Computadora cuántica unidireccional

Método de computación cuántica

Las técnicas basadas en mediciones consisten en entrelazar un conjunto de cúbits y realizar un conjunto de mediciones. Gracias a la correlación entre los cúbits entrelazados, el flujo de información (de izquierda a derecha) se lleva a cabo mediante las mediciones de los cúbits físicos del conjunto.

La computadora cuántica unidireccional , también conocida como computadora cuántica basada en mediciones ( MBQC ), es un método de computación cuántica que primero prepara un estado de recurso entrelazado , generalmente un estado de clúster o estado de gráfico , y luego realiza mediciones de un solo cúbit en él. Es "unidireccional" porque el estado del recurso es destruido por las mediciones.

El resultado de cada medición individual es aleatorio, pero están relacionados de tal manera que el cálculo siempre es exitoso. En general, las elecciones de la base para mediciones posteriores deben depender de los resultados de mediciones anteriores y, por lo tanto, no se pueden realizar todas las mediciones al mismo tiempo.

La implementación de MBQC se considera principalmente para dispositivos fotónicos , ^[1] debido a la dificultad de entrelazar fotones sin mediciones y la simplicidad de crearlos y medirlos. Sin embargo, MBQC también es posible con qubits basados ​​en materia. ^[2] El proceso de entrelazamiento y medición se puede describir con la ayuda de herramientas gráficas y teoría de grupos , en particular mediante los elementos del grupo estabilizador.

Definición

El objetivo de la computación cuántica se centra en construir una teoría de la información con las características de la mecánica cuántica : en lugar de codificar una unidad binaria de información ( bit ), que puede convertirse en 1 o 0, una unidad binaria cuántica de información (qubit) puede convertirse simultáneamente en 0 y 1 al mismo tiempo, gracias al fenómeno llamado superposición . ^{[3] [4] [5]} Otra característica clave de la computación cuántica se basa en el entrelazamiento entre los qubits. ^{[6] [7] [8]}

Un circuito cuántico que implementa el algoritmo de Bernstein-Vazirani: y representan las puertas lógicas (operadores unitarios) que actúan sobre el registro de qubits. En el marco MBQC , las puertas lógicas se realizan entrelazando los qubits y midiendo los auxiliares. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U_{f}}$

En el modelo de puerta lógica cuántica , se prepara un conjunto de qubits, llamado registro, al comienzo del cálculo, luego se implementa un conjunto de operaciones lógicas sobre los qubits, realizadas por operadores unitarios . ^{[9] [10]} Un circuito cuántico está formado por un registro de qubits en el que se aplican transformaciones unitarias sobre los qubits. En el cálculo cuántico basado en mediciones, en lugar de implementar una operación lógica a través de transformaciones unitarias, la misma operación se ejecuta entrelazando una cantidad de qubits de entrada con un grupo de qubits auxiliares , formando un estado fuente general de qubits, y luego midiendo una cantidad de ellos. ^{[11] [12]} Los qubits de salida restantes se verán afectados por las mediciones debido al entrelazamiento con los qubits medidos. Se ha demostrado que la computadora unidireccional es una computadora cuántica universal, lo que significa que puede reproducir cualquier operación unitaria sobre una cantidad arbitraria de qubits. ^{[9] [13] [14] [15]} ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a+k=n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle k=n-a}$

Procedimiento general

El proceso estándar de computación cuántica basada en medición consta de tres pasos: ^{[16] [17]} entrelazar los qubits, medir los ancillae (qubits auxiliares) y corregir las salidas. En el primer paso, los qubits se entrelazan para preparar el estado fuente. En el segundo paso, se miden los ancillae, lo que afecta el estado de los qubits de salida. Sin embargo, las salidas de medición son resultados no deterministas, debido a la naturaleza indeterminada de la mecánica cuántica: ^[17] para llevar a cabo el cálculo de manera determinista, se introducen algunos operadores de corrección, llamados subproductos.

Preparando el estado de origen

La operación CZ en los diagramas de circuitos.

Al comienzo del cálculo, los qubits se pueden distinguir en dos categorías: los qubits de entrada y los qubits auxiliares. Los de entrada representan los qubits establecidos en un estado genérico, sobre el que se deben realizar algunas transformaciones unitarias. Para preparar el estado fuente, todos los qubits auxiliares deben estar preparados en el estado: ^{[11] [18]} ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$ ${\displaystyle |+\rangle }$

${\displaystyle |+\rangle ={\tfrac {|0\rangle +|1\rangle }{\sqrt {2}}},}$

donde y son la codificación cuántica para los bits clásicos y : ${\displaystyle |0\rangle }$ ${\displaystyle |1\rangle }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1}$

${\displaystyle |0\rangle ={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}};\quad |1\rangle ={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$.

