT, Mathcad, Mathematica, MATLAB, Maple Archivado el 1 de septiembre de 2006 en Wayback Machine en el Holistic Numerical Methods Institute.
• Polinomio de interpolación de Lagrange en www.math-linux.com
• Weisstein, Eric W. "Polinomio de interpolación de Lagrange". MundoMatemático .
• Polinomio de Lagrange en ProofWiki
• Interpolación dinámica de Lagrange con JSXGraph
• Computación numérica con funciones: El Proyecto Chebfun
• Función de hoja de cálculo de Excel para interpolación bicúbica de Lagrange
• Polinomios de Lagrange en Python