Gráfica de una función

Representación de una función matemática.

Gráfica de la función ${\displaystyle f(x)={\frac {x^{3}+3x^{2}-6x-8}{4}}.}$

En matemáticas , la gráfica de una función es el conjunto de pares ordenados , donde en el caso común donde y son números reales , estos pares son coordenadas cartesianas de puntos en un plano y muchas veces forman una curva . La representación gráfica de la gráfica de una función también se conoce como gráfica . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle f(x)=y.}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)}$

En el caso de funciones de dos variables –es decir, funciones cuyo dominio está formado por pares– , la gráfica suele referirse al conjunto de ternas ordenadas donde . Este es un subconjunto del espacio tridimensional ; para una función continua de valor real de dos variables reales, su gráfica forma una superficie , que se puede visualizar como un gráfico de superficie . ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle (x,y,z)}$ ${\displaystyle f(x,y)=z}$

En ciencia , ingeniería , tecnología , finanzas y otras áreas, los gráficos son herramientas que se utilizan para muchos propósitos. En el caso más simple, una variable se traza en función de otra, normalmente utilizando ejes rectangulares ; consulte Trama (gráficos) para obtener más detalles.

Una gráfica de una función es un caso especial de una relación . En los fundamentos modernos de las matemáticas y, típicamente, en la teoría de conjuntos , una función es en realidad igual a su gráfica. ^[1] Sin embargo, a menudo es útil ver las funciones como asignaciones , ^[2] que consisten no solo en la relación entre entrada y salida, sino también qué conjunto es el dominio y qué conjunto es el codominio . Por ejemplo, para decir que una función está sobre ( sobreyectiva ) o no se debe tener en cuenta el codominio. La gráfica de una función por sí sola no determina el codominio. Es común ^[3] utilizar ambos términos función y gráfica de una función ya que aunque se considere el mismo objeto, indican verlo desde una perspectiva diferente.

Gráfica de la función en el intervalo [−2,+3]. También se muestran las dos raíces reales y el mínimo local que se encuentran en el intervalo. ${\displaystyle f(x)=x^{4}-4^{x}}$

Definición

Dada una función de un conjunto X (el dominio ) a un conjunto Y (el codominio ), la gráfica de la función es el conjunto ^[4] ${\displaystyle f:X\to Y}$

$${\displaystyle G(f)=\{(x,f(x)):x\in X\},}$$

producto cartesianoteoría de conjuntos ${\displaystyle X\times Y}$

Ejemplos

Funciones de una variable

Gráfica de la función ${\displaystyle f(x,y)=\sin \left(x^{2}\right)\cdot \cos \left(y^{2}\right).}$

La gráfica de la función definida por ${\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}}$

$${\displaystyle f(x)={\begin{cases}a,&{\text{if }}x=1,\\d,&{\text{if }}x=2,\\c,&{\text{if }}x=3,\end{cases}}}$$

${\displaystyle \{1,2,3\}\times \{a,b,c,d\}}$

$${\displaystyle G(f)=\{(1,a),(2,d),(3,c)\}.}$$

Del gráfico, el dominio se recupera como el conjunto del primer componente de cada par en el gráfico . De manera similar, el rango se puede recuperar como . El codominio , sin embargo, no se puede determinar únicamente a partir del gráfico. ${\displaystyle \{1,2,3\}}$ ${\displaystyle \{1,2,3\}=\{x:\ \exists y,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$ ${\displaystyle \{a,c,d\}=\{y:\exists x,{\text{ such that }}(x,y)\in G(f)\}}$ ${\displaystyle \{a,b,c,d\}}$

La gráfica del polinomio cúbico sobre la recta real.

$${\displaystyle f(x)=x^{3}-9x}$$

$${\displaystyle \{(x,x^{3}-9x):x{\text{ is a real number}}\}.}$$

Si este conjunto se traza en un plano cartesiano , el resultado es una curva (ver figura).

Funciones de dos variables.

Trazado del gráfico que muestra también su gradiente proyectado en el plano inferior. ${\displaystyle f(x,y)=-\left(\cos \left(x^{2}\right)+\cos \left(y^{2}\right)\right)^{2},}$

La gráfica de la función trigonométrica.

$${\displaystyle f(x,y)=\sin(x^{2})\cos(y^{2})}$$

$${\displaystyle \{(x,y,\sin(x^{2})\cos(y^{2})):x{\text{ and }}y{\text{ are real numbers}}\}.}$$

Si este conjunto se traza en un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional , el resultado es una superficie (ver figura).

A menudo es útil mostrar con el gráfico el gradiente de la función y varias curvas de nivel. Las curvas de nivel se pueden representar en la superficie funcional o se pueden proyectar en el plano inferior. La segunda figura muestra un dibujo de la gráfica de la función:

$${\displaystyle f(x,y)=-(\cos(x^{2})+\cos(y^{2}))^{2}.}$$

Ver también

• Asíntota
• Cuadro
• Trama
• función cóncava
• función convexa
• Dibujo de contorno
• Punto crítico
• Derivado
• Epígrafe
• Normal a un gráfico
• Pendiente
• Punto estacionario
• tetravista
• Traducción vertical
• intercepción y

Referencias

1. Charles C Pinter (2014) [1971]. Un libro de teoría de conjuntos. Publicaciones de Dover. pag. 49.ISBN _ 978-0-486-79549-2.
2. TM Apóstol (1981). Análisis matemático . Addison-Wesley. pag. 35.
3. PR Halmos (1982). Un libro de problemas espaciales de Hilbert . Springer-Verlag. pag. 31.ISBN _ 0-387-90685-1.
4. Puentes DS (1991). Fundamentos del análisis real y abstracto. Saltador. pag. 285.ISBN _ 0-387-98239-6.

Otras lecturas

• Zălinescu, Constantin (30 de julio de 2002). Análisis convexo en espacios vectoriales generales . River Edge, Nueva Jersey Londres: World Scientific Publishing . ISBN 978-981-4488-15-0. SEÑOR  1921556. OCLC  285163112 - vía Internet Archive .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Gráfico de funciones". De MathWorld: un recurso web de Wolfram.