Por lo tanto, un registro con qubits se establecerá como . A partir de entonces, el entrelazamiento entre dos qubits se puede realizar aplicando una operación de compuerta (controlada). ^[19] La representación matricial de dicho operador de dos qubits se da por ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |+\rangle ^{\otimes n}}$ ${\displaystyle CZ}$

${\displaystyle CZ={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}.}$

La acción de una puerta sobre dos qubits se puede describir mediante el siguiente sistema: ${\displaystyle CZ}$

${\displaystyle {\begin{cases}CZ|0+\rangle =|0+\rangle \\CZ|0-\rangle =|0-\rangle \\CZ|1+\rangle =|1-\rangle \\CZ|1-\rangle =|1+\rangle \end{cases}}}$

Al aplicar una compuerta sobre dos ancillae en el estado, el estado general ${\displaystyle CZ}$ ${\displaystyle |+\rangle }$

${\displaystyle CZ|++\rangle ={\frac {|0+\rangle +|1-\rangle }{\sqrt {2}}}}$

resulta ser un par de cúbits entrelazados. Al entrelazar dos ancillae, no se le da importancia a cuál es el cúbit de control y cuál el de destino, siempre que el resultado sea el mismo. De manera similar, como las puertas se representan en forma diagonal, todas se conmutan entre sí y no se le da importancia a qué cúbits entrelazar primero. ${\displaystyle CZ}$

Los fotones son el sistema de cúbits más común que se utiliza en el contexto de la computación cuántica unidireccional. ^{[20] [21] [22]} Sin embargo, las puertas deterministas entre fotones son difíciles de implementar. Por lo tanto, las puertas de entrelazamiento probabilístico, como las mediciones del estado de Bell, se consideran típicamente ^[23] . Además, los emisores cuánticos como los átomos ^[24] o los puntos cuánticos ^[25] se pueden utilizar para crear un entrelazamiento determinista entre cúbits fotónicos. ^[26] ${\displaystyle CZ}$

Medición de los qubits

Implementación de puertas X y Z sobre dos qubits en los diagramas de circuitos.

El proceso de medición sobre un estado de una sola partícula se puede describir proyectando el estado sobre el vector propio de un observable. Consideremos un observable con dos posibles vectores propios, digamos y , y supongamos que se trata de un sistema cuántico de múltiples partículas . Medir el -ésimo qubit por el observable significa proyectar el estado sobre los vectores propios de : ^[18] ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle |o_{1}\rangle }$ ${\displaystyle |o_{2}\rangle }$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle O}$

${\displaystyle |\Psi '\rangle =|o_{i}\rangle \langle o_{i}|\Psi \rangle }$.

El estado actual del -ésimo qubit es ahora , que puede convertirse en o , dependiendo del resultado de la medición (que es probabilística en mecánica cuántica). La proyección de la medición se puede realizar sobre los estados propios del observable: ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle |o_{i}\rangle }$ ${\displaystyle |o_{1}\rangle }$ ${\displaystyle |o_{2}\rangle }$ ${\displaystyle M(\theta )=\cos(\theta )X+\sin(\theta )Y}$

${\displaystyle M(\theta )=\cos(\theta ){\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}+\sin(\theta ){\begin{bmatrix}0&-i\\i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&e^{-i\theta }\\e^{i\theta }&0\end{bmatrix}}}$,

donde y pertenecen a las matrices de Pauli . Los vectores propios de son . Medir un qubit en el plano - , es decir por el observable, significa proyectarlo sobre o . En la computación cuántica unidireccional, una vez que se ha medido un qubit, no hay forma de reciclarlo en el flujo de cálculo. Por lo tanto, en lugar de utilizar la notación , es común encontrar que se indica una medición proyectiva sobre el -ésimo qubit. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M(\theta )}$ ${\displaystyle |\theta _{\pm }\rangle =|0\rangle \pm e^{i\theta }|1\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle M(\theta )}$ ${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$ ${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$ ${\displaystyle |o_{i}\rangle \langle o_{i}|}$ ${\displaystyle \langle o_{i}|}$ ${\displaystyle i}$

Corregir la salida

Una vez realizadas todas las mediciones, el sistema se ha reducido a un número menor de qubits, que forman el estado de salida del sistema. Debido al resultado probabilístico de las mediciones, el sistema no está configurado de forma determinista: después de una medición en el plano - , la salida puede cambiar si el resultado ha sido o . Para realizar un cálculo determinista, se deben introducir algunas correcciones. Los operadores de corrección, u operadores de subproducto, se aplican a los qubits de salida después de que se hayan realizado todas las mediciones. ^{[18] [27]} Los operadores de subproducto que se pueden implementar son y . ^[28] Dependiendo del resultado de la medición, se puede aplicar o no un operador de subproducto al estado de salida: una corrección sobre el -ésimo qubit, dependiendo del resultado de la medición realizada sobre el -ésimo qubit a través del observable, se puede describir como , donde se establece en si el resultado de la medición fue , de lo contrario es si fue . En el primer caso no se producirá ninguna corrección, en el segundo se implementará un operador en el -ésimo cúbit. Finalmente, aunque el resultado de una medición no sea determinista en mecánica cuántica, los resultados de las mediciones se pueden utilizar para realizar correcciones y llevar a cabo un cálculo determinista. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$ ${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle M(\theta )}$ ${\displaystyle X_{j}^{s_{i}}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle j}$

CMEpatrón

La rotación de Euler (con respecto a la base XZX) en el cálculo MBQC. Las líneas describen el entrelazamiento entre los qubits. El primer qubit corresponde al estado de entrada , el quinto al estado de salida. Los qubits del 2 al 4 son los ancillae. Todos los estados, excepto el de entrada, se preparan en el estado. Todos los qubits, excepto el de salida, se miden por el observable con un ángulo específico. Después de que se hayan realizado las mediciones, implementando el unitario, se realizan las correcciones y con respecto a los resultados. ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle s_{i}}$

