Ecuación integro-diferencial

Ecuación que involucra tanto integrales como derivadas de una función

En matemáticas , una ecuación integro-diferencial es una ecuación que involucra tanto integrales como derivadas de una función .

Ecuaciones lineales generales de primer orden

La ecuación integro-diferencial general, lineal (solo con respecto al término que involucra derivada), de primer orden, tiene la forma

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}u(x)+\int _{x_{0}}^{x}f(t,u(t))\,dt=g(x,u(x)),\qquad u(x_{0})=u_{0},\qquad x_{0}\geq 0.}$

Como es habitual en las ecuaciones diferenciales , la obtención de una solución en forma cerrada puede resultar a menudo difícil. En los relativamente pocos casos en los que se puede encontrar una solución, suele ser mediante algún tipo de transformación integral, en la que el problema se transforma primero en una solución algebraica. En tales situaciones, la solución del problema se puede derivar aplicando la transformación inversa a la solución de esta ecuación algebraica.

Ejemplo

Consideremos el siguiente problema de segundo orden:

${\displaystyle u'(x)+2u(x)+5\int _{0}^{x}u(t)\,dt=\theta (x)\qquad {\text{with}}\qquad u(0)=0,}$

dónde

${\displaystyle \theta (x)=\left\{{\begin{array}{ll}1,\qquad x\geq 0\\0,\qquad x<0\end{array}}\right.}$

es la función escalonada de Heaviside . La transformada de Laplace se define por,

${\displaystyle U(s)={\mathcal {L}}\left\{u(x)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-sx}u(x)\,dx.}$

Al tomar las transformadas de Laplace término por término y utilizar las reglas para derivadas e integrales, la ecuación integro-diferencial se convierte en la siguiente ecuación algebraica,

${\displaystyle sU(s)-u(0)+2U(s)+{\frac {5}{s}}U(s)={\frac {1}{s}}.}$

De este modo,

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}}$.

Invirtiendo la transformada de Laplace utilizando métodos integrales de contorno se obtiene

${\displaystyle u(x)={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

Como alternativa, se puede completar el cuadrado y utilizar una tabla de transformadas de Laplace ("onda sinusoidal de decaimiento exponencial") o recordar de memoria para proceder:

${\displaystyle U(s)={\frac {1}{s^{2}+2s+5}}={\frac {1}{2}}{\frac {2}{(s+1)^{2}+4}}\Rightarrow u(x)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{U(s)\right\}={\frac {1}{2}}e^{-x}\sin(2x)\theta (x)}$.

Aplicaciones

Las ecuaciones integrodiferenciales modelan muchas situaciones de la ciencia y la ingeniería , como en el análisis de circuitos. Según la segunda ley de Kirchhoff , la caída de tensión neta a través de un bucle cerrado es igual a la tensión aplicada . (Esencialmente, es una aplicación de la conservación de la energía ). Por lo tanto, un circuito RLC obedece a donde es la corriente en función del tiempo, es la resistencia, la inductancia y la capacitancia. ^[1] ${\displaystyle E(t)}$ $${\displaystyle L{\frac {d}{dt}}I(t)+RI(t)+{\frac {1}{C}}\int _{0}^{t}I(\tau )d\tau =E(t),}$$ ${\displaystyle I(t)}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle C}$

La actividad de las neuronas inhibidoras y excitadoras en interacción se puede describir mediante un sistema de ecuaciones integro-diferenciales; véase por ejemplo el modelo de Wilson-Cowan .

La ecuación de Whitham se utiliza para modelar ondas dispersivas no lineales en dinámica de fluidos. ^[2]

Epidemiología

Las ecuaciones integro-diferenciales han encontrado aplicaciones en la epidemiología , el modelado matemático de epidemias , particularmente cuando los modelos contienen estructura de edad ^[3] o describen epidemias espaciales. ^[4] La teoría de Kermack-McKendrick de transmisión de enfermedades infecciosas es un ejemplo particular donde la estructura de edad de la población se incorpora al marco de modelado.

Véase también

• Ecuación diferencial de retardo
• Ecuación diferencial
• Ecuación integral
• Ecuación de integrodiferencia

Referencias

1. Zill, Dennis G. y Warren S. Wright. “Sección 7.4: Propiedades operacionales II”. Ecuaciones diferenciales con problemas de valores en la frontera , 8.ª ed., Brooks/Cole Cengage Learning, 2013, pág. 305. ISBN  978-1-111-82706-9 . El capítulo 7 trata de la transformada de Laplace.
2. Whitham, GB (1974). Ondas lineales y no lineales . Nueva York: Wiley. ISBN 0-471-94090-9.
3. Brauer, Fred; van den Driessche, Pauline ; Wu, Jianhong, eds. (2008). Epidemiología matemática . Apuntes de clase sobre matemáticas. Vol. 1945. págs. 205-227. doi :10.1007/978-3-540-78911-6. ISBN 978-3-540-78910-9. ISSN  0075-8434.
4. Medlock, Jan (16 de marzo de 2005). "Modelos de ecuaciones integrodiferenciales para enfermedades infecciosas" (PDF) . Universidad de Yale . Archivado desde el original (PDF) el 21 de marzo de 2020.

Lectura adicional

• Vangipuram Lakshmikantham, M. Rama Mohana Rao, “Teoría de ecuaciones integrodiferenciales”, CRC Press, 1995

Enlaces externos

• Matemáticas interactivas
• Solución numérica del ejemplo utilizando Chebfun