Ecuación integral

Ecuaciones con una función desconocida bajo un signo integral

En matemáticas , las ecuaciones integrales son ecuaciones en las que una función desconocida aparece bajo un signo integral . ^[1] En notación matemática, las ecuaciones integrales pueden expresarse de la forma: donde es un operador integral que actúa sobre u. Por lo tanto, las ecuaciones integrales pueden verse como análogas a las ecuaciones diferenciales donde, en lugar de que la ecuación involucre derivadas, la ecuación contiene integrales. Se puede ver una comparación directa con la forma matemática de la ecuación integral general anterior con la forma general de una ecuación diferencial que puede expresarse de la siguiente manera: donde puede verse como un operador diferencial de orden i . ^[1] Debido a esta estrecha conexión entre ecuaciones diferenciales e integrales, a menudo se puede convertir entre las dos. Por ejemplo, un método para resolver un problema de valor límite es convertir la ecuación diferencial con sus condiciones límite en una ecuación integral y resolver la ecuación integral. ^[1] Además, debido a que se puede convertir entre las dos, las ecuaciones diferenciales en física, como las ecuaciones de Maxwell, a menudo tienen una forma integral y diferencial análoga. ^[2] Véase también, por ejemplo, la función de Green y la teoría de Fredholm . $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});I^{1}(u),I^{2}(u),I^{3}(u),...,I^{m}(u))=0}$$ ${\displaystyle I^{i}(u)}$ $${\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n};u(x_{1},x_{2},x_{3},...,x_{n});D^{1}(u),D^{2}(u),D^{3}(u),...,D^{m}(u))=0}$$ ${\displaystyle D^{i}(u)}$

Clasificación y descripción general

Existen varios métodos de clasificación para ecuaciones integrales. Algunas clasificaciones estándar incluyen distinciones entre ecuaciones lineales y no lineales; homogéneas y no homogéneas; Fredholm y Volterra; ecuaciones integrales de primer, segundo y tercer orden; y singulares y regulares. ^[1] Estas distinciones suelen basarse en alguna propiedad fundamental, como la consideración de la linealidad de la ecuación o la homogeneidad de la ecuación. ^[1] Estos comentarios se concretan mediante las siguientes definiciones y ejemplos:

Linealidad

Lineal : Una ecuación integral es lineal si la función desconocida u(x) y sus integrales aparecen lineales en la ecuación. ^[1] Por lo tanto, un ejemplo de una ecuación lineal sería: ^[1] Como nota sobre la convención de nomenclatura: i) u(x) se llama función desconocida, ii) f(x) se llama función conocida, iii) K(x,t) es una función de dos variables y a menudo se llama función Kernel , y iv) λ es un factor o parámetro desconocido, que juega el mismo papel que el valor propio en álgebra lineal . ^[1] $${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt}$$

No lineal : Una ecuación integral es no lineal si la función desconocida u(x) o cualquiera de sus integrales aparecen como no lineales en la ecuación. ^[1] Por lo tanto, ejemplos de ecuaciones no lineales serían la ecuación anterior si reemplazamos u(t) con , como: Ciertos tipos de ecuaciones integrales no lineales tienen nombres específicos. ^[3] Una selección de tales ecuaciones son: ^[3] ${\displaystyle u^{2}(x),\,\,\cos(u(x)),\,{\text{or }}\,e^{u(x)}}$ $${\displaystyle u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u^{2}(t)dt}$$

• Ecuaciones integrales de Volterra no lineales de segundo tipo que tienen la forma general: donde F es una función conocida. ^[3] ${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,F(x,t,u(t))\,dt,}$
• Ecuaciones integrales de Fredholm no lineales de segundo tipo que tienen la forma general: . ^[3] ${\displaystyle f(x)=F(x,\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy)}$
• Un tipo especial de ecuaciones integrales no lineales de Fredholm del segundo tipo se da por la forma: , que tiene las dos subclases especiales: ^[3] ${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}K(x,y,f(x),f(y))\,dy}$
  • Ecuación de Urysohn: . ^[3] ${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y,f(y))\,dy}$
  • Ecuación de Hammerstein: . ^[3] ${\displaystyle f(x)=g(x)+\int _{a}^{b}k(x,y)\,G(y,f(y))\,dy}$

Puede encontrar más información sobre la ecuación de Hammerstein y diferentes versiones de la ecuación de Hammerstein en la sección de Hammerstein a continuación.