Las operaciones de entrelazamiento, medición y corrección se pueden realizar para implementar puertas unitarias. Dichas operaciones se pueden realizar tiempo por tiempo para cualquier puerta lógica en el circuito, o más bien en un patrón que asigna todas las operaciones de entrelazamiento al principio, las mediciones en el medio y las correcciones al final del circuito. Dicho patrón de cálculo se conoce como patrón estándar CME . ^{[16] [17]} En el formalismo CME , la operación de entrelazamiento entre los y qubits se conoce como . La medición en el qubit, en el plano - , con respecto a un ángulo, se define como . Por último, el subproducto sobre un qubit, con respecto a la medición sobre un qubit, se describe como , donde se establece en si el resultado es el estado, cuando el resultado es . La misma notación se aplica a los subproductos. ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle M_{i}^{\theta }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle X_{i}^{s_{j}}}$ ${\displaystyle s_{j}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle |\theta _{+}\rangle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |\theta _{-}\rangle }$ ${\displaystyle Z}$

Al realizar un cálculo siguiendo el patrón CME , puede suceder que dos mediciones y en el plano - dependan una del resultado de la otra. Por ejemplo, el signo delante del ángulo de medición en el -ésimo qubit se puede invertir con respecto a la medición sobre el -ésimo qubit: en tal caso, la notación se escribirá como , y por lo tanto las dos operaciones de medición ya no se conmutan entre sí. Si se establece en , no se producirá ninguna inversión en el signo; de lo contrario (cuando ) el ángulo se invertirá a . Por lo tanto, la notación se puede reescribir como . ${\displaystyle M_{i}^{\theta _{1}}}$ ${\displaystyle M_{j}^{\theta _{2}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle [M_{j}^{\theta _{2}}]^{s_{i}}M_{i}^{\theta _{1}}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle s_{i}=1}$ ${\displaystyle \theta _{2}}$ ${\displaystyle -\theta _{2}}$ ${\displaystyle [M_{j}^{\theta _{2}}]^{s_{i}}}$ ${\displaystyle M_{j}^{(-)^{s_{i}}\theta _{2}}}$

Un ejemplo: rotaciones de Euler

Como ejemplo ilustrativo, considere la rotación de Euler en la base: dicha operación, en el modelo de compuerta de la computación cuántica, se describe como ^[29] ${\displaystyle XZX}$

${\displaystyle e^{i\gamma }R_{X}(\phi )R_{Z}(\theta )R_{X}(\lambda )}$,

donde son los ángulos de rotación, mientras que define una fase global que es irrelevante para el cálculo. Para realizar dicha operación en el marco de cálculo unidireccional, es posible implementar el siguiente patrón CME : ^{[27] [30]} ${\displaystyle \phi ,\theta ,\lambda }$ ${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle Z_{5}^{s_{1}+s_{3}}X_{5}^{s_{2}+s_{4}}[M_{4}^{-\phi }]^{s_{1}+s_{3}}[M_{3}^{-\theta }]^{s_{2}}[M_{2}^{-\lambda }]^{s_{1}}M_{1}^{0}E_{4,5}E_{3,4}E_{2,3}E_{1,2}}$,

donde el estado de entrada es el qubit , todos los demás qubits son auxiliares y por lo tanto deben prepararse en el estado. En el primer paso, el estado de entrada debe entrelazarse con el segundo qubit; a su vez, el segundo qubit debe entrelazarse con el tercero y así sucesivamente. Las operaciones de entrelazamiento entre los qubits pueden realizarse mediante las puertas. ${\displaystyle |\psi \rangle =\alpha |0\rangle +\beta |1\rangle }$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle CZ}$

En segundo lugar, el primer y el segundo qubit deben ser medidos por el observable, lo que significa que deben proyectarse sobre los estados propios de dicho observable. Cuando es cero, los estados se reducen a unos, es decir, los vectores propios para el operador de Pauli. La primera medición se realiza en el qubit con un ángulo, lo que significa que debe proyectarse sobre los estados. La segunda medición se realiza con respecto al ángulo, es decir, el segundo qubit debe proyectarse sobre el estado. Sin embargo, si el resultado de la medición anterior ha sido , el signo del ángulo debe invertirse y el segundo qubit se proyectará al estado; si el resultado de la primera medición ha sido , no es necesario realizar ninguna inversión. Las mismas operaciones deben repetirse para la tercera y la cuarta medición, de acuerdo con los respectivos ángulos y las inversiones de signo. El signo sobre el ángulo se establece en . Finalmente, el quinto qubit (el único que no se medirá) resulta ser el estado de salida. ${\displaystyle M(\theta )}$ ${\displaystyle |\theta \rangle }$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle |\theta _{\pm }\rangle }$ ${\displaystyle |\pm \rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M_{1}^{0}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle \theta =0}$ ${\displaystyle \langle \pm |}$ ${\displaystyle [M_{2}^{-\lambda }]^{s_{1}}}$ ${\displaystyle -\lambda }$ ${\displaystyle \langle 0|\pm e^{i\lambda }\langle 1|}$ ${\displaystyle \langle -|}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \langle 0|+e^{-i\lambda }\langle 1|}$ ${\displaystyle \langle +|}$ ${\displaystyle [M_{3}^{\theta }]^{s_{2}}}$ ${\displaystyle [M_{4}^{\phi }]^{s_{1}+s_{3}}}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle (-)^{s_{1}+s_{3}}}$

Por último, las correcciones sobre el estado de salida deben realizarse mediante los operadores de subproducto. Por ejemplo, si las mediciones sobre el segundo y el cuarto qubit resultaron ser y , el operador no realizará ninguna corrección , ya que . El mismo resultado se aplica a un resultado, ya que y por lo tanto, el operador de Pauli al cuadrado devuelve la identidad. ${\displaystyle Z_{5}^{s_{1}+s_{3}}X_{5}^{s_{2}+s_{4}}}$ ${\displaystyle \langle \phi _{+}|}$ ${\displaystyle \langle \lambda _{+}|}$ ${\displaystyle X_{5}}$ ${\displaystyle s_{2}=s_{4}=0}$ ${\displaystyle \langle \phi _{-}|}$ ${\displaystyle \langle \lambda _{-}|}$ ${\displaystyle s_{2}=s_{4}=1}$ ${\displaystyle X^{2}}$

Como se ve en dicho ejemplo, en el modelo de cálculo basado en mediciones, el qubit de entrada físico (el primero) y el qubit de salida (el tercero) pueden diferir entre sí.

