Jean-François Mertens (11 de marzo de 1946 - 17 de julio de 2012) fue un economista matemático y teórico de juegos belga. [1]
Mertens contribuyó a la teoría económica en lo que respecta al libro de órdenes de los juegos de mercado, los juegos cooperativos, los juegos no cooperativos, los juegos repetidos, los modelos epistémicos de comportamiento estratégico y los refinamientos del equilibrio de Nash (ver concepto de solución ). En teoría de juegos cooperativos contribuyó a los conceptos de solución llamados núcleo y valor de Shapley .
Con respecto a los juegos repetidos y los juegos estocásticos , los artículos de encuestas de Mertens de 1982 [2] y 1986 [3] , y su encuesta de 1994 [4] en coautoría con Sylvain Sorin y Shmuel Zamir, son compendios de resultados sobre este tema, incluidas sus propias contribuciones. Mertens también hizo contribuciones a la teoría de la probabilidad [5] y publicó artículos sobre topología elemental. [6] [7]
Mertens y Zamir [8] [9] implementaron la propuesta de John Harsanyi de modelar juegos con información incompleta suponiendo que cada jugador se caracteriza por un tipo conocido de forma privada que describe sus estrategias factibles y sus pagos, así como una distribución de probabilidad sobre los de otros jugadores. tipos. Construyeron un espacio universal de tipos en el que, sujeto a condiciones de consistencia específicas, cada tipo corresponde a la jerarquía infinita de sus creencias probabilísticas sobre las creencias probabilísticas de los demás. También demostraron que cualquier subespacio puede aproximarse arbitrariamente mediante un subespacio finito, que es la táctica habitual en las aplicaciones. [10]
Aumann y Maschler fueron pioneros en los juegos repetidos con información incompleta. [11] [12] Dos de las contribuciones de Jean-François Mertens al campo son las extensiones de juegos repetidos de dos personas de suma cero con información incompleta en ambos lados tanto para (1) el tipo de información disponible para los jugadores como (2) la estructura de señalización. [13]
En esas configuraciones, Jean-François Mertens proporcionó una extensión de la caracterización del valor minmax y maxmin para el juego infinito en el caso dependiente con señales independientes de estado. [14] Además con Shmuel Zamir, [15] Jean-François Mertens demostró la existencia de un valor límite. Un valor así puede considerarse como el límite de los valores de los juegos escénicos, cuando llega al infinito, o como el límite de los valores de los juegos descontados, cuando los agentes se vuelven más pacientes y .
Un elemento fundamental del enfoque de Mertens y Zamir es la construcción de un operador, ahora denominado simplemente operador MZ en su honor. En tiempo continuo ( juegos diferenciales con información incompleta), el operador MZ se convierte en un operador infinitesimal en el centro de la teoría de tales juegos. [16] [17] [18] Solución única de un par de ecuaciones funcionales, Mertens y Zamir demostraron que el valor límite puede ser una función trascendental a diferencia de maxmin o minmax (valor en el caso de información completa). Mertens también encontró la tasa exacta de convergencia en el caso de un juego con información incompleta en un lado y estructura de señalización general. [19] Un análisis detallado de la velocidad de convergencia del valor del juego de n etapas (finitamente repetido) hasta su límite tiene vínculos profundos con el teorema del límite central y la ley normal, así como con la variación máxima de las martingalas acotadas . [20] [21] Atacando el estudio del difícil caso de los juegos con señales dependientes del estado y sin estructura recursiva, Mertens y Zamir introdujeron nuevas herramientas en la introducción basadas en un juego auxiliar, reduciendo el conjunto de estrategias a un núcleo que es 'estadísticamente suficiente.' [22] [23]
En conjunto, las contribuciones de Jean-François Mertens con Zamir (y también con Sorin) proporcionan la base para una teoría general para juegos repetidos de dos personas de suma cero que abarca aspectos estocásticos e información incompleta y donde se despliegan conceptos de amplia relevancia como por ejemplo reputación, límites de niveles racionales para los pagos, pero también herramientas como el lema de división, la señalización y la accesibilidad. Si bien en muchos sentidos el trabajo de Mertens aquí se remonta a las raíces originales de la teoría de juegos de von Neumann con una configuración de dos personas de suma cero, la vitalidad y las innovaciones con una aplicación más amplia han sido omnipresentes.
Los juegos estocásticos fueron introducidos por Lloyd Shapley en 1953. [24] El primer artículo estudió el juego estocástico descontado de dos personas de suma cero con un número finito de estados y acciones y demuestra la existencia de un valor y estrategias óptimas estacionarias. El estudio del caso no descontado evolucionó en las siguientes tres décadas, con soluciones de casos especiales por parte de Blackwell y Ferguson en 1968 [25] y Kohlberg en 1974. La existencia de un valor no descontado en un sentido muy fuerte, a la vez un valor uniforme y un valor medio límite, fue demostrado en 1981 por Jean-François Mertens y Abraham Neyman. [26] El estudio de la suma distinta de cero con un estado general y espacios de acción atrajo mucha atención, y Mertens y Parthasarathy [27] demostraron un resultado de existencia general bajo la condición de que las transiciones, en función del estado y las acciones , son norma continua en las acciones.