Ubicación de la ecuación desconocida

Primer tipo : Una ecuación integral se denomina ecuación integral de primer tipo si la función desconocida aparece solo bajo el signo integral. ^[3] Un ejemplo sería: . ^[3] ${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt}$

Segundo tipo : Una ecuación integral se denomina ecuación integral de segundo tipo si la función desconocida también aparece fuera de la integral. ^[3]

Tercer tipo : Una ecuación integral se denomina ecuación integral de tercer tipo si es una ecuación integral lineal de la siguiente forma: ^[3] donde g(t) se desvanece al menos una vez en el intervalo [a,b] ^{[4] [5]} o donde g(t) se desvanece en un número finito de puntos en (a,b) . ^[6] $${\displaystyle g(t)u(t)+\lambda \int _{a}^{b}K(t,x)u(x)\,dx=f(t)}$$

Límites de la integración

Fredholm : Una ecuación integral se denomina ecuación integral de Fredholm si ambos límites de integración en todas las integrales son fijos y constantes. ^[1] Un ejemplo sería que la integral se toma sobre un subconjunto fijo de . ^[3] Por lo tanto, los dos ejemplos siguientes son ecuaciones de Fredholm: ^[1] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

• Ecuación de Fredholm del primer tipo: . ${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt}$
• Ecuación de Fredholm del segundo tipo: ${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{b}K(x,t)\,u(t)\,dt.}$

Nótese que también podemos expresar ecuaciones integrales como las anteriores utilizando la notación del operador integral. ^[7] Por ejemplo, podemos definir el operador integral de Fredholm como: Por lo tanto, la ecuación de Fredholm de segundo tipo anterior puede escribirse de manera compacta como: ^[7] $${\displaystyle ({\mathcal {F}}y)(t):=\int _{t_{0}}^{T}K(t,s)\,y(s)\,ds.}$$ $${\displaystyle y(t)=g(t)+\lambda ({\mathcal {F}}y)(t).}$$

Volterra : Una ecuación integral se denomina ecuación integral de Volterra si al menos uno de los límites de integración es una variable. ^[1] Por lo tanto, la integral se toma sobre un dominio que varía con la variable de integración. ^[3] Algunos ejemplos de ecuaciones de Volterra serían: ^[1]

• Ecuación integral de Volterra de primer tipo: ${\displaystyle f(x)=\int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt}$
• Ecuación integral de Volterra de segundo tipo: ${\displaystyle u(x)=f(x)+\lambda \int _{a}^{x}K(x,t)\,u(t)\,dt.}$

Al igual que con las ecuaciones de Fredholm, podemos adoptar de nuevo la notación de operador. Por lo tanto, podemos definir el operador integral de Volterra lineal , de la siguiente manera: ^[3] donde y K(t,s) se llama núcleo y debe ser continuo en el intervalo . ^[3] Por lo tanto, la ecuación integral de Volterra de la primera clase puede escribirse como: ^[3] con . Además, una ecuación integral de Volterra lineal de la segunda clase para una función desconocida y una función continua dada en el intervalo donde : Volterra-Fredholm : En dimensiones superiores, existen ecuaciones integrales como las ecuaciones integrales de Fredholm-Volterra (VFIE). ^[3] Una VFIE tiene la forma: con y siendo una región cerrada acotada en con un límite suave por partes. ^[3] El operador integral de Fredholm-Volterra se define como: ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)}$ $${\displaystyle ({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds}$$ ${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$ ${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}}$ $${\displaystyle ({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)}$$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle y(t)}$ ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle t\in I}$ $${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t).}$$ $${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)}$$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )}$

$${\displaystyle ({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.}$$Tenga en cuenta que, si bien a lo largo de este artículo los límites de la integral suelen escribirse como intervalos, este no tiene por qué ser necesariamente el caso. ^[7] En general, las ecuaciones integrales no siempre necesitan definirse en un intervalo , sino que también podrían definirse en una curva o superficie. ^[7] ${\displaystyle [a,b]=I}$

Homogeneidad

Homogénea : Una ecuación integral se llama homogénea si la función conocida es idénticamente cero. ^[1] ${\displaystyle f}$

No homogénea : una ecuación integral se denomina no homogénea si la función conocida es distinta de cero. ^[1] ${\displaystyle f}$

Regularidad

Regular : Una ecuación integral se llama regular si las integrales utilizadas son todas integrales propias. ^[7]