Equivalencia entre el modelo de circuito cuántico y el MBQC

El ordenador cuántico unidireccional permite la implementación de un circuito de transformaciones unitarias mediante operaciones de entrelazamiento y medición. Al mismo tiempo, cualquier circuito cuántico puede convertirse a su vez en un patrón CME : una técnica para traducir circuitos cuánticos en un patrón MBQC de mediciones ha sido formulada por V. Danos et al. ^{[16] [17] [31]}

Esta conversión se puede llevar a cabo utilizando un conjunto universal de puertas lógicas compuestas por los operadores y : por lo tanto, cualquier circuito se puede descomponer en un conjunto de puertas y . El operador de un solo cúbit se define de la siguiente manera: ${\displaystyle CZ}$ ${\displaystyle J(\theta )}$ ${\displaystyle CZ}$ ${\displaystyle J(\theta )}$ ${\displaystyle J(\theta )}$

${\displaystyle J(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1&e^{i\theta }\\1&-e^{i\theta }\end{pmatrix}}}$.

Se puede convertir en un patrón CME de la siguiente manera, donde el qubit 1 es la entrada y el qubit 2 es la salida: ${\displaystyle J(\theta )}$

${\displaystyle J(\theta )=X_{2}^{s_{1}}M_{1}^{-\theta }E_{1,2}}$

lo que significa que, para implementar un operador, los qubits de entrada deben estar entrelazados con un qubit ancillar , por lo tanto, la entrada debe medirse en el plano - , luego el qubit de salida se corrige por el subproducto. Una vez que cada puerta se ha descompuesto en el patrón CME , las operaciones en el cálculo general consistirán en entrelazamientos, mediciones y correcciones. Para llevar todo el flujo de cálculo a un patrón CME , se proporcionan algunas reglas. ${\displaystyle J(\theta )}$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$ ${\displaystyle |+\rangle }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle X_{2}}$ ${\displaystyle J(\theta )}$ ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle M_{i}^{-\theta _{i}}}$ ${\displaystyle X_{j}}$

Normalización

Para mover todos los enredos al inicio del proceso, se deben señalar algunas reglas de conmutación : ${\displaystyle E_{ij}}$

${\displaystyle E_{ij}Z_{i}^{s}=Z_{i}^{s}E_{ij}}$

${\displaystyle E_{ij}X_{i}^{s}=X_{i}^{s}Z_{j}^{s}E_{ij}}$

${\displaystyle E_{ij}A_{k}=A_{k}E_{ij}}$.

El operador de entrelazamiento conmuta con los operadores de Pauli y con cualquier otro operador que actúe sobre un qubit , pero no con los operadores de Pauli que actúen sobre el -ésimo o -ésimo qubit. ${\displaystyle E_{ij}}$ ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle k\neq i,j}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$

Simplificación de Pauli

Las operaciones de medición conmutan con las correcciones de la siguiente manera: ${\displaystyle M_{i}^{\theta }}$

${\displaystyle M_{i}^{\theta }X_{i}^{s}=[M_{i}^{\theta }]^{s}}$

${\displaystyle M_{i}^{\theta }Z_{i}^{t}=S_{i}^{t}M_{i}^{\theta }}$,

donde . Tal operación significa que, al desplazar las correcciones al final del patrón, pueden ocurrir algunas dependencias entre las mediciones. El operador se llama desplazamiento de señal, cuya acción se explicará en el siguiente párrafo. Para ángulos particulares, se pueden introducir algunas simplificaciones, llamadas simplificaciones de Pauli: ${\displaystyle [M_{i}^{\theta }]^{s}=M_{i}^{(-)^{s}\theta }}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle S_{i}^{t}}$ ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle M_{i}^{0}X_{i}^{s}=M_{i}^{0}}$

${\displaystyle M_{i}^{\pi /2}X_{i}^{s}=M_{i}^{\pi /2}Z_{i}^{s}}$.

Cambio de señal

La acción del operador de desplazamiento de señal se puede explicar a través de sus reglas de conmutación: ${\displaystyle S_{i}^{t}}$

${\displaystyle X_{i}^{s}S_{i}^{t}=S_{i}^{t}X_{i}^{s[(s_{i}+t)/s_{i}]}}$

${\displaystyle Z_{i}^{s}S_{i}^{t}=S_{i}^{t}Z_{i}^{s[(s_{i}+t)/s_{i}]}}$.

