Líneas sesgadas

Líneas que no están en el mismo plano.

Paralelepípedo rectangular . La recta que pasa por el segmento AD y la recta que pasa por el segmento B ₁ B son rectas sesgadas porque no están en el mismo plano.

En geometría tridimensional , las líneas oblicuas son dos líneas que no se cruzan y no son paralelas . Un ejemplo simple de un par de líneas oblicuas es el par de líneas que pasan por bordes opuestos de un tetraedro regular . Dos líneas que se encuentran en el mismo plano deben cruzarse o ser paralelas, por lo que las líneas oblicuas solo pueden existir en tres o más dimensiones . Dos rectas son asimétricas si y sólo si no son coplanares .

Posición general

Si se eligen cuatro puntos al azar de manera uniforme dentro de un cubo unitario , es casi seguro que definirán un par de líneas oblicuas. Una vez elegidos los primeros tres puntos, el cuarto punto definirá una línea no sesgada si, y sólo si, es coplanar con los primeros tres puntos. Sin embargo, el plano que pasa por los primeros tres puntos forma un subconjunto de medida cero del cubo, y la probabilidad de que el cuarto punto se encuentre en este plano es cero. Si no es así, las líneas definidas por los puntos estarán sesgadas.

De manera similar, en el espacio tridimensional, una perturbación muy pequeña de dos líneas paralelas o que se cruzan es casi seguro que las convertirá en líneas sesgadas. Por lo tanto, cuatro puntos cualesquiera en posición general siempre forman líneas oblicuas.

En este sentido, las líneas oblicuas son el caso "habitual" y las líneas paralelas o que se cruzan son casos especiales.

Fórmulas

PQ, la distancia más corta entre dos líneas oblicuas AB y CD es perpendicular tanto a AB como a CD

Prueba de asimetría

Si cada línea en un par de líneas oblicuas está definida por dos puntos por los que pasa, entonces estos cuatro puntos no deben ser coplanares, por lo que deben ser los vértices de un tetraedro de volumen distinto de cero . Por el contrario, dos pares cualesquiera de puntos que definen un tetraedro de volumen distinto de cero también definen un par de líneas oblicuas. Por lo tanto, una prueba de si dos pares de puntos definen líneas oblicuas es aplicar la fórmula para el volumen de un tetraedro en términos de sus cuatro vértices. Al denotar un punto como el vector a de 1 × 3 cuyos tres elementos son los tres valores de coordenadas del punto, y de la misma manera denotar b , c y d para los otros puntos, podemos verificar si la línea que pasa por a y b está sesgada con respecto a la línea que pasa por cyd viendo si la fórmula del volumen del tetraedro da un resultado distinto de cero :

${\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}\mathbf {a} -\mathbf {b} \\\mathbf {b} -\mathbf {c} \\\mathbf {c} -\mathbf {d} \end{matrix}}\right]\right|.}$

Puntos más cercanos

Expresando las dos rectas como vectores:

${\displaystyle {\text{Line 1:}}\;\mathbf {v_{1}} =\mathbf {p_{1}} +t_{1}\mathbf {d_{1}} }$

${\displaystyle {\text{Line 2:}}\;\mathbf {v_{2}} =\mathbf {p_{2}} +t_{2}\mathbf {d_{2}} }$

El producto cruz de y es perpendicular a las rectas. ${\displaystyle \mathbf {d_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {d_{2}} }$

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {d_{2}} }$

El plano formado por las traslaciones de la Línea 2 a lo largo contiene el punto y es perpendicular a . ${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \mathbf {p_{2}} }$ ${\displaystyle \mathbf {n_{2}} =\mathbf {d_{2}} \times \mathbf {n} }$

Por lo tanto, el punto de intersección de la Línea 1 con el plano mencionado anteriormente, que también es el punto de la Línea 1 más cercano a la Línea 2, viene dado por

${\displaystyle \mathbf {c_{1}} =\mathbf {p_{1}} +{\frac {(\mathbf {p_{2}} -\mathbf {p_{1}} )\cdot \mathbf {n_{2}} }{\mathbf {d_{1}} \cdot \mathbf {n_{2}} }}\mathbf {d_{1}} }$

De manera similar, el punto de la Línea 2 más cercano a la Línea 1 viene dado por (donde ) ${\displaystyle \mathbf {n_{1}} =\mathbf {d_{1}} \times \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {c_{2}} =\mathbf {p_{2}} +{\frac {(\mathbf {p_{1}} -\mathbf {p_{2}} )\cdot \mathbf {n_{1}} }{\mathbf {d_{2}} \cdot \mathbf {n_{1}} }}\mathbf {d_{2}} }$

Distancia

Los puntos más cercanos y forman el segmento de línea más corto que une la Línea 1 y la Línea 2: ${\displaystyle \mathbf {c_{1}} }$ ${\displaystyle \mathbf {c_{2}} }$

${\displaystyle d=\Vert \mathbf {c_{1}} -\mathbf {c_{2}} \Vert .}$

La distancia entre los puntos más cercanos en dos líneas oblicuas también se puede expresar utilizando otros vectores:

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} +\lambda \mathbf {b} ;}$

${\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {c} +\mu \mathbf {d} .}$

Aquí, el vector x de 1 × 3 representa un punto arbitrario en la línea que pasa por un punto particular a, donde b representa la dirección de la línea y el valor del número real determina dónde está el punto en la línea, y de manera similar para el punto arbitrario y en la recta que pasa por un punto particular c en la dirección d . ${\displaystyle \lambda }$

El producto vectorial de b y d es perpendicular a las rectas, al igual que el vector unitario

${\displaystyle \mathbf {n} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} }{|\mathbf {b} \times \mathbf {d} |}}}$

La distancia perpendicular entre las líneas es entonces ^[1]

${\displaystyle d=|\mathbf {n} \cdot (\mathbf {c} -\mathbf {a} )|.}$

(si | b × d | es cero las rectas son paralelas y no se puede utilizar este método).

