Protocolo KLM

El esquema KLM o protocolo KLM es una implementación de computación cuántica óptica lineal (LOQC) desarrollada en 2000 por Emanuel Knill, Raymond Laflamme y Gerard J. Milburn . Este protocolo permite la creación de computadoras cuánticas universales utilizando únicamente herramientas ópticas lineales . ^[1] El protocolo KLM utiliza elementos ópticos lineales, fuentes de fotones individuales y detectores de fotones como recursos para construir un esquema de computación cuántica que involucra únicamente recursos ancilares , teletransportaciones cuánticas y correcciones de errores .

Descripción general

El esquema KLM induce una interacción efectiva entre fotones al realizar mediciones proyectivas con fotodetectores , lo que cae en la categoría de computación cuántica no determinista . Se basa en un cambio de signo no lineal entre dos qubits que utiliza dos fotones ancillares y posselección. ^[2] También se basa en las demostraciones de que la probabilidad de éxito de las puertas cuánticas se puede hacer cercana a uno mediante el uso de estados entrelazados preparados de forma no determinista y teletransportación cuántica con operaciones de un solo qubit. ^{[3] [4]} Sin una tasa de éxito suficientemente alta de una sola unidad de puerta cuántica, puede requerir una cantidad exponencial de recursos informáticos. El esquema KLM se basa en el hecho de que la codificación cuántica adecuada puede reducir los recursos para obtener qubits codificados con precisión de manera eficiente con respecto a la precisión lograda, y puede hacer que LOQC sea tolerante a fallas por pérdida de fotones , ineficiencia del detector y decoherencia de fase . LOQC se puede implementar de manera robusta a través del esquema KLM con un requerimiento de recursos lo suficientemente bajo como para sugerir escalabilidad práctica, lo que lo convierte en una tecnología tan prometedora para el procesamiento de información cuántica como otras implementaciones conocidas.

Elementos del LOQC en el esquema KLM

Qubits y modos

Para evitar perder la generalidad, la discusión a continuación no se limita a un caso particular de representación de modo. Un estado escrito como significa un estado con cero fotones en el modo (podría ser el canal de polarización "vertical") y un fotón en el modo (podría ser el canal de polarización "horizontal"). ${\displaystyle |0,1\rangle _{VH}}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle H}$

En el protocolo KLM, cada uno de los fotones suele estar en uno de dos modos, y los modos son diferentes entre los fotones (la posibilidad de que un modo esté ocupado por más de un fotón es cero). Esto no es así solo durante las implementaciones de puertas cuánticas controladas como CNOT. Cuando el estado del sistema es como se describe, los fotones se pueden distinguir, ya que están en modos diferentes, y por lo tanto un estado de qubit se puede representar usando un solo fotón en dos modos, vertical (V) y horizontal (H): por ejemplo, y . Es común referirse a los estados definidos a través de la ocupación de modos como estados de Fock . ${\displaystyle |0\rangle \equiv |0,1\rangle _{VH}}$ ${\displaystyle |1\rangle \equiv |1,0\rangle _{VH}}$

Estas notaciones son útiles en computación cuántica , comunicación cuántica y criptografía cuántica . Por ejemplo, es muy fácil considerar una pérdida de un solo fotón usando estas notaciones, simplemente sumando el estado de vacío que contiene cero fotones en esos dos modos. Como otro ejemplo, cuando se tienen dos fotones en dos modos separados (por ejemplo, dos intervalos de tiempo o dos brazos de un interferómetro ), es fácil describir un estado entrelazado de los dos fotones. El estado singlete (dos fotones enlazados con un número cuántico de espín total ) se puede describir de la siguiente manera: si y describen los estados base de los dos modos separados, entonces el estado singlete es ${\displaystyle |0,0\rangle _{VH}}$ ${\displaystyle s=0}$ ${\displaystyle |1,0\rangle _{VH}^{a},|0,1\rangle _{VH}^{a}}$ ${\displaystyle |1,0\rangle _{VH}^{b},|0,1\rangle _{VH}^{b}}$ ${\displaystyle (|1,0\rangle _{VH}^{a}|0,1\rangle _{VH}^{b}-|0,1\rangle _{VH}^{a}|1,0\rangle _{VH}^{b})/{\sqrt {2}}.}$

Medición/lectura del estado

En el protocolo KLM, se puede leer o medir un estado cuántico utilizando detectores de fotones a lo largo de modos seleccionados. Si un fotodetector detecta una señal de fotón en un modo determinado, significa que el estado del modo correspondiente es un estado de 1 fotón antes de la medición. Como se analiza en la propuesta de KLM ^[1] , la pérdida de fotones y la eficiencia de detección influyen drásticamente en la confiabilidad de los resultados de la medición. El problema de falla correspondiente y los métodos de corrección de errores se describirán más adelante.