La operación debe explicarse: supongamos que tenemos una secuencia de señales , que consta de , la operación significa sustituir con en la secuencia , que se convierte en . Si no aparece en la secuencia, no se producirá ninguna sustitución. Para realizar un patrón CME correcto , cada operador de desplazamiento de señal debe traducirse al final del patrón. ${\displaystyle s[(t+s_{i})/s_{i}]}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+...+s_{i}+...}$ ${\displaystyle s[(t+s_{i})/s_{i}]}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}+t}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s_{1}+s_{2}+...+s_{i}+t+...}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle S_{i}^{t}}$

Formalismo estabilizador

Al preparar el estado fuente de los cúbits entrelazados, se puede dar una representación gráfica mediante el grupo estabilizador. El grupo estabilizador es un subgrupo abeliano del grupo de Pauli , que se puede describir mediante sus generadores . ^{[32] [33]} Un estado estabilizador es un estado de -cúbit que es un estado propio único para los generadores del grupo estabilizador: ^[19] ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$ ${\displaystyle \{\pm 1,\pm i\}\times \{I,X,Y,Z\}^{\otimes n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle }$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$

${\displaystyle S_{i}|\Psi \rangle =|\Psi \rangle .}$

Por supuesto, . ${\displaystyle S_{i}\in {\mathcal {S}}_{n}\,\forall i}$

Un grafo matemático definido por tres vértices y tres aristas. Cada vértice está conectado con los demás por una arista. En el marco MBQC, los vértices representan los cúbits, mientras que los vínculos entre ellos son los entrelazamientos. En el formalismo estabilizador, dicho grafo está representado por los generadores, que se conmutan entre sí. ${\displaystyle 1,2,3}$ ${\displaystyle \langle X_{1}Z_{2}Z_{3},Z_{1}X_{2}Z_{3},Z_{1}Z_{2}X_{3}\rangle }$

Por lo tanto, es posible definir un estado de grafo de qubit como un estado cuántico asociado a un grafo, es decir, un conjunto cuyos vértices corresponden a los qubits, mientras que las aristas representan los entrelazamientos entre los propios qubits. Los vértices pueden etiquetarse mediante un índice, mientras que las aristas, que unen el -ésimo vértice con el -ésimo, mediante etiquetas de dos índices, como . ^[34] En el formalismo estabilizador, dicha estructura de grafo puede codificarse mediante los generadores de , definidos como ^{[15] [35] [36]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle |G\rangle }$ ${\displaystyle G=(V,E)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{n}}$

${\displaystyle K_{i}=X_{i}\prod _{j\in (i,j)}Z_{j}}$,

donde representa todos los qubits vecinos al -ésimo, es decir, los vértices unidos por una arista con el vértice. Cada generador conmuta con todos los demás. Un grafo compuesto por vértices puede describirse mediante generadores del grupo estabilizador: ${\displaystyle {j\in (i,j)}}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ ${\displaystyle (i,j)}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle \langle K_{1},K_{2},...,K_{n}\rangle }$.

Si bien el número de es fijo para cada generador, el número de puede diferir con respecto a las conexiones implementadas por los bordes en el gráfico. ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle K_{i}}$ ${\displaystyle Z_{j}}$

El grupo Clifford

El grupo de Clifford está compuesto por elementos que dejan invariantes los elementos del grupo de Pauli : ^{[19] [33] [37]} ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}_{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}_{n}=\{U\in SU(2^{n})\;|\;USU^{\dagger }\in {\mathcal {P}}_{n},S\in {\mathcal {P}}_{n}\}}$.

El grupo Clifford requiere tres generadores, que pueden elegirse como la puerta Hadamard y la rotación de fase para las puertas de un solo qubit, y otra puerta de dos qubits de la (puerta NOT controlada) o la (puerta de fase controlada): ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle CNOT}$ ${\displaystyle CZ}$

${\displaystyle H={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},\quad S={\begin{bmatrix}1&0\\0&i\end{bmatrix}},\quad CNOT={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}}$.

Consideremos un estado estabilizado por un conjunto de estabilizadores . Al actuar sobre dicho estado a través de un elemento del grupo de Clifford, se cumplen las siguientes igualdades: ^{[33] [38]} ${\displaystyle |G\rangle }$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle U|G\rangle =US_{i}|G\rangle =US_{i}U^{\dagger }U|G\rangle =S'_{i}U|G\rangle }$.

Por lo tanto, las operaciones mapean el estado a y sus estabilizadores a . Dicha operación puede dar lugar a diferentes representaciones para los generadores del grupo estabilizador. ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle |G\rangle }$ ${\displaystyle U|G\rangle }$ ${\displaystyle S_{i}}$ ${\displaystyle US_{i}U^{\dagger }}$ ${\displaystyle K_{i}}$

El teorema de Gottesman-Knill establece que, dado un conjunto de puertas lógicas del grupo de Clifford, seguido de mediciones, dicho cálculo puede simularse eficientemente en una computadora clásica en el sentido fuerte, es decir, un cálculo que elabora en tiempo polinomial la probabilidad para una salida dada del circuito. ^{[19] [33] [39] [40] [41]} ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x}$

Hardware y aplicaciones

Computadora cuántica de estados de clúster topológicos

El cálculo basado en mediciones en un estado periódico de un grupo de redes 3D se puede utilizar para implementar la corrección de errores cuánticos topológicos. ^[42] El cálculo del estado del grupo topológico está estrechamente relacionado con el código tórico de Kitaev , ya que el estado del grupo topológico 3D se puede construir y medir a lo largo del tiempo mediante una secuencia repetida de puertas en una matriz 2D. ^[43]

Implementaciones

Se ha demostrado la computación cuántica unidireccional ejecutando el algoritmo de Grover de 2 qubits en un estado de clúster de fotones de 2x2. ^{[44] [45]} Se ha propuesto una computadora cuántica de óptica lineal basada en computación unidireccional. ^[46]

También se han creado estados de clúster en redes ópticas , ^[47] pero no se utilizaron para el cálculo porque los qubits atómicos estaban demasiado cerca unos de otros para medirlos individualmente.