Mertens tuvo la idea de utilizar economías competitivas lineales como una cartera de pedidos (negociación) para modelar órdenes limitadas y generalizar las subastas dobles a una configuración multivariada. [28] Los precios relativos aceptables de los jugadores se transmiten por sus preferencias lineales, el dinero puede ser uno de los bienes y está bien que los agentes tengan una utilidad marginal positiva para el dinero en este caso (¡después de todo, los agentes en realidad son solo órdenes!). De hecho, este es el caso de la mayoría de los pedidos en la práctica. Más de un pedido (y el correspondiente agente de pedidos) pueden provenir del mismo agente real. En equilibrio, el bien vendido debe haber sido a un precio relativo en comparación con el bien comprado no menor que el implícito en la función de utilidad. Los bienes llevados al mercado (cantidades en el pedido) se transportan mediante dotaciones iniciales. Las órdenes límite se representan de la siguiente manera: el agente de órdenes trae un bien al mercado y tiene utilidades marginales distintas de cero en ese bien y en otro (dinero o numerario). Una orden de venta en el mercado tendrá una utilidad cero para el bien vendido en el mercado y positiva para el dinero o el numerario. Mertens liquida órdenes creando un motor de emparejamiento utilizando el equilibrio competitivo, a pesar de que se violan las condiciones de interioridad más habituales para la economía lineal auxiliar. El mecanismo de Mertens proporciona una generalización de los puestos comerciales de Shapley-Shubik y tiene el potencial de una implementación en la vida real con órdenes limitadas en todos los mercados en lugar de con un solo especialista en un mercado.
La fórmula diagonal en la teoría de los juegos cooperativos no atómicos atribuye elegantemente el valor de Shapley de cada jugador infinitesimal como su contribución marginal al valor de una muestra perfecta de la población de jugadores cuando se promedia sobre todos los tamaños de muestra posibles. Esta contribución marginal se ha expresado más fácilmente en forma de derivada, lo que lleva a la fórmula diagonal formulada por Aumann y Shapley. Esta es la razón histórica por la que originalmente se requirieron algunas condiciones de diferenciabilidad para definir el valor de Shapley de los juegos cooperativos no atómicos. Pero primero intercambiando el orden de tomar el "promedio de todos los tamaños de muestra posibles" y tomando dicha derivada, Jean-François Mertens utiliza el efecto suavizante de dicho proceso de promediación para ampliar la aplicabilidad de la fórmula diagonal. [29] Este truco por sí solo funciona bien para juegos mayoritarios (representados por una función escalonada aplicada al porcentaje de población de la coalición). Explotando aún más esta idea de conmutación de tomar promedios antes de tomar la derivada, Jean-François Mertens se dedica a observar transformaciones invariantes y tomar promedios sobre ellas, antes de tomar la derivada. Al hacerlo, Mertens aplica la fórmula diagonal a un espacio de juegos mucho mayor, definiendo al mismo tiempo un valor de Shapley. [30] [31]
Los conceptos de solución que son refinamientos [32] del equilibrio de Nash han sido motivados principalmente por argumentos a favor de la inducción hacia atrás y la inducción hacia adelante. La inducción hacia atrás postula que la acción óptima de un jugador ahora anticipa la optimidad de sus acciones futuras y las de los demás. El refinamiento llamado equilibrio perfecto en subjuegos implementa una versión débil de la inducción hacia atrás, y versiones cada vez más fuertes son el equilibrio secuencial , el equilibrio perfecto , el equilibrio cuasi perfecto y el equilibrio propio , donde los últimos tres se obtienen como límites de estrategias perturbadas. La inducción directa postula que la acción óptima de un jugador ahora supone la optimidad de las acciones pasadas de los demás siempre que eso sea consistente con sus observaciones. La inducción directa [33] se satisface mediante un equilibrio secuencial en el que la creencia de un jugador en un conjunto de información asigna probabilidad sólo a las estrategias óptimas de otros que permiten alcanzar esa información. En particular, dado que los equilibrios de Nash completamente mixtos son secuenciales, dichos equilibrios, cuando existen, satisfacen tanto la inducción hacia adelante como hacia atrás. En su trabajo, Mertens logra por primera vez seleccionar equilibrios de Nash que satisfagan tanto la inducción hacia adelante como hacia atrás. El método consiste en dejar que dicha característica se herede de juegos perturbados que se ven obligados a tener estrategias completamente mixtas, y el objetivo sólo se logra con equilibrios estables de Mertens , no con los equilibrios más simples de Kohlberg-Mertens.
Elon Kohlberg y Mertens [34] enfatizaron que un concepto de solución debe ser consistente con una regla de decisión admisible . Además, debería satisfacer el principio de invariancia de que no debería depender de cuál de las muchas representaciones equivalentes de la situación estratégica se utiliza como juego de forma extensiva . En particular, debería depender sólo de la forma normal reducida del juego obtenida después de la eliminación de estrategias puras que son redundantes porque sus beneficios para todos los jugadores pueden replicarse mediante una mezcla de otras estrategias puras. Mertens [35] [36] enfatizó también la importancia del principio de los mundos pequeños de que un concepto de solución debería depender sólo de las propiedades ordinales de las preferencias de los jugadores, y no debería depender de si el juego incluye jugadores extraños cuyas acciones no tienen efecto en el juego. estrategias factibles y pagos de los jugadores originales.
