División justa de un único recurso homogéneo

La división justa de un único recurso homogéneo es una de las configuraciones más simples en los problemas de división justa . Hay un único recurso que conviene dividir entre varias personas. El desafío es que cada persona obtiene una utilidad diferente de cada cantidad del recurso. Por lo tanto, existen varios principios contradictorios para decidir cómo se debe dividir el recurso. Un conflicto primario es entre eficiencia e igualdad. La eficiencia está representada por la regla utilitarista , que maximiza la suma de utilidades; la igualdad está representada por la regla igualitaria , que maximiza la utilidad mínima. ^{[1] : sub.2.5}

Configuración

En una determinada sociedad existen:

• ${\displaystyle t}$unidades de algún recurso divisible.
• ${\displaystyle n}$agentes con diferentes "utilidades".
• La utilidad del agente está representada por una función ; Cuando el agente recibe unidades de recurso, obtiene de ellas una utilidad de . ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle u_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$ ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$

Esta configuración puede tener varias interpretaciones. Por ejemplo: ^{[1] : 44}

• El recurso es la madera, los agentes son constructores y las funciones de utilidad representan su poder productivo: es la cantidad de edificios que el agente puede construir utilizando unidades de madera. ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$
• El recurso es un medicamento, los agentes son pacientes y las funciones de utilidad representan sus posibilidades de recuperación: es la probabilidad de que el agente se recupere al recibir dosis del medicamento. ${\displaystyle u_{i}(y_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle y_{i}}$

En cualquier caso, la sociedad tiene que decidir cómo dividir el recurso entre los agentes: tiene que encontrar un vector tal que: ${\displaystyle y_{1},\dots ,y_{n}}$ ${\displaystyle y_{1}+\cdots +y_{n}=t}$

Reglas de asignación

libre de envidia

La regla de ausencia de envidia dice que el recurso debe asignarse de manera que ningún agente envidie a otro agente. En el caso de un único recurso homogéneo, siempre selecciona la asignación que le da a cada agente la misma cantidad de recurso, independientemente de su función de utilidad:

${\displaystyle \forall i:y_{i}=t/n}$

Utilitario

La regla utilitarista dice que se debe maximizar la suma de las utilidades. Por tanto, la asignación utilitaria es:

${\displaystyle y=\arg \max _{y}\sum _{i}u_{i}(y_{i})}$

Igualitario

La regla igualitaria dice que las utilidades de todos los agentes deben ser iguales. Por lo tanto, nos gustaría seleccionar una asignación que satisfaga:

${\displaystyle \forall i,j:u_{i}(y_{i})=u_{j}(y_{j})}$

Sin embargo, es posible que dicha asignación no exista, ya que los rangos de las funciones de utilidad podrían no superponerse (consulte el ejemplo a continuación). Para garantizar que exista una solución, permitimos diferentes niveles de utilidad, pero exigimos que los agentes con niveles de utilidad superiores al mínimo no reciban recursos:

${\displaystyle y_{i}>0\implies u_{i}(y_{i})=\min _{j}u_{j}(y_{j})}$

De manera equivalente, la asignación igualitaria maximiza la utilidad mínima:

${\displaystyle y=\arg \max _{y}\min _{i}u_{i}(y_{i})}$

Las reglas utilitarias e igualitarias pueden conducir a la misma asignación o a asignaciones diferentes, dependiendo de las funciones de utilidad. A continuación se ilustran algunos ejemplos.

Ejemplos

Utilidad común y dotaciones desiguales

Supongamos que todos los agentes tienen la misma función de utilidad, pero cada agente tiene una dotación inicial diferente . Entonces la utilidad de cada agente viene dada por: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle x_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}(y_{i})=u(x_{i}+y_{i})}$

Si es una función cóncava , que representa rendimientos decrecientes , entonces las asignaciones utilitarias e igualitarias son las mismas: intentan igualar las dotaciones de los agentes. Por ejemplo, si hay 3 agentes con dotaciones iniciales y el monto total es , entonces ambas reglas recomiendan la asignación , ya que empuja hacia utilidades iguales (tanto como sea posible) y maximiza la suma de utilidades. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle x=2,4,9}$ ${\displaystyle t=8}$ ${\displaystyle y=5,3,0}$

Por el contrario, si es una función convexa , que representa rendimientos crecientes , entonces la asignación igualitaria todavía empuja hacia la igualdad, pero la asignación utilitaria ahora otorga toda la dotación al agente más rico: . ^{[1] : 45} Esto tiene sentido, por ejemplo, cuando el recurso es un medicamento escaso: puede ser socialmente mejor administrar todos los medicamentos al paciente con mayores posibilidades de curación. ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle y=0,0,9}$

Ratios de utilidad constantes

Supongamos que existe una función de utilidad común , pero cada agente tiene un coeficiente diferente que representa la productividad de ese agente. Entonces la utilidad de cada agente viene dada por: ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle i}$

${\displaystyle u_{i}(y_{i})=a_{i}\cdot u(y_{i})}$

En este caso, los enfoques utilitarista e igualitario son diametralmente opuestos. ^{[1] : 46–47}

• La asignación igualitaria da más recursos a los agentes menos productivos, para compensarlos y permitirles alcanzar un alto nivel de utilidad:

  ${\displaystyle a_{i}>a_{j}\implies y_{j}>y_{i}}$

• La asignación utilitaria da más recursos a los agentes más productivos, ya que utilizarán mejor los recursos:

  ${\displaystyle a_{i}>a_{j}\implies y_{i}>y_{j}}$

Propiedades de las reglas de asignación

• Monotonicidad de los recursos : la regla libre de envidia y la regla igualitaria son siempre monótonas en cuanto a los recursos. La regla utilitarista es monótona en cuanto a recursos cuando todas las funciones de utilidad son funciones cóncavas , que representan rendimientos decrecientes ; pero, cuando algunas funciones de utilidad son funciones convexas y representan rendimientos crecientes , la regla utilitarista podría no ser monótona en cuanto a recursos. ^{[1] : 47}

Ver también

• Utilitarismo
• Igualitarismo

Referencias

1. Hervé Moulin (2004). División Justa y Bienestar Colectivo . Cambridge, Massachusetts: MIT Press. ISBN 9780262134231.