Singular o débilmente singular : Una ecuación integral se llama singular o débilmente singular si la integral es una integral impropia. ^[7] Esto podría deberse a que al menos uno de los límites de integración es infinito o el núcleo se vuelve ilimitado, es decir, infinito, en al menos un punto en el intervalo o dominio sobre el cual se está integrando. ^[1]

Los ejemplos incluyen: ^[1] Estas dos ecuaciones integrales son la transformada de Fourier y la transformada de Laplace de u(x) , respectivamente, siendo ambas ecuaciones de Fredholm del primer tipo con núcleo y , respectivamente. ^[1] Otro ejemplo de una ecuación integral singular en la que el núcleo se vuelve ilimitado es: ^[1] Esta ecuación es una forma especial de la ecuación integral de Volterra débilmente singular más general del primer tipo, llamada ecuación integral de Abel: ^[7] Fuertemente singular : Una ecuación integral se llama fuertemente singular si la integral está definida por una regularización especial, por ejemplo, por el valor principal de Cauchy. ^[7] $${\displaystyle F(\lambda )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\lambda x}u(x)\,dx}$$ $${\displaystyle L[u(x)]=\int _{0}^{\infty }e^{-\lambda x}u(x)\,dx}$$ ${\displaystyle K(x,t)=e^{-i\lambda x}}$ ${\displaystyle K(x,t)=e^{-\lambda x}}$ $${\displaystyle x^{2}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {x-t}}}\,u(t)\,dt.}$$ $${\displaystyle g(x)=\int _{a}^{x}{\frac {f(y)}{\sqrt {x-y}}}\,dy}$$

Ecuaciones integro-diferenciales

Una ecuación integro-diferencial , como sugiere su nombre, combina operadores diferenciales e integrales en una sola ecuación. ^[1] Existen muchas versiones, incluidas la ecuación integro-diferencial de Volterra y las ecuaciones de tipo retardo, como se define a continuación. ^[3] Por ejemplo, utilizando el operador Volterra como se define anteriormente, la ecuación integro-diferencial de Volterra se puede escribir como: ^[3] Para problemas de retardo, podemos definir el operador integral de retardo como: ^[3] donde la ecuación integro-diferencial de retardo se puede expresar como: ^[3] $${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t))+(V_{\alpha }y)(t)}$$ ${\displaystyle ({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)}$ $${\displaystyle ({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t):=\int _{\theta (t)}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k_{2}(t,s,y(s),y'(s))\,ds}$$ $${\displaystyle y'(t)=f(t,y(t),y(\theta (t)))+({\mathcal {W}}_{\theta ,\alpha }y)(t).}$$

Ecuaciones integrales de Volterra

Teoremas de unicidad y existencia en 1D

La solución de una ecuación integral de Volterra lineal de primer tipo, dada por la ecuación: se puede describir mediante el siguiente teorema de unicidad y existencia. ^[3] Recordemos que el operador integral de Volterra , se puede definir de la siguiente manera: ^[3] donde y K(t,s) se denomina núcleo y debe ser continuo en el intervalo . ^[3] $${\displaystyle ({\mathcal {V}}y)(t)=g(t)}$$ ${\displaystyle {\mathcal {V}}:C(I)\to C(I)}$ $${\displaystyle ({\mathcal {V}}\phi )(t):=\int _{t_{0}}^{t}K(t,s)\,\phi (s)\,ds}$$ ${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$ ${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\leq \infty \}}$

Teorema  —  Suponga que satisface y para algún Entonces, para cualquier con la ecuación integral anterior tiene una solución única en . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K\in C(D),\,\partial K/\partial t\in C(D)}$ ${\displaystyle \vert K(t,t)\vert \geq k_{0}>0}$ ${\displaystyle t\in I.}$ ${\displaystyle g\in C^{1}(I)}$ ${\displaystyle g(0)=0}$ ${\displaystyle y\in C(I)}$

La solución de una ecuación integral lineal de Volterra de segundo tipo, dada por la ecuación: ^[3] puede describirse mediante el siguiente teorema de unicidad y existencia. ^[3] $${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {V}}y)(t)}$$

Teorema  —  Sea y sea el núcleo resolvente asociado con . Entonces, para cualquier , la ecuación integral de Volterra de segunda especie tiene una solución única y esta solución está dada por: . ${\displaystyle K\in C(D)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle g\in C(I)}$ ${\displaystyle y\in C(I)}$ ${\displaystyle y(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds}$