Más de dos líneas

Configuraciones

Una configuración de líneas sesgadas es un conjunto de líneas en las que todos los pares están sesgados. Se dice que dos configuraciones son isotópicas si es posible transformar continuamente una configuración en la otra, manteniendo durante toda la transformación la invariante de que todos los pares de líneas permanezcan sesgados. Es fácil ver que dos configuraciones cualesquiera de dos líneas son isotópicas, y las configuraciones del mismo número de líneas en dimensiones superiores a tres siempre son isotópicas, pero existen múltiples configuraciones no isotópicas de tres o más líneas en tres dimensiones. ^[2] El número de configuraciones no isotópicas de n líneas en R ³ , comenzando en n = 1, es

1, 1, 2, 3, 7, 19, 74, ... (secuencia A110887 en el OEIS ).

Superficies regladas

"Una fibración del espacio proyectivo mediante líneas oblicuas en hiperboloides anidados ".

Si uno gira una línea L alrededor de otra línea M de manera sesgada pero no perpendicular a ella, la superficie de revolución barrida por L es un hiperboloide de una hoja . Por ejemplo , los tres hiperboloides visibles en la ilustración se pueden formar de esta manera girando una línea L alrededor de la línea vertical blanca central M. Las copias de L dentro de esta superficie forman un regulus ; el hiperboloide también contiene una segunda familia de líneas que también están sesgadas hacia M a la misma distancia que L de él pero con el ángulo opuesto que forman el régulo opuesto. Los dos reguli muestran el hiperboloide como una superficie reglada .

Una transformación afín de esta superficie reglada produce una superficie que en general tiene una sección transversal elíptica en lugar de la sección transversal circular producida al girar L alrededor de L'; Estas superficies también se denominan hiperboloides de una hoja y, nuevamente, están regidas por dos familias de líneas oblicuas entre sí. Un tercer tipo de superficie reglada es el paraboloide hiperbólico . Como el hiperboloide de una hoja, el paraboloide hiperbólico tiene dos familias de líneas oblicuas; en cada una de las dos familias las líneas son paralelas a un plano común aunque no entre sí. Tres líneas sesgadas cualesquiera en R ³ se encuentran exactamente en una superficie reglada de uno de estos tipos. ^[3]

teorema de galucci

Si tres líneas sesgadas se encuentran con otras tres líneas sesgadas, cualquier transversal del primer conjunto de tres se encuentra con cualquier transversal del segundo conjunto. ^{[4] [5]}

Pisos inclinados en dimensiones más altas

En el espacio de dimensiones superiores, un plano de dimensión k se denomina k -plano. Por lo tanto, una línea también puede denominarse 1 bemol.

Generalizando el concepto de líneas sesgadas al espacio d -dimensional, un i -plano y un j -plano pueden estar sesgados si i + j < d . Al igual que con las líneas en 3 espacios, los bemoles sesgados son aquellos que no son paralelos ni se cruzan.

En el espacio d afín , dos pisos de cualquier dimensión pueden ser paralelos. Sin embargo, en el espacio proyectivo el paralelismo no existe; dos pisos deben cruzarse o estar sesgados. Sea I el conjunto de puntos en un i -bemol, y sea J el conjunto de puntos en un j -bemol. En el espacio d proyectivo , si i + j ≥ d entonces la intersección de I y J debe contener un ( i + j − d ) -plano. (Un 0 -plano es un punto.)

En cualquier geometría, si I y J se cruzan en un k -plano, para k ≥ 0 , entonces los puntos de I ∪ J determinan un ( i + j − k ) -plano.

Ver también

• Distancia entre dos líneas paralelas
• Teorema de Petersen-Morley

Referencias

1. Weisstein, Eric W. , "Distancia línea-línea", MathWorld
2. Viro, Julia Drobotukhina; Viro, Oleg (1990), "Configuraciones de líneas oblicuas" (PDF) , Leningrad Math. J. (en ruso), 1 (4): 1027-1050. Versión revisada en inglés: arXiv :math.GT/0611374
3. Hilbert, David ; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometría e imaginación (2ª ed.), Chelsea, págs. 13-17, ISBN 0-8284-1087-9
4. Coxeter, HSM (1969), Introducción a la geometría (2ª ed.), John Wiley & Sons , p. 257
5. G. Gallucci (1906), "Studio della figura delle otto rette e sue applicazioni alla geometria del tetraedro ed alla teoria della configurazioni", Rendiconto dell'Accademia della Scienza Fisiche e Matematiche , tercera serie, 12 : 49–79

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. , "Líneas sesgadas", MathWorld