Regla proporcional-justa

Regla de decisión para la elección social

En la investigación de operaciones y la elección social , la regla proporcional-justa (PF) es una regla que dice que, entre todas las alternativas posibles, se debe elegir una alternativa que no se pueda mejorar, donde la "mejora" se mide por la suma de las mejoras relativas posibles para cada agente individual. Su objetivo es proporcionar un compromiso entre la regla utilitarista , que enfatiza la eficiencia general del sistema, y ​​la regla igualitaria , que enfatiza la justicia individual.

La regla se presentó por primera vez en el contexto del control de velocidad en las redes de comunicación. ^[1] Sin embargo, es una regla de elección social general y también se puede utilizar, por ejemplo, en la asignación de recursos. ^[2]

Definición

Sea un conjunto de posibles "estados del mundo" o "alternativas". La sociedad desea elegir un único estado entre . Por ejemplo, en una elección con un solo ganador , puede representar el conjunto de candidatos; en un contexto de asignación de recursos , puede representar todas las posibles asignaciones del recurso. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Sea un conjunto finito que representa una colección de individuos. Para cada , sea una función de utilidad que describe la cantidad de felicidad que un individuo i obtiene de cada estado posible. ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle i\in I}$ ${\displaystyle u_{i}:X\longrightarrow \mathbb {R} }$

Una regla de elección social es un mecanismo que utiliza los datos para seleccionar algunos elementos que son "mejores" para la sociedad. La cuestión de qué significa "mejor" es la cuestión básica de la teoría de la elección social . La regla proporcional-justa selecciona un elemento de modo que, para cualquier otro estado : ${\displaystyle (u_{i})_{i\in I}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in X}$

${\displaystyle 0\geq \sum _{i\in I}{\frac {u_{i}(y)-u_{i}(x)}{u_{i}(x)}}.}$

Nótese que el término dentro de la suma, , representa la ganancia relativa del agente i al cambiar de x a y . La regla PF prefiere un estado x sobre un estado y , si y solo si Si la suma de las ganancias relativas al cambiar de x a y no es positiva. ${\displaystyle {\frac {u_{i}(y)-u_{i}(x)}{u_{i}(x)}}}$

Comparación con otras normas

La regla utilitaria selecciona un elemento que maximiza la suma de utilidades individuales, es decir, para cualquier otro estado : ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in X}$

${\displaystyle 0\geq \sum _{i\in I}\left(u_{i}(y)-u_{i}(x)\right).}$

Esta regla ignora la utilidad actual de los individuos. En particular, podría seleccionar un estado en el que la utilidad de algunos individuos sea cero, si la utilidad de otros individuos es suficientemente grande. La regla igualitaria selecciona un elemento que maximiza las utilidades individuales más pequeñas , es decir, para cada otro estado : ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle y\in X}$

${\displaystyle 0\geq \min _{i\in I}u_{i}(y)-\min _{i\in I}u_{i}(x).}$

Esta regla ignora la eficiencia total del sistema. En particular, podría seleccionar un estado en el que las utilidades de la mayoría de los individuos sean muy bajas, sólo para que la utilidad más pequeña sea ligeramente mayor.

La regla proporcional-justa busca un equilibrio entre estos dos extremos. Por un lado, considera una suma de utilidades en lugar de sólo la utilidad más pequeña; por otro lado, dentro de la suma, da más peso a los agentes cuya utilidad actual es más pequeña. En particular, si la utilidad de algún individuo en x es 0, y hay otro estado y en el que su utilidad es mayor que 0, entonces la regla PF preferiría el estado y, ya que la mejora relativa del individuo y es infinita (se divide por 0).

Propiedades

Cuando los conjuntos de utilidades son convexos, siempre existe una solución proporcionalmente justa que, además, maximiza el producto de las utilidades (también conocido como el bienestar de Nash ). ^[3]

Cuando los conjuntos de utilidades no son convexos, no se garantiza la existencia de una solución proporcionalmente justa. Sin embargo, cuando existe, aun así maximiza el producto de las utilidades. ^[2]

La regla PF en contextos específicos

La equidad proporcional se ha estudiado en diversos entornos.

• Programación de red; véase programación proporcional-justa . ^[4]
• El problema de la suma de subconjuntos justos . ^[2]
• Hacer cola. ^[5]

Referencias

1. Kelly, FP; Maulloo, AK; Tan, DKH (1998-03-01). "Control de velocidad para redes de comunicación: precios sombra, equidad proporcional y estabilidad". Revista de la Sociedad de Investigación Operativa . 49 (3): 237–252. doi :10.1057/palgrave.jors.2600523. ISSN  0160-5682. S2CID  2876114.
2. Nicosia, Gaia; Pacifici, Andrea; Pferschy, Ulrich (16 de marzo de 2017). "Precio de justicia para asignar un recurso limitado". Revista Europea de Investigación Operativa . 257 (3): 933–943. arXiv : 1508.05253 . doi :10.1016/j.ejor.2016.08.013. ISSN  0377-2217. S2CID  14229329.
3. Bertsimas, Dimitris; Farias, Vivek F.; Trichakis, Nikolaos (1 de febrero de 2011). "El precio de la justicia". Investigación de operaciones . 59 (1): 17–31. doi :10.1287/opre.1100.0865. hdl : 1721.1/69093 . ISSN  0030-364X.
4. Kushner, HJ; Whiting, PA (julio de 2004), "Convergencia de algoritmos de reparto proporcional-justo en condiciones generales", IEEE Transactions on Wireless Communications , 3 (4): 1250–1259, CiteSeerX 10.1.1.8.6408 , doi :10.1109/TWC.2004.830826, S2CID  6780351. 
5. Bonald, T.; Massoulié, L.; Proutière, A.; Virtamo, J. (1 de junio de 2006). "Un análisis de colas de equidad máxima-mínima, equidad proporcional y equidad equilibrada". Sistemas de colas . 53 (1): 65–84. doi :10.1007/s11134-006-7587-7. ISSN  1572-9443. S2CID  1207054.