Regla utilitaria

Regla de decisión de maximizar la utilidad

En la elección social y la investigación de operaciones , la regla utilitarista (también llamada regla de la suma máxima ) es una regla que dice que, entre todas las alternativas posibles, la sociedad debe elegir la alternativa que maximice la suma de las utilidades de todos los individuos de la sociedad. ^{[1] : sub.2.5} Es una representación matemática formal de la filosofía utilitarista y, a menudo, se justifica con referencia al teorema utilitario de Harsanyi o al teorema de Von Neumann-Morgenstern .

En el contexto de los sistemas de votación , la regla se llama votación por puntaje .

Definición

Sea un conjunto de posibles "estados del mundo" o "alternativas". La sociedad desea elegir un solo estado . Por ejemplo, en una elección de un solo ganador , puede representar el conjunto de candidatos; en un entorno de asignación de recursos , puede representar todas las asignaciones posibles del recurso. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Sea un conjunto finito, que representa una colección de individuos. Para cada uno , sea una función de utilidad , que describa la cantidad de felicidad que un individuo i obtiene de cada estado posible. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$

Una regla de elección social es un mecanismo que utiliza los datos para seleccionar algunos elementos entre los cuales son "mejores" para la sociedad (la cuestión de qué significa "mejor" es el problema básico de la teoría de la elección social ). ${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$

La regla utilitarista selecciona un elemento que maximiza la suma utilitaria. ${\displaystyle x\in X}$

${\displaystyle U(x):=\sum _{i\in I}u_{i}(x).}$

Funciones de utilidad tangibles

La regla utilitarista es fácil de interpretar e implementar cuando las funciones u _i representan alguna forma de utilidad tangible y mensurable. Por ejemplo: ^{[1] : 44}

• Consideremos el problema de la asignación de madera entre los constructores. Las funciones de utilidad pueden representar su poder productivo: es la cantidad de edificios que el agente puede construir utilizando unidades de madera. La regla utilitarista asigna entonces la madera de manera que maximice el número de edificios. ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$
• Consideremos el problema de asignar un medicamento poco común entre los pacientes. Las funciones de utilidad pueden representar sus posibilidades de recuperación: es la probabilidad de que el agente se recupere al recibir dosis del medicamento. Luego, la regla utilitarista asigna la medicación de manera que maximice el número esperado de supervivientes. ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$

Funciones de utilidad abstractas

Cuando las funciones u _i representan alguna forma abstracta de "felicidad", la regla utilitaria se vuelve más difícil de interpretar. Para que la fórmula anterior tenga sentido, se debe suponer que las funciones de utilidad son cardinales e interpersonalmente comparables a nivel cardinal. ${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$

La noción de que los individuos tienen funciones de utilidad cardinales no es tan problemática. La utilidad cardinal ha sido asumida implícitamente en la teoría de la decisión desde el análisis de la paradoja de San Petersburgo realizado por Daniel Bernoulli . Frank P. Ramsey , Bruno de Finetti , von Neumann y Morgenstern y Leonard Savage desarrollaron rigurosas teorías matemáticas de la utilidad cardinal (con aplicación a la toma de decisiones arriesgadas) . Sin embargo, en estas teorías, la función de utilidad de una persona sólo está bien definida hasta un "reescalamiento afín". Por lo tanto, si la función de utilidad es una descripción válida de sus preferencias, y si hay dos constantes con , entonces la función de utilidad "reescalada" es una descripción igualmente válida de sus preferencias. Si definimos un nuevo paquete de funciones de utilidad usando posiblemente diferentes y para todos , y luego consideramos la suma utilitaria ${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle r_{i},s_{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s_{i}>0}$ ${\displaystyle v_{i}(x):=s_{i}\,u_{i}(x)+r_{i}}$ ${\displaystyle (v_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle r_{i}\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle s_{i}>0}$ ${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle V(x):=\sum _{i\in I}v_{i}(x),}$

entonces, en general, el maximizador de no será el mismo que el maximizador de . Así, en cierto sentido, la elección social utilitarista clásica no está bien definida dentro del modelo estándar de utilidad cardinal utilizado en la teoría de la decisión, a menos que se especifique un mecanismo para "calibrar" las funciones de utilidad de los diferentes individuos. ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle U}$

Utilitarismo relativo

El utilitarismo relativo propone un mecanismo de calibración natural. Para cada , supongamos que los valores ${\displaystyle i\in I}$