Ecuaciones integrales de Volterra en R 2 {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}

Una ecuación integral de Volterra de segundo tipo se puede expresar de la siguiente manera: ^[3] donde , , y . ^[3] Esta ecuación integral tiene una solución única dada por: ^[3] donde es el núcleo resolvente de K . ^[3] $${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}K(x,\xi ,y,\eta )\,u(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi }$$ ${\displaystyle (x,y)\in \Omega :=[0,X]\times [0,Y]}$ ${\displaystyle g\in C(\Omega )}$ ${\displaystyle K\in C(D_{2})}$ ${\displaystyle D_{2}:=\{(x,\xi ,y,\eta ):0\leq \xi \leq x\leq X,0\leq \eta \leq y\leq Y\}}$ ${\displaystyle u\in C(\Omega )}$ $${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{x}\int _{0}^{y}R(x,\xi ,y,\eta )\,g(\xi ,\eta )\,d\eta \,d\xi }$$ ${\displaystyle R}$

Teoremas de unicidad y existencia de las ecuaciones de Fredholm-Volterra

Como se definió anteriormente, un VFIE tiene la forma: con y siendo una región cerrada y acotada en con un límite suave por partes. ^[3] El operador integral de Fredholm-Volterrra se define como: ^[3] En el caso en que el núcleo K pueda escribirse como , K se denomina núcleo de memoria positiva. ^[3] Con esto en mente, ahora podemos introducir el siguiente teorema: ^[3] $${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+({\mathcal {T}}u)(t,x)}$$ ${\displaystyle x\in \Omega }$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d}}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}:C(I\times \Omega )\to C(I\times \Omega )}$ $${\displaystyle ({\mathcal {T}}u)(t,x):=\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds.}$$ ${\displaystyle K(t,s,x,\xi )=k(t-s)H(x,\xi )}$

Teorema  —  Si la VFIE lineal dada por: con satisface las siguientes condiciones: ${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds}$ ${\displaystyle (t,x)\in I\times \Omega }$

• ${\displaystyle g\in C(I\times \Omega )}$, y
• ${\displaystyle K\in C(D\times \Omega ^{2})}$donde y ${\displaystyle D:=\{(t,s):0\leq s\leq t\leq T\}}$ ${\displaystyle \Omega ^{2}=\Omega \times \Omega }$

Entonces la VFIE tiene una solución única dada por donde se llama Kernel Resolvente y está dada por el límite de la serie de Neumann para el Kernel y resuelve las ecuaciones resolventes: ${\displaystyle u\in C(I\times \Omega )}$ ${\displaystyle u(t,x)=g(t,x)+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,s,x,\xi )\,G(u(s,\xi ))\,d\xi \,ds}$ ${\displaystyle R\in C(D\times \Omega ^{2})}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle R(t,s,x,\xi )=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }K(t,v,x,z)R(v,s,z,\xi )\,dz\,dv=K(t,s,x,\xi )+\int _{0}^{t}\int _{\Omega }R(t,v,x,z)K(v,s,z,\xi )\,dz\,dv}$

Ecuaciones especiales de Volterra

Un tipo especial de ecuación de Volterra que se utiliza en diversas aplicaciones se define de la siguiente manera: ^[3] donde , la función g(t) es continua en el intervalo , y el operador integral de Volterra viene dado por: con . ^[3] $${\displaystyle y(t)=g(t)+(V_{\alpha }y)(t)}$$ ${\displaystyle t\in I=[t_{0},T]}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle (V_{\alpha }t)}$ $${\displaystyle (V_{\alpha }t)(t):=\int _{t_{0}}^{t}(t-s)^{-\alpha }\cdot k(t,s,y(s))\,ds}$$ ${\displaystyle (0\leq \alpha <1)}$

Conversión de IVP a ecuaciones integrales

En la siguiente sección, damos un ejemplo de cómo convertir un problema de valor inicial (PVI) en una ecuación integral. Existen múltiples motivaciones para hacerlo, entre ellas, que las ecuaciones integrales suelen ser más fáciles de resolver y son más adecuadas para demostrar teoremas de existencia y unicidad. ^[7]