En este artículo se utilizará un triángulo con la punta hacia la izquierda en los diagramas de circuitos para representar el operador de lectura de estado. ^[1]

Implementaciones de puertas cuánticas elementales

Ignorando la corrección de errores y otros problemas, el principio básico en las implementaciones de puertas cuánticas elementales que utilizan solo espejos, divisores de haz y desplazadores de fase es que al utilizar estos elementos ópticos lineales , se puede construir cualquier operación unitaria arbitraria de 1 qubit; en otras palabras, esos elementos ópticos lineales admiten un conjunto completo de operadores en cualquier qubit individual.

La matriz unitaria asociada a un divisor de haz es: ${\displaystyle \mathbf {B} _{\theta ,\phi }}$

${\displaystyle U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi })={\begin{bmatrix}\cos \theta &-e^{i\phi }\sin \theta \\e^{-i\phi }\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}}$,

donde y están determinados por la amplitud de reflexión y la amplitud de transmisión (la relación se dará más adelante para un caso más simple). Para un divisor de haz simétrico, que tiene un cambio de fase bajo la condición de transformación unitaria y , se puede demostrar que ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \phi ={\frac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle |t|^{2}+|r|^{2}=1}$ ${\displaystyle t^{*}r+tr^{*}=0}$

${\displaystyle U(\mathbf {B} _{\theta ,\phi ={\frac {\pi }{2}}})={\begin{bmatrix}t&r\\r&t\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-i\sin \theta \\-i\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}=\cos \theta {\hat {I}}-i\sin \theta {\hat {\sigma }}_{x}=e^{-i\theta {\hat {\sigma }}_{x}}}$,

que es una rotación del estado de qubit único alrededor del eje en la esfera de Bloch . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 2\theta =2\cos ^{-1}(|t|)}$

Un espejo es un caso especial donde la tasa de reflexión es 1, de modo que el operador unitario correspondiente es una matriz de rotación dada por

${\displaystyle R(\theta )={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}}$.

Para la mayoría de los casos de divisores de haz utilizados en QIP, el ángulo de incidencia es . ${\displaystyle \theta =45^{\circ }}$

De manera similar, un operador de cambio de fase se asocia con un operador unitario descrito por , o, si se escribe en un formato de 2 modos ${\displaystyle \mathbf {P} _{\phi }}$ ${\displaystyle U(\mathbf {P} _{\phi })=e^{i\phi }}$

${\displaystyle U(\mathbf {P} _{\phi })={\begin{bmatrix}e^{i\phi }&0\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}e^{i\phi /2}&0\\0&e^{-i\phi /2}\end{bmatrix}}{\text{(global phase ignored)}}=e^{i{\frac {\phi }{2}}{\hat {\sigma }}_{z}}}$,

lo que equivale a una rotación sobre el eje . ${\displaystyle -\phi }$ ${\displaystyle z}$

Dado que dos rotaciones cualesquiera a lo largo de ejes rotatorios ortogonales pueden generar rotaciones arbitrarias en la esfera de Bloch, se puede utilizar un conjunto de divisores de haz simétricos y espejos para implementar operadores arbitrarios para QIP. Las figuras a continuación son ejemplos de implementación de una compuerta Hadamard y una compuerta Pauli-X (compuerta NO) mediante el uso de divisores de haz (ilustrados como rectángulos que conectan dos conjuntos de líneas cruzadas con parámetros y ) y espejos (ilustrados como rectángulos que conectan dos conjuntos de líneas cruzadas con parámetro ). ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle SU(2)}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle R(\theta )}$

En las figuras anteriores, un qubit se codifica utilizando dos canales de modo (líneas horizontales): representa un fotón en el modo superior y representa un fotón en el modo inferior. ${\displaystyle \left\vert 0\right\rangle }$ ${\displaystyle \left\vert 1\right\rangle }$

En el esquema KLM, las manipulaciones de cúbits se realizan mediante una serie de operaciones no deterministas con una probabilidad de éxito creciente. La primera mejora de esta implementación que se analizará es la compuerta de inversión de signo condicional no determinista.

Implementación de una puerta de inversión de signo condicional no determinista

Un elemento importante del esquema KLM es la compuerta de inversión de signo condicional o no lineal ( NS-gate ), como se muestra en la figura de abajo a la derecha. Proporciona un cambio de fase no lineal en un modo condicionado a dos modos auxiliares.

Implementación de óptica lineal de la compuerta NS. Los elementos enmarcados en el recuadro con borde discontinuo son la implementación de óptica lineal con tres divisores de haz y un desfasador (ver texto para parámetros). Los modos 2 y 3 son modos auxiliares.

