enlace L10a140

Enlace de tres bucles con diez cruces.

En la teoría matemática de nudos , L10a140 es el nombre en la tabla de enlaces de Thistlethwaite de un enlace de tres bucles, que tiene diez cruces entre los bucles cuando se presenta en su forma visual más simple. ^[1] Es de interés porque presumiblemente es el vínculo más simple que posee la propiedad Brunniana (un vínculo de componentes conectados que, cuando se elimina un componente, queda completamente desconectado ^[2] ), aparte de los anillos borromeanos de seis cruces . ^[3]

En otras palabras, no hay dos bucles directamente vinculados entre sí, sino que los tres están interconectados colectivamente, por lo que al eliminar cualquier bucle se liberan los otros dos. En la imagen del cuadro de información de la derecha, el bucle rojo no está entrelazado ni con el bucle azul ni con el amarillo, y si se quita el bucle rojo, los bucles azul y amarillo también se pueden desenredar entre sí sin cortar ninguno de los dos.

Según el trabajo de Slavik V. Jablan , el enlace L10a140 puede verse como el segundo de una serie infinita de enlaces brunianos que comienzan con los anillos borromeos. Entonces, si los bucles azul y amarillo tienen solo un giro a lo largo de cada lado, la configuración resultante son los anillos borromeos; si los bucles azul y amarillo tienen tres vueltas a lo largo de cada lado, la configuración resultante es el enlace L10a140; si los bucles azul y amarillo tienen cinco vueltas a lo largo de cada lado, la configuración resultante es un enlace de tres bucles con 14 cruces en total, etc., etc. ^[4]

Invariantes

El polinomio de Alexander multivariable para el enlace L10a140 es

${\displaystyle \Delta (u,v,w)={\frac {(u-1)(v-1)(w-1)(vw+1)^{2}}{vw{\sqrt {uvw}}}},\,}$

el polinomio de Conway es

${\displaystyle \nabla (z)=4z^{4}+4z^{6}+z^{8},\,}$

el polinomio de Jones se factoriza muy bien como

${\displaystyle {\begin{aligned}V(t)&=-t^{5}+3t^{4}-5t^{3}+8t^{2}-9t+12-9t^{-1}+8t^{-2}-5t^{-3}+3t^{-4}-t^{-5}\\[8pt]&=-{\frac {1}{t^{5}}}\left(t^{5}-2t^{4}+t^{3}-2t^{2}+t-1\right)\left(t^{5}-t^{4}+2t^{3}-t^{2}+2t-1\right)\\[8pt]&=w(t)w(1/t),\,\end{aligned}}}$

donde (Observe que es esencialmente el polinomio de Jones para el enlace de Whitehead ). ${\displaystyle w(t)=t^{5}-2t^{4}+t^{3}-2t^{2}+t-1.}$ ${\displaystyle w(t)}$

El polinomio HOMFLY es

${\displaystyle P(\alpha ,z)=z^{-2}\alpha ^{-2}-4z^{2}\alpha ^{-2}-4z^{4}\alpha ^{-2}-z^{6}\alpha ^{-2}-2z^{-2}+8z^{2}+12z^{4}+6z^{6}+z^{8}+z^{-2}\alpha ^{2}-4z^{2}\alpha ^{2}-4z^{4}\alpha ^{2}-z^{6}\alpha ^{2},\,}$

y el polinomio de Kauffman es

${\displaystyle {\begin{aligned}F(a,z)&=1+2z^{-2}+a^{-2}z^{-2}+a^{2}z^{-2}-2a^{-1}z^{-1}-az^{-1}-20z^{2}+2a^{-4}z^{2}\\[6pt]&{}-8a^{-2}z^{2}-8a^{2}z^{2}+2a^{4}z^{4}+2a^{4}z^{2}-2a^{-5}z^{3}+4a^{-3}z^{3}+6a^{-1}z^{3}\\[6pt]&{}+6az^{3}+4a^{3}z^{3}-2a^{5}z^{3}+42z^{4}-7a^{-4}z^{4}+14a^{-2}z^{4}\\[6pt]&{}+14a^{2}z^{4}-7a^{4}z^{4}+a^{-5}z^{5}-9a^{-3}z^{5}-2a^{-1}z^{5}-2az^{5}-9a^{3}z^{5}\\[6pt]&{}+a^{5}z^{5}-28z^{6}+3a^{-4}z^{6}-11a^{-2}z^{6}-11a^{2}z^{6}+3a^{4}z^{6}+4a^{-3}z^{7}\\[6pt]&{}-2a^{-1}z^{7}-2az^{7}+4a^{3}z^{7}+8z^{8}+4a^{-2}z^{8}+4a^{2}z^{8}+2a^{-1}z^{9}+2az^{9}.\end{aligned}}}$

Variantes visuales pseudosimétricas

David Swart, ^[5] e independientemente Rick Mabry y Laura McCormick, ^[6] descubrieron representaciones visuales alternativas de 12 cruces del enlace L10a140. En estas representaciones, el vínculo ya no tiene cruces estrictamente alternos (como ocurre en su forma más simple de 10 cruces), pero hay una mayor simetría superficial.

Entonces, la imagen más a la izquierda a continuación muestra un eslabón de 12 cruces (distinto tanto de los anillos borromeos como del eslabón L10a140) con simetría rotacional séxtuple. La imagen central muestra una representación similar del enlace L10a140 (pero sin una verdadera simetría rotacional). De manera similar, la imagen de la derecha muestra una representación del enlace L10a140 con simetría cuádruple superficial.

• 
  Enlace Brunniano de 12 cruces totalmente simétrico (L12a1882)
• 
  L10a140 en forma pseudo 6-simétrica
• 
  L10a140 en forma pseudo 4-simétrica

Referencias

1. "L10a140", El Atlas del Nudo .
2. Adams, Colin C. (1994). El libro del nudo , ^{[ página necesaria ]} . Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN  9780716723936 .
3. Bar-Natan, Dror (16 de agosto de 2010). "Todos los brunnianos, tal vez", Pensadero académico .
4. Jablan, Slavik V., ¿Son tan raros los vínculos borromeos? , Forma 14 (1999), 269–277. En línea en la revista electrónica Vismath . L10a140 se muestra en la figura del medio de la imagen superior.
5. Dror Bar-Natan (14 de agosto de 2010). "Un vínculo de David Swart", [Pensadero Académico] .
6. Swart, David (abril de 2011). "Es lo que es". Horizontes matemáticos . 18 (4).

enlaces externos

• "Es lo que es", Flickr.com .