Kohlberg y Mertens definieron tentativamente un concepto de solución con valores conjuntos llamado estabilidad para juegos con números finitos de estrategias puras que satisface la admisibilidad, la invariancia y la inducción hacia adelante, pero un contraejemplo mostró que no necesita satisfacer la inducción hacia atrás; verbigracia. el conjunto podría no incluir un equilibrio secuencial. Posteriormente, Mertens [37] [38] definió un refinamiento, también llamado estabilidad y ahora a menudo llamado conjunto de equilibrios estables de Mertens , que tiene varias propiedades deseables:
Para juegos de dos jugadores con recuperación perfecta y pagos genéricos, la estabilidad es equivalente a sólo tres de estas propiedades: un conjunto estable utiliza sólo estrategias no dominadas, incluye un equilibrio casi perfecto y es inmune a integrarse en un juego más grande. [39]
Un conjunto estable se define matemáticamente por (en resumen) la esencialidad del mapa de proyección de una vecindad conectada cerrada en el gráfico de los equilibrios de Nash sobre el espacio de juegos perturbados obtenidos al perturbar las estrategias de los jugadores hacia estrategias completamente mixtas. Esta definición implica más que la propiedad de que todo juego cercano tiene un equilibrio cercano. La esencialidad requiere además que no haya deformación de la proyección en el límite, lo que garantiza que las perturbaciones del problema de punto fijo que define los equilibrios de Nash tengan soluciones cercanas. Aparentemente esto es necesario para obtener todas las propiedades deseables enumeradas anteriormente.
Una función de bienestar social (SWF) asigna perfiles de preferencias individuales a preferencias sociales sobre un conjunto fijo de alternativas. En un artículo fundamental, Arrow (1950) [40] mostró el famoso "Teorema de la imposibilidad" , es decir, no existe un SWF que satisfaga un sistema mínimo de axiomas: dominio no restringido , independencia de alternativas irrelevantes , criterio de Pareto y no dictadura. . Una gran cantidad de literatura documenta varias formas de relajar los axiomas de Arrow para obtener resultados de posibilidad. El Utilitarismo Relativo (RU) (Dhillon y Mertens, 1999) [41] es un SWF que consiste en normalizar utilidades individuales entre 0 y 1 y sumarlas, y es un resultado de "posibilidad" que se deriva de un sistema de axiomas que son muy cercanas a las originales de Arrow pero modificadas para el espacio de preferencias sobre las loterías. A diferencia del utilitarismo clásico, RU no asume utilidad cardinal ni comparabilidad interpersonal. A partir de las preferencias individuales sobre las loterías, que se supone satisfacen los axiomas de von-Neumann-Morgenstern (o equivalentes), el sistema de axiomas fija de forma única las comparaciones interpersonales. Se puede interpretar que el teorema proporciona una base axiomática para las comparaciones interpersonales "correctas", un problema que ha plagado la teoría de la elección social durante mucho tiempo. Los axiomas son:
El teorema principal muestra que RU satisface todos los axiomas y si el número de individuos es mayor que tres, el número de candidatos es mayor que 5, entonces cualquier SWF que satisfaga los axiomas anteriores es equivalente a RU, siempre que existan al menos 2 individuos que no los cumplan. tener exactamente las mismas preferencias o exactamente opuestas.
El utilitarismo relativo [41] puede servir para racionalizar el uso del 2% como una tasa de descuento social intergeneracionalmente justa para el análisis de costo-beneficio . Mertens y Rubinchik [42] muestran que una función de bienestar invariante por desplazamiento definida en un espacio rico de políticas (temporales), si es diferenciable, tiene como derivada una suma descontada de la política (cambio), con una tasa de descuento fija, es decir, la tasa de descuento social inducida. (La invariancia del cambio requiere una función evaluada en una política cambiada para devolver una transformación afín del valor de la política original, mientras que los coeficientes dependen únicamente del cambio de tiempo). En un modelo de generaciones superpuestas con crecimiento exógeno (siendo el tiempo el línea real completa), la función utilitaria relativa es invariante al desplazamiento cuando se evalúa sobre políticas (pequeñas temporales) en torno a un equilibrio de crecimiento equilibrado (con un stock de capital creciendo exponencialmente). Cuando las políticas se representan como cambios en las dotaciones de los individuos (transferencias o impuestos), y los servicios públicos de todas las generaciones se ponderan por igual, la tasa de descuento social inducida por el utilitarismo relativo es la tasa de crecimiento del PIB per cápita (2% en EE.UU. [43] ). Esto también es consistente con las prácticas actuales descritas en la Circular A-4 de la Oficina de Administración y Presupuesto de EE. UU., que establece:
{{cite web}}: Mantenimiento CS1: copia archivada como título ( enlace )[7]