${\displaystyle m_{i}\ :=\ \min _{x\in X}\,u_{i}(x)\quad {\text{and}}\quad M_{i}\ :=\ \max _{x\in X}\,u_{i}(x)}$

están bien definidos. (Por ejemplo, esto siempre será cierto si es finito o si es un espacio compacto y una función continua). Luego defina ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle u_{i}}$

${\displaystyle w_{i}(x)\ :=\ {\frac {u_{i}(x)-m_{i}}{M_{i}-m_{i}}}}$

para todos . Por tanto, es una función de utilidad "reescalada" que tiene un valor mínimo de 0 y un valor máximo de 1. La regla de elección social del Utilitarismo Relativo selecciona el elemento en el que se maximiza la suma utilitaria. ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle w_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle W(x):=\sum _{i\in I}w_{i}(x).}$

Como función abstracta de elección social, el utilitarismo relativo ha sido analizado por Cao (1982), ^[2] Dhillon (1998), ^[3] Karni (1998), ^[4] Dhillon y Mertens (1999), ^[5] Segal (2000). ), ^[6] Sobel (2001) ^[7] y Pivato (2008). ^[8] (Cao (1982) se refiere a ella como la "solución de Thomson modificada".)

La regla utilitarista y la eficiencia de Pareto

Toda función de elección social eficiente en el sentido de Pareto es necesariamente una función de elección utilitaria, resultado conocido como teorema utilitario de Harsanyi. Específicamente, cualquier función de elección social eficiente en el sentido de Pareto debe ser una combinación lineal de las funciones de utilidad de cada función de utilidad individual (con ponderaciones estrictamente positivas).

El gobierno utilitarista en contextos específicos

En el contexto de la votación, la regla utilitarista conduce a varios métodos de votación:

• La votación por rango (también llamada votación por puntuación o votación utilitaria) implementa la regla relativa-utilitaria al permitir que los votantes expresen explícitamente sus utilidades para cada alternativa en una escala normalizada común.
• El voto utilitario implícito intenta aproximarse a la regla utilitarista y al mismo tiempo permite que los votantes expresen sólo clasificaciones ordinales sobre los candidatos.

En el contexto de la asignación de recursos, la regla utilitarista conduce a:

• Una regla particular para la división de un único recurso homogéneo ;
• Varias reglas y algoritmos para cortar pasteles utilitarios : dividir un recurso heterogéneo;
• Una regla particular para la asignación justa de artículos . ^[9]
• Problema de maximización del bienestar .

Ver también

• Voto utilitario implícito
• Gobierno igualitario
• Regla proporcional-justa
• Problema de maximización de la utilidad

Referencias

1. Moulin, Hervé (2003). División justa y bienestar colectivo . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 978-0-262-13423-1.
2. Cao, Xiren (1 de diciembre de 1982). "Funciones preferentes y soluciones de negociación". 1982 21ª Conferencia del IEEE sobre Decisión y Control . IEEE. págs. 164-171. doi :10.1109/cdc.1982.268420. S2CID  30395654.
3. Dhillon, Amrita (1998), "Reglas de Pareto extendidas y utilitarismo relativo", Elección y bienestar social , 15 (4): 521–542, doi :10.1007/s003550050121, S2CID  54899024
4. Karni, Edi (1998), "Imparcialidad: definición y representación", Econometrica , 66 (6): 1405–1415, doi :10.2307/2999622, JSTOR  2999622
5. Dhillon, Amrita; Mertens, Jean-Francois (1999), "Utilitarismo relativo", Econometrica , 67 (3): 471–498, doi :10.1111/1468-0262.00033
6. Segal, Uzi (2000), "Aceptemos que todas las dictaduras son igualmente malas", Journal of Political Economy , 108 (3): 569–589, doi :10.1086/262129, S2CID  154610036
7. Sobel, Joel (2001), "Manipulación de preferencias y utilitarismo relativo", Juegos y comportamiento económico , 37 : 196–215, CiteSeerX 10.1.1.395.509 , doi :10.1006/game.2000.0839 
8. Pivato, Marcus (2008), "Doble optimización de la solución de negociación utilitaria relativa", Elección y bienestar social , 32 (1): 79–92, CiteSeerX 10.1.1.537.5572 , doi :10.1007/s00355-008-0313- 0, S2CID  15475740 
9. Aziz, Haris; Huang, Xin; Mattei, Nicolás; Segal-Halevi, Erel (13 de octubre de 2022). "Calcular el bienestar: maximizar las asignaciones justas de bienes indivisibles". Revista europea de investigación operativa . 307 (2): 773–784. arXiv : 2012.03979 . doi :10.1016/j.ejor.2022.10.013. ISSN  0377-2217. S2CID  235266307.