El siguiente ejemplo fue proporcionado por Wazwaz en las páginas 1 y 2 de su libro. ^[1] Examinamos el IVP dado por la ecuación:

$${\displaystyle u'(t)=2tu(t),\,\,\,\,\,\,\,x\geq 0}$$y la condición inicial:

$${\displaystyle u(0)=1}$$

Si integramos ambos lados de la ecuación, obtenemos:

$${\displaystyle \int _{0}^{x}u'(t)dt=\int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

y por el teorema fundamental del cálculo, obtenemos:

$${\displaystyle u(x)-u(0)=\int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

Reordenando la ecuación anterior, obtenemos la ecuación integral:

$${\displaystyle u(x)=1+\int _{0}^{x}2tu(t)dt}$$

que es una ecuación integral de Volterra de la forma:

$${\displaystyle u(x)=f(x)+\int _{\alpha (x)}^{\beta (x)}K(x,t)\cdot u(t)dt}$$

donde K(x,t) se llama núcleo y es igual a 2t , y f(x)=1 . ^[1]

Solución numérica

Cabe señalar que las ecuaciones integrales a menudo no tienen una solución analítica y deben resolverse numéricamente. Un ejemplo de esto es la evaluación de la ecuación integral del campo eléctrico (EFIE) o la ecuación integral del campo magnético (MFIE) sobre un objeto de forma arbitraria en un problema de dispersión electromagnética.

Un método para resolver numéricamente requiere discretizar las variables y reemplazar la integral por una regla de cuadratura.

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}w_{j}K\left(s_{i},t_{j}\right)u(t_{j})=f(s_{i}),\qquad i=0,1,\dots ,n.}$

Entonces tenemos un sistema con n ecuaciones y n variables. Al resolverlo obtenemos el valor de las n variables.

${\displaystyle u(t_{0}),u(t_{1}),\dots ,u(t_{n}).}$

Ecuaciones integrales como generalización de ecuaciones de valores propios

Ciertas ecuaciones integrales lineales homogéneas pueden considerarse como el límite continuo de ecuaciones de valores propios . Utilizando la notación de índice , una ecuación de valores propios puede escribirse como

${\displaystyle \sum _{j}M_{i,j}v_{j}=\lambda v_{i}}$

donde M = [ M _i,j ] es una matriz, v es uno de sus vectores propios y λ es el valor propio asociado.

Tomando el límite continuo, es decir, reemplazando los índices discretos i y j con las variables continuas x e y , se obtiene

${\displaystyle \int K(x,y)\,\varphi (y)\,dy=\lambda \,\varphi (x),}$

donde la suma sobre j ha sido reemplazada por una integral sobre y y la matriz M y el vector v han sido reemplazados por el núcleo K ( x , y ) y la función propia φ ( y ) . (Los límites de la integral son fijos, análogamente a los límites de la suma sobre j .) Esto da una ecuación de Fredholm homogénea lineal del segundo tipo.

En general, K ( x , y ) puede ser una distribución , en lugar de una función en sentido estricto. Si la distribución K tiene soporte solo en el punto x = y , entonces la ecuación integral se reduce a una ecuación de función propia diferencial .

En general, las ecuaciones integrales de Volterra y Fredholm pueden surgir de una única ecuación diferencial, dependiendo de qué tipo de condiciones se apliquen en el límite del dominio de su solución.

Ecuaciones integrales de Wiener-Hopf

$${\displaystyle y(t)=\lambda x(t)+\int _{0}^{\infty }k(t-s)\,x(s)\,ds,\qquad 0\leq t<\infty .}$$Originalmente, tales ecuaciones se estudiaron en conexión con problemas de transferencia radiativa y, más recientemente, se han relacionado con la solución de ecuaciones integrales de límite para problemas planares en los que el límite es suave sólo por partes.