El Estado AKLT como recurso

Se ha demostrado que el estado AKLT ( espín ) en una red de panal 2D se puede utilizar como un recurso para MBQC. ^{[48] [49]} Más recientemente, se ha demostrado que un estado AKLT de mezcla de espín se puede utilizar como un recurso. ^[50] ${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$

Véase también

• Teletransportación por puerta cuántica
• Información cuántica de variable continua
• Algoritmo cuántico
• Puerta lógica cuántica
• Computación cuántica óptica lineal
• Óptica cuántica
• Corrección de errores cuánticos
• Máquina cuántica de Turing
• Computación cuántica adiabática

Referencias

1. Fowler, Austin G.; Goyal, Kovid (25 de febrero de 2009). "Computación cuántica de estados de clúster topológicos". Información y computación cuántica . 9 (9 y 10): 721–738. arXiv : 0805.3202 . doi :10.26421/QIC9.9-10-1. S2CID  6652655.
2. Raussendorf, R; Harrington, J; Goyal, K (29 de junio de 2007). "Tolerancia a fallos topológicos en computación cuántica de estados de clúster". New Journal of Physics . 9 (6): 199. arXiv : quant-ph/0703143 . Bibcode :2007NJPh....9..199R. doi :10.1088/1367-2630/9/6/199. ISSN  1367-2630. S2CID  13811487.
3. SS Li; GL Long; FS Bai; SL Feng; HZ Zheng (2001). "Computación cuántica". Actas de la Academia Nacional de Ciencias . 98 (21): 11847–11848. Bibcode :2001PNAS...9811847L. doi : 10.1073/pnas.191373698 . PMC 59812 . PMID  11562459. 
4. E. Grumbling; M. Horowitz (2019). Computación cuántica: progreso y perspectivas . Academias Nacionales de Ciencias, Ingeniería y Medicina. p. 2. doi :10.17226/25196. ISBN 978-0-309-47969-1. Número de identificación S2CID  125635007.
5. T. Sleator; H. Weinfurter (1995). "Puertas lógicas cuánticas universales realizables". Physical Review Letters . 74 (20): 4087–4090. Código Bibliográfico :1995PhRvL..74.4087S. doi :10.1103/PhysRevLett.74.4087. PMID  10058409.
6. T. Hey (1999). "Computación cuántica: una introducción". Revista de ingeniería de control y computación . 10 (3): 105–112. doi :10.1049/cce:19990303.
7. P. Shor (1998). Computación cuántica (PDF) . Documenta Mathematica. pág. 468.
8. GK Brennen; CM Caves; PS Jessen; IH Deutsch (1999). "Puertas lógicas cuánticas en redes ópticas". Physical Review Letters . 82 (5): 1060–1063. arXiv : quant-ph/9806021 . Código Bibliográfico :1999PhRvL..82.1060B. doi :10.1103/PhysRevLett.82.1060. S2CID  15297433.
9. A. Barenco; CH Bennett; R. Cleve; DP DiVincenzo; N. Margolus; P. Shor; T. Sleator; J. Smolin; H. Weinfurter (1995). "Puertas elementales para computación cuántica". Physical Review A . 74 (20): 3457–3467. arXiv : quant-ph/9503016 . Código Bibliográfico :1995PhRvA..52.3457B. doi :10.1103/PhysRevA.52.3457. PMID  9912645. S2CID  8764584.
10. S. Lloyd (1995). "Casi cualquier puerta lógica cuántica es universal". Physical Review Letters . 75 (2): 346–349. Código Bibliográfico :1995PhRvL..75..346L. doi :10.1103/PhysRevLett.75.346. PMID  10059671.
11. J. Joo; CW Lee; S. Kono; J. Kim (2019). "Computación cuántica basada en medición lógica en circuito-QED". Scientific Reports . 9 (1): 16592. arXiv : 1808.07638 . Bibcode :2019NatSR...916592J. doi :10.1038/s41598-019-52866-3. PMC 6851091 . PMID  31719588. S2CID  119440765. 
12. MS Tame; R. Prevedel; M. Paternostro; P. Bohi; MS Kim; A. Zeilinger (2007). "Realización experimental del algoritmo de Deutsch en un ordenador cuántico unidireccional". Physical Review Letters . 98 (14): 140501. arXiv : quant-ph/0611186 . Código Bibliográfico :2007PhRvL..98n0501T. doi :10.1103/PhysRevLett.98.140501. PMID  17501253. S2CID  21518741.
13. R. Raussendorf; DE Browne y HJ Briegel (2003). "Computación cuántica basada en mediciones con estados de clúster". Physical Review A . 68 (2): 022312. arXiv : quant-ph/0301052 . Código Bibliográfico :2003PhRvA..68b2312R. doi :10.1103/PhysRevA.68.022312. S2CID  6197709.
14. P. Walther; K. J. Resch; T. Rudolph; E. Schenck; H. Weinfurter; V. Vedral; M. Aspelmeyer; A. Zeilinger (2005). "Computación cuántica unidireccional experimental". Nature . 434 (7030): 169–176. arXiv : quant-ph/0503126 . Código Bibliográfico :2005Natur.434..169W. doi :10.1038/nature03347. PMID  15758991. S2CID  119329998.
15. R. Raussendorf y HJ Briegel (2006). "Un ordenador cuántico unidireccional". Physical Review Letters . 86 (22): 5188–91. arXiv : quant-ph/0510135 . Código Bibliográfico :2001PhRvL..86.5188R. doi :10.1103/PhysRevLett.86.5188. PMID  11384453.
16. V. Danos; E. Kashefi; P. Panangaden (2007). "El cálculo de medición". Revista de la ACM . 54 (2): 8. arXiv : 0704.1263 . doi :10.1145/1219092.1219096. S2CID  5851623.