En la imagen de la derecha, las etiquetas a la izquierda del cuadro inferior indican los modos. La salida se acepta solo si se detecta un fotón en el modo 2 y cero fotones en el modo 3, donde los modos ancillares 2 y 3 se preparan como estado. El subíndice es el cambio de fase de la salida y está determinado por los parámetros de los elementos ópticos internos elegidos. ^[1] Para el caso, se utilizan los siguientes parámetros: , , , , , , y . Para el caso, los parámetros se pueden elegir como , , , , , , y . De manera similar, al cambiar los parámetros de los divisores de haz y los desfasadores, o al combinar múltiples puertas NS, se pueden crear varias puertas cuánticas. Al compartir dos modos ancillares, Knill inventó la siguiente puerta Z controlada (ver la figura de la derecha) con una tasa de éxito de 2/27. ^[5] ${\displaystyle |1,0\rangle _{2,3}}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle \theta _{1}=22.5^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{1}=0^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta _{2}=65.5302^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{2}=0^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta _{3}=-22.5^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{3}=0^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{4}=180^{\circ }}$ ${\displaystyle x=e^{i\pi /2}}$ ${\displaystyle \theta _{1}=36.53^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{1}=88.24^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta _{2}=62.25^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{2}=-66.53^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta _{3}=-36.53^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{3}=-11.25^{\circ }}$ ${\displaystyle \phi _{4}=102.24^{\circ }}$

Implementación de óptica lineal de puerta Z controlada con modos ancillary etiquetados como 2 y 3. y . ${\displaystyle \theta =54.74^{\circ }}$ ${\displaystyle \theta '=17.63^{\circ }}$

La ventaja de utilizar puertas NS es que se puede garantizar que la salida se procese de forma condicional con una tasa de éxito que se puede mejorar hasta casi 1. Si se utiliza la configuración que se muestra en la figura anterior a la derecha, la tasa de éxito de una puerta NS es . Para mejorar aún más la tasa de éxito y resolver el problema de escalabilidad, es necesario utilizar la teletransportación de puertas, que se describe a continuación. ${\displaystyle x=-1}$ ${\displaystyle 1/4}$

Puertas de teletransportación y puertas casi deterministas

Dado el uso de puertas cuánticas no deterministas para KLM, puede haber solo una probabilidad muy pequeña de que un circuito con puertas con una posibilidad de éxito de una sola puerta funcione perfectamente ejecutando el circuito una vez. Por lo tanto, las operaciones deben repetirse en promedio en el orden de veces o dichos sistemas deben ejecutarse en paralelo. De cualquier manera, el tiempo requerido o los recursos del circuito escalan exponencialmente. ^{[ cita requerida ]} En 1999, Gottesman y Chuang señalaron que uno puede preparar las puertas probabilísticas fuera de línea desde el circuito cuántico utilizando teletransportación cuántica . ^[4] La idea básica es que cada puerta probabilística se prepara fuera de línea y la señal del evento exitoso se teletransporta de regreso al circuito cuántico. Una ilustración de la teletransportación cuántica se da en la figura de la derecha. Como se puede ver, el estado cuántico en modo 1 se teletransporta al modo 3 a través de una medición de Bell y un recurso entrelazado estado de Bell , donde el estado 1 puede considerarse como preparado fuera de línea. ${\displaystyle p^{N}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{-N}}$ ${\displaystyle p^{-N}}$ ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|01\rangle +|10\rangle )}$

El recurso Estado de Bell se puede generar a partir del estado mediante el uso de un espejo con parámetro ${\displaystyle |\Phi ^{+}\rangle }$ ${\displaystyle |10\rangle }$ ${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{4}}.}$

Representación del circuito cuántico de la teletransportación cuántica.

Al utilizar la teletransportación, se pueden preparar muchas puertas probabilísticas en paralelo con estados entrelazados de fotones , enviando una señal de control al modo de salida. Al utilizar puertas probabilísticas en paralelo fuera de línea, se puede obtener una tasa de éxito de , que es cercana a 1 a medida que se hace grande. La cantidad de puertas necesarias para lograr una cierta precisión escala polinomialmente en lugar de exponencialmente. En este sentido, el protocolo KLM es eficiente en el uso de recursos. En 2011 se demostró un experimento que utilizó la puerta NO controlada propuesta originalmente por KLM con una entrada de cuatro fotones, ^[6] y arrojó una fidelidad promedio de . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {n^{2}}{(n+1)^{2}}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle F=0.82\pm 0.01}$

