Introducción a las 3 variedades es un libro de matemáticas sobre topología de baja dimensión . Fue escrito por Jennifer Schultens y publicado por la American Mathematical Society en 2014 como el volumen 151 de su serie de libros Graduate Studies in Mathematics .
Una variedad es un espacio cuya topología, cerca de cualquiera de sus puntos, es la misma que la topología cerca de un punto de un espacio euclidiano ; sin embargo, su estructura global puede ser no euclidiana. Ejemplos conocidos de variedades bidimensionales incluyen la esfera , el toro y la botella de Klein ; este libro se concentra en las variedades tridimensionales y en las superficies bidimensionales dentro de ellas. Un enfoque particular es una división de Heegaard , una superficie bidimensional que divide una variedad tridimensional en dos cuerpos de manija . Su objetivo es presentar las ideas principales de esta área, pero no incluye pruebas detalladas para muchos de los resultados que establece, en muchos casos porque estas pruebas son largas y técnicas. [1]
El libro tiene siete capítulos. Los dos primeros son introductorios y proporcionan material sobre variedades en general, la Hauptvermutung que prueba la existencia y equivalencia de triangulaciones para variedades de baja dimensión, la clasificación de superficies bidimensionales , espacios de recubrimiento y el grupo de clases de mapeo . El tercer capítulo comienza el material del libro sobre 3-variedades y sobre la descomposición de variedades en espacios más pequeños cortándolos a lo largo de superficies. Por ejemplo, el teorema tridimensional de Schoenflies establece que cortar el espacio euclidiano por una esfera solo puede producir dos bolas topológicas; un teorema análogo de JW Alexander establece que al menos un lado de cualquier toro en el espacio euclidiano debe ser un toro sólido . Sin embargo, para variedades más complicadas, se puede usar el corte a lo largo de superficies incompresibles para construir la descomposición JSJ de una variedad. Este capítulo también incluye material sobre espacios de fibra de Seifert . El capítulo cuatro trata de la teoría de nudos , invariantes de nudos , posición delgada y la relación entre nudos y sus invariantes con las variedades a través de complementos de nudos , los subespacios del espacio euclidiano en los otros lados de los toros. [1] [2]
El revisor Bruno Zimmermann llama a los capítulos 5 y 6 "el corazón del libro", [1] aunque el revisor Michael Berg no está de acuerdo, considerando el capítulo 4 sobre la teoría de nudos como más central. [3] El capítulo 5 analiza las superficies normales , superficies que intersecan los tetraedros de una triangulación de una variedad de una manera controlada. Al parametrizar estas superficies por la cantidad de piezas de cada tipo posible que pueden tener dentro de cada tetraedro de una triangulación, se pueden reducir muchas preguntas sobre variedades como el reconocimiento de nudos triviales y variedades triviales a preguntas en teoría de números , sobre la existencia de soluciones a ciertas ecuaciones diofánticas . El libro utiliza esta herramienta para demostrar la existencia y unicidad de descomposiciones primos de variedades. El capítulo 6 trata de las divisiones de Heegaard , superficies que dividen una variedad dada en dos cuerpos de manija . Incluye el teorema de Reidemeister y Singer sobre refinamientos comunes ("estabilizaciones") de las divisiones de Heegaard, la reducibilidad de las divisiones, la unicidad de las divisiones de un género dado para el espacio euclidiano y el gráfico de Rubinstein-Scharlemann, una herramienta para estudiar las divisiones de Heegaard. [1] [2]
Un capítulo final examina temas más avanzados, incluyendo la conjetura de geometrización , la cirugía de Dehn , las foliaciones , las laminaciones y los complejos de curvas . [1] [2] Hay dos apéndices, sobre la posición general y la teoría de Morse . [4]
Aunque está escrito en forma de un libro de texto de nivel introductorio para graduados, este libro presenta muchos desarrollos recientes, lo que lo hace también de interés para especialistas en esta área. [1] [2] Se necesita una pequeña cantidad de antecedentes en topología general , y podría ser útil tener familiaridad adicional con la topología algebraica y la geometría diferencial para leer el libro. [2] [4] Se incluyen muchas ilustraciones y ejercicios. [4]
El crítico Bruno Zimmermann afirma que el libro "está escrito de una manera agradable e intuitiva que lo hace agradable de leer". [1] El crítico Michael Berg lo llama "un libro excelente que ilustra ricamente el alcance del tema elegido... muy bien escrito, claro y explícito en su presentación". [3]
Otros libros relacionados con las matemáticas de 3-variedades incluyen 3-variedades de John Hempel (1976), Knots, links, Braids and 3-variedades de Victor V. Prasolov y Alexei B. Sosinskiĭ (1997), Algorithmic topology and classification of 3-variedades de Sergey V. Matveev (2.ª ed., 2007), y una colección de notas de clase inéditas sobre 3-variedades de Allen Hatcher . [2]