Ecuaciones de Hammerstein

Una ecuación de Hammerstein es una ecuación integral de Volterra no lineal de primer tipo de la forma: ^[3] Bajo ciertas condiciones de regularidad, la ecuación es equivalente a la ecuación integral de Volterra implícita de segundo tipo: ^[3] donde: Sin embargo, la ecuación también se puede expresar en forma de operador, lo que motiva la definición del siguiente operador llamado operador Volterra-Hammerstein no lineal: ^[3] Aquí hay una función suave mientras que el núcleo K puede ser continuo, es decir, acotado, o débilmente singular. ^[3] La ecuación integral de Volterra de segundo tipo correspondiente, llamada ecuación integral de Volterra-Hammerstein de segundo tipo, o simplemente ecuación de Hammerstein para abreviar, se puede expresar como: ^[3] En ciertas aplicaciones, la no linealidad de la función G se puede tratar como si fuera solo semilineal en la forma de: ^[3] En este caso, tenemos la siguiente ecuación integral de Volterra semilineal: ^[3] En esta forma, podemos enunciar un teorema de existencia y unicidad para la ecuación integral de Hammerstein semilineal. ^[3] $${\displaystyle g(t)=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds.}$$ $${\displaystyle G(t,y(t))=g_{1}(t)-\int _{0}^{t}K_{1}(t,s)\,G(s,y(s))\,ds}$$ $${\displaystyle g_{1}(t):={\frac {g'(t)}{K(t,t)}}\,\,\,\,\,\,\,{\text{and}}\,\,\,\,\,\,\,K_{1}(t,s):=-{\frac {1}{K(t,t)}}{\frac {\partial K(t,s)}{\partial t}}.}$$ $${\displaystyle ({\mathcal {H}}y)(t):=\int _{0}^{t}K(t,s)\,G(s,y(s))\,ds}$$ ${\displaystyle G:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)}$$ $${\displaystyle G(s,y)=y+H(s,y)}$$ $${\displaystyle y(t)=g(t)+({\mathcal {H}}y)(t)=g(t)+\int _{0}^{t}K(t,s)[y(s)+H(s,y(s))]\,ds}$$

Teorema  —  Supóngase que la ecuación semilineal de Hammerstein tiene una solución única y es una función continua de Lipschitz. Entonces la solución de esta ecuación puede escribirse en la forma: donde denota la solución única de la parte lineal de la ecuación anterior y está dada por: con denotación del núcleo resolvente. ${\displaystyle y\in C(I)}$ ${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle y(t)=y_{l}(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,H(s,y(s))\,ds}$ ${\displaystyle y_{l}(t)}$ ${\displaystyle y_{l}(t)=g(t)+\int _{0}^{t}R(t,s)\,g(s)\,ds}$ ${\displaystyle R(t,s)}$

También podemos escribir la ecuación de Hammerstein utilizando un operador diferente llamado operador de Niemytzki, u operador de sustitución, definido de la siguiente manera: ^[3] Puede encontrar más información sobre esto en la página 75 de este libro. ^[3] ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$ $${\displaystyle ({\mathcal {N}}\phi )(t):=G(t,\phi (t))}$$

Aplicaciones

Las ecuaciones integrales son importantes en muchas aplicaciones. Entre los problemas en los que se encuentran ecuaciones integrales se incluyen la transferencia radiativa y la oscilación de una cuerda, una membrana o un eje. Los problemas de oscilación también pueden resolverse como ecuaciones diferenciales .

• Ciencia actuarial (teoría de la ruina ^[8] )
• Electromagnetismo computacional
  • Método de elementos de contorno
• Problemas inversos
  • Ecuación de Marchenko ( transformada de dispersión inversa )
• Fijación de precios de opciones en el marco de la difusión por salto ^[9]
• Transferencia radiativa
• Teoría de la renovación ^[10]
• Viscoelasticidad
• Mecánica de fluidos ^{[11] [12]}

Véase también

• Ecuación diferencial
• Ecuación integro-diferencial
• Teoría de la ruina
• Ecuación integral de Volterra

Bibliografía

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Referencias

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Lectura adicional

• Kendall E. Atkinson. La solución numérica de ecuaciones integrales de segundo tipo . Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics, 1997.
• George Arfken y Hans Weber. Métodos matemáticos para físicos . Harcourt/Academic Press, 2000.
• Harry Bateman (1910) Historia y estado actual de la teoría de ecuaciones integrales, Informe de la Asociación Británica .
• Andrei D. Polyanin y Alexander V. Manzhirov Manual de ecuaciones integrales . CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4 . 
• ET Whittaker y GN Watson . Un curso de análisis moderno Biblioteca matemática de Cambridge.
• M. Krasnov, A. Kiselev, G. Makarenko, Problemas y ejercicios de ecuaciones integrales , Mir Publishers, Moscú, 1971
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Capítulo 19. Ecuaciones integrales y teoría inversa". Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8Archivado desde el original el 11-08-2011 . Consultado el 17-08-2011 .

Enlaces externos

• Ecuaciones integrales: soluciones exactas en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuaciones integrales: Índice en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas.
• "Ecuación integral", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuaciones integrales ( MIT OpenCourseWare )