Detección y corrección de errores

Como se ha comentado anteriormente, la probabilidad de éxito de las puertas de teletransportación se puede hacer arbitrariamente cercana a 1 preparando estados entrelazados más grandes . Sin embargo, el enfoque asintótico para la probabilidad de 1 es bastante lento con respecto al número de fotones . Un enfoque más eficiente es codificar contra el fallo de la puerta (error) basándose en el modo de fallo bien definido de los teletransportadores. En el protocolo KLM, el fallo del teletransportador se puede diagnosticar si se detectan cero o fotones. Si el dispositivo informático se puede codificar contra mediciones accidentales de una cierta cantidad de fotones, entonces será posible corregir los fallos de la puerta y aumentará la probabilidad de aplicar con éxito la puerta. ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n+1}$

Se han llevado a cabo muchos ensayos experimentales que utilizan esta idea (ver, por ejemplo, las referencias ^{[7] [8] [9]} ). Sin embargo, todavía se necesita una gran cantidad de operaciones para lograr una probabilidad de éxito muy cercana a 1. Para promover el protocolo KLM como una tecnología viable, se necesitan puertas cuánticas más eficientes. Este es el tema de la siguiente parte.

Mejoras

En esta sección se analizan las mejoras del protocolo KLM que se han estudiado después de la propuesta inicial.

Existen muchas maneras de mejorar el protocolo KLM para LOQC y hacer que el LOQC sea más prometedor. A continuación se presentan algunas propuestas del artículo de revisión Ref. ^[10] y otros artículos posteriores:

• Uso de estados de clúster en computación cuántica óptica .
• La computación cuántica óptica basada en circuitos revisada.
• Utilizando la purificación de entrelazamiento multipartito determinista de un solo paso con óptica lineal para generar estados de fotones entrelazados. ^[11]

Existen varios protocolos para utilizar estados de clúster para mejorar el protocolo KLM, el modelo de cálculo con esos protocolos es una implementación LOQC de la computadora cuántica unidireccional :

• El protocolo Yoran-Reznik: este protocolo utiliza cadenas de grupos para aumentar la probabilidad de éxito de la teletransportación.
• El protocolo Nielsen: este protocolo mejora el protocolo Yoran-Reznik al utilizar primero la teletransportación para agregar qubits a las cadenas de grupos y luego utiliza las cadenas de grupos ampliadas para aumentar aún más la probabilidad de éxito de la teletransportación.
• El protocolo Browne-Rudolph: este protocolo mejora el protocolo Nielsen al utilizar la teletransportación no solo para agregar qubits a las cadenas de grupos sino también para fusionarlos.

Véase también

• Muestreo de bosones

Referencias

1. Knill, E.; Laflamme, R.; Milburn, GJ (2001). "Un esquema para computación cuántica eficiente con óptica lineal". Nature . 409 (6816). Nature Publishing Group: 46–52. Bibcode :2001Natur.409...46K. doi :10.1038/35051009. PMID  11343107. S2CID  4362012.
2. Adleman, Leonard M.; DeMarrais, Jonathan; Huang, Ming-Deh A. (1997). "Computabilidad cuántica". Revista SIAM de Computación . 26 (5): 1524–1540. doi :10.1137/S0097539795293639. ISSN  0097-5397.
3. Bennett, Charles H.; Brassard, Gilles; Crépeau, Claude; Jozsa, Richard; Peres, Asher; Wootters, William K. (29 de marzo de 1993). "Teletransportación de un estado cuántico desconocido a través de canales duales clásicos y de Einstein-Podolsky-Rosen". Physical Review Letters . 70 (13): 1895–1899. Código Bibliográfico :1993PhRvL..70.1895B. doi : 10.1103/PhysRevLett.70.1895 . PMID  10053414.
4. Gottesman, Daniel; Chuang, Isaac L. (25 de noviembre de 1999). "Demostración de la viabilidad de la computación cuántica universal mediante teletransportación y operaciones de un solo cúbit". Nature . 402 (6760): 390–393. arXiv : quant-ph/9908010 . Código Bibliográfico :1999Natur.402..390G. doi :10.1038/46503. ISSN  0028-0836. S2CID  4411647.
5. Knill, E. (14 de noviembre de 2002). "Puertas cuánticas usando óptica lineal y postselección". Physical Review A . 66 (5): 052306. arXiv : quant-ph/0110144 . Código Bibliográfico :2002PhRvA..66e2306K. doi :10.1103/PhysRevA.66.052306. S2CID  119529530.
6. Okamoto, Ryo; O'Brien, Jeremy L.; Hofmann, Holger F.; Takeuchi, Shigeki (21 de junio de 2011). "Realización de un circuito cuántico NO fotónico controlado por Knill-Laflamme-Milburn que combina no linealidades ópticas efectivas". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 108 (25): 10067–10071. arXiv : 1006.4743 . Bibcode :2011PNAS..10810067O. doi : 10.1073/pnas.1018839108 . ISSN  0027-8424. PMC 3121828 . PMID  21646543. 
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