17. E. Pius (2010). "Paralelización automática de circuitos cuánticos utilizando el modelo de computación cuántica basado en mediciones" (PDF) . {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
18. A. Mantri; TF Demarie; JF Fitzsimons (2017). "Universalidad de la computación cuántica con estados de cúmulo y mediciones del plano (X, Y)". Scientific Reports . 7 (1): 42861. arXiv : 1607.00758 . Bibcode :2017NatSR...742861M. doi :10.1038/srep42861. PMC 5316959 . PMID  28216652. 
19. S. Anders; HJ Briegel (2006). "Simulación rápida de circuitos estabilizadores utilizando una representación de estado gráfico". Physical Review A . 73 (2): 022334. arXiv : quant-ph/0504117 . Bibcode :2006PhRvA..73b2334A. doi :10.1103/PhysRevA.73.022334. S2CID  12763101.
20. T. Nutz; A. Milne; P. Shadbolt; T. Rudolph (2017). "Propuesta para la demostración del entrelazamiento de estados de cúmulos de largo alcance en presencia de pérdida de fotones". APL Photonics . 2 (6): 066103. arXiv : 1702.01958 . Bibcode :2017APLP....2f6103N. doi :10.1063/1.4983822. S2CID  125732242.
21. M. Gimeno-Segovia; P. Shadbolt; DE Browne; T. Rudolph (2015). "De los estados Greenberger-Horne-Zeilinger de tres fotones a la computación cuántica universal balística". Physical Review Letters . 115 (2): 020502. arXiv : 1410.3720 . Código Bibliográfico :2015PhRvL.115b0502G. doi :10.1103/PhysRevLett.115.020502. PMID  26207455. S2CID  45848374.
22. JR Scott; KC Balram (2022). "Restricciones de tiempo impuestas por los sistemas de control digital clásicos en las implementaciones fotónicas de computación cuántica basada en mediciones". IEEE Transactions on Quantum Engineering . 3 : 1–20. arXiv : 2109.04792 . doi :10.1109/TQE.2022.3175587. S2CID  237485449.
23. Browne, Daniel E.; Rudolph, Terry (27 de junio de 2005). "Computación cuántica óptica lineal con uso eficiente de recursos". Physical Review Letters . 95 (1). Sociedad Estadounidense de Física (APS). doi : 10.1103/physrevlett.95.010501 . ISSN  0031-9007.
24. Thomas, Philip; Ruscio, Leonardo; Morin, Olivier; Rempe, Gerhard (24 de agosto de 2022). "Generación eficiente de estados de grafos multifotónicos entrelazados a partir de un solo átomo". Nature . 608 (7924). Springer Science and Business Media LLC: 677–681. doi : 10.1038/s41586-022-04987-5 . ISSN  0028-0836.
25. Cogan, Dan; Su, Zu-En; Kenneth, Oded; Gershoni, David (9 de febrero de 2023). "Generación determinista de fotones indistinguibles en un estado de cúmulo". Nature Photonics . Springer Science and Business Media LLC. doi : 10.1038/s41566-022-01152-2 . ISSN  1749-4885.
26. Lindner, Netanel H.; Rudolph, Terry (8 de septiembre de 2009). "Propuesta de fuentes pulsadas a demanda de cadenas de estados de cúmulos fotónicos". Physical Review Letters . 103 (11). Sociedad Estadounidense de Física (APS). doi : 10.1103/physrevlett.103.113602 . ISSN  0031-9007.
27. R. Jozsa (2006). "Introducción a la computación cuántica basada en mediciones". NATO Science Series, III: Ciencias de la computación y los sistemas. Procesamiento de información cuántica: de la teoría al experimento . 199. arXiv : quant-ph/0508124 .
28. R. Raussendorf; HJ Briegel (2002). "Modelo computacional subyacente a la computadora cuántica unidireccional". arXiv : quant-ph/0108067 .
29. "OneQubitEulerDecomposer". Qiskit . Consultado el 29 de junio de 2022 .
30. "Guía de inicio rápido de MBQC". Paddle Quantum . Consultado el 29 de junio de 2022 .
31. "Módulo de computación cuántica basado en mediciones". Paddle Quantum . Consultado el 1 de julio de 2022 .
32. K. Fujii (2015). Computación cuántica con códigos topológicos: del qubit a la tolerancia a fallos topológicos . Springer. pág. 28. arXiv : 1504.01444 . ISBN. 978-981-287-996-7.
33. D. Gottesman (1998). "La representación de Heisenberg de las computadoras cuánticas". arXiv : quant-ph/9807006 . Código Bibliográfico :1998quant.ph..7006G. {{cite journal}}: Requiere citar revista |journal=( ayuda )
34. M. Hein; W. Dur; J. Eisert; R. Raussendorf; M. Van den Nest; H. Jurgen Briegel (2006). "Entrelazamiento en estados de grafos y sus aplicaciones". arXiv : quant-ph/0602096 .
35. R. Raussendorf; J. Harrington; K. Goyal (2006). "Un ordenador cuántico unidireccional tolerante a fallos". Anales de Física . 321 (9): 2242–2270. arXiv : quant-ph/0510135 . Código Bibliográfico :2006AnPhy.321.2242R. doi :10.1016/j.aop.2006.01.012. S2CID  14422769.
36. M. Rossi; M. Huber; D. Bruß; C. Macchiavello (2013). "Estados hipergráficos cuánticos". New Journal of Physics . 15 (11): 113022. arXiv : 1211.5554 . Código Bibliográfico :2013NJPh...15k3022R. doi :10.1088/1367-2630/15/11/113022. S2CID  40507835.
