Transferencia radiativa

Transferencia de energía en forma de radiación electromagnética.

La transferencia radiativa (también llamada transporte de radiación ) es el fenómeno físico de transferencia de energía en forma de radiación electromagnética. La propagación de la radiación a través de un medio se ve afectada por procesos de absorción , emisión y dispersión . La ecuación de transferencia radiativa describe estas interacciones matemáticamente. Las ecuaciones de transferencia radiativa tienen aplicación en una amplia variedad de temas, entre los que se incluyen la óptica, la astrofísica, la ciencia atmosférica y la teledetección. Existen soluciones analíticas a la ecuación de transferencia radiativa (RTE) para casos simples, pero para medios más realistas, con efectos complejos de dispersión múltiple, se requieren métodos numéricos. El presente artículo se centra en gran medida en la condición de equilibrio radiativo . ^{[1] [2]}

Definiciones

La cantidad fundamental que describe un campo de radiación se llama radiancia espectral en términos radiométricos (en otros campos a menudo se llama intensidad específica ). Para un elemento de área muy pequeña en el campo de radiación, puede haber radiación electromagnética que pasa en ambos sentidos en cada dirección espacial a través de él. En términos radiométricos, el paso puede caracterizarse completamente por la cantidad de energía radiada en cada uno de los dos sentidos en cada dirección espacial, por unidad de tiempo, por unidad de área de superficie del paso de fuente, por unidad de ángulo sólido de recepción a una distancia, por unidad de intervalo de longitud de onda que se considera ( la polarización se ignorará por el momento).

En términos de radiancia espectral, , la energía que fluye a través de un elemento de área ubicado en en el tiempo en el ángulo sólido sobre la dirección en el intervalo de frecuencia a es ${\displaystyle I_{\nu }}$ ${\displaystyle da\,}$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle dt\,}$ ${\displaystyle d\Omega }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$ ${\displaystyle \nu \,}$ ${\displaystyle \nu +d\nu \,}$

${\displaystyle dE_{\nu }=I_{\nu }(\mathbf {r} ,{\hat {\mathbf {n} }},t)\cos \theta \ d\nu \,da\,d\Omega \,dt}$

donde es el ángulo que forma el vector de dirección unitario con una normal al elemento de área. Las unidades de la radiancia espectral son energía/tiempo/área/ángulo sólido/frecuencia. En unidades MKS esto sería W·m ⁻² ·sr ⁻¹ ·Hz ⁻¹ (vatios por metro cuadrado-estereorradián-hercio). ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

La ecuación de transferencia radiativa

La ecuación de transferencia radiativa simplemente dice que, a medida que un haz de radiación viaja, pierde energía por absorción, gana energía por procesos de emisión y redistribuye energía por dispersión. La forma diferencial de la ecuación de transferencia radiativa es:

${\displaystyle {\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}I_{\nu }+{\hat {\Omega }}\cdot \nabla I_{\nu }+(k_{\nu ,s}+k_{\nu ,a})\rho I_{\nu }=j_{\nu }\rho +{\frac {1}{4\pi }}k_{\nu ,s}\rho \int _{\Omega }I_{\nu }d\Omega }$

donde es la velocidad de la luz, es el coeficiente de emisión, es la opacidad de dispersión, es la opacidad de absorción, es la densidad de masa y el término representa la radiación dispersada desde otras direcciones sobre una superficie. ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle j_{\nu }}$ ${\displaystyle k_{\nu ,s}}$ ${\displaystyle k_{\nu ,a}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\frac {1}{4\pi }}k_{\nu ,s}\int _{\Omega }I_{\nu }d\Omega }$

Soluciones a la ecuación de transferencia