37. ME Cuffaro (2013). "Sobre la importancia del teorema de Gottesman-Knill". Revista británica de filosofía de la ciencia . 68 (1): 91–121. arXiv : 1310.0938 . doi :10.1093/bjps/axv016.
38. K. Fujii (2015). Computación cuántica con códigos topológicos: del qubit a la tolerancia a fallos topológicos . Springer. pág. 30. arXiv : 1504.01444 . ISBN. 978-981-287-996-7.
39. K. Fujii (2015). Computación cuántica con códigos topológicos: del qubit a la tolerancia a fallos topológicos . Springer. pág. 34. arXiv : 1504.01444 . ISBN. 978-981-287-996-7.
40. MA Nielsen; IL Chuang (2000). Computación cuántica e información cuántica . Cambridge University Press. pág. 464. ISBN 978-1-107-00217-3.
41. M. Van den Nest (2008). "Simulación clásica de computación cuántica, el teorema de Gottesman-Knill y un poco más allá". Información y computación cuántica . 10 (3). arXiv : 0811.0898 .
42. Robert Raussendorf; Jim Harrington; Kovid Goyal (2007). "Tolerancia a fallos topológicos en computación cuántica de estados de clúster". New Journal of Physics . 9 (6): 199. arXiv : quant-ph/0703143 . Bibcode :2007NJPh....9..199R. doi :10.1088/1367-2630/9/6/199. S2CID  13811487.
43. Robert Raussendorf; Jim Harrington (2007). "Computación cuántica tolerante a fallos con umbral alto en dos dimensiones". Physical Review Letters . 98 (19): 190504. arXiv : quant-ph/0610082 . Bibcode :2007PhRvL..98s0504R. doi :10.1103/physrevlett.98.190504. PMID  17677613. S2CID  39504821.
44. P. Walther, KJ Resch, T. Rudolph, E. Schenck, H. Weinfurter, V. Vedral, M. Aspelmeyer y A. Zeilinger (2005). "Computación cuántica unidireccional experimental". Nature . 434 (7030): 169–76. arXiv : quant-ph/0503126 . Código Bibliográfico :2005Natur.434..169W. doi :10.1038/nature03347. PMID  15758991. S2CID  119329998.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
45. Robert Prevedel; Philip Walther; Felix Tiefenbacher; Pascal Böhi; Rainer Kaltenbaek; Thomas Jennewein ; Anton Zeilinger (2007). "Computación cuántica de óptica lineal de alta velocidad utilizando feed-forward activo". Nature . 445 (7123): 65–69. arXiv : quant-ph/0701017 . Código Bibliográfico :2007Natur.445...65P. doi :10.1038/nature05346. PMID  17203057. S2CID  4416906.
46. Daniel E. Browne; Terry Rudolph (2005). "Computación cuántica óptica lineal con uso eficiente de recursos". Physical Review Letters . 95 (1): 010501. arXiv : quant-ph/0405157 . Código Bibliográfico :2005PhRvL..95a0501B. doi :10.1103/PhysRevLett.95.010501. PMID  16090595. S2CID  27224760.
47. Olaf Mandel; Markus Greiner; Artur Widera; Tim Rom; Theodor W. Hänsch; Immanuel Bloch (2003). "Colisiones controladas para el entrelazamiento de múltiples partículas de átomos atrapados ópticamente". Nature . 425 (6961): 937–40. arXiv : quant-ph/0308080 . Bibcode :2003Natur.425..937M. doi :10.1038/nature02008. PMID  14586463. S2CID  4408587.
48. Tzu-Chieh Wei; Ian Affleck y Robert Raussendorf (2012). "El estado bidimensional Affleck-Kennedy-Lieb-Tasaki en la red en forma de panal es un recurso universal para la computación cuántica". Physical Review A . 86 (32328): 032328. arXiv : 1009.2840 . Código Bibliográfico :2012PhRvA..86c2328W. doi :10.1103/PhysRevA.86.032328. S2CID  118128175.
49. Akimasa Miyake (2011). "Capacidad computacional cuántica de una fase sólida con enlace de valencia 2D". Anales de Física . 236 (7): 1656–1671. arXiv : 1009.3491 . Código Bibliográfico :2011AnPhy.326.1656M. doi :10.1016/j.aop.2011.03.006. S2CID  119243954.
50. Tzu-Chieh Wei; Poya Haghnegahdar; Robert Raussendorf (2014). "Estados AKLT de mezcla de espín para computación cuántica universal". Physical Review A . 90 (4): 042333. arXiv : 1310.5100 . Código Bibliográfico :2014PhRvA..90d2333W. doi :10.1103/PhysRevA.90.042333. S2CID  118460519.

General

• D. Gross; J. Eisert; N. Schuch; D. Pérez-García (2007). "Computación cuántica basada en mediciones más allá del modelo unidireccional". Physical Review A . 76 (5): 052315. arXiv : 0706.3401 . Bibcode :2007PhRvA..76e2315G. doi :10.1103/PhysRevA.76.052315. S2CID  53409763.Estados de recursos que no pertenecen al clúster
• A. Trisetyarso y R. Van Meter (2010). "Diseño de circuito para un sumador de acarreo y anticipación cuántico basado en mediciones". Revista internacional de información cuántica . 8 (5): 843–867. arXiv : 0903.0748 . doi :10.1142/S0219749910006496. S2CID  2587811.Computación cuántica basada en mediciones, sumador de acarreo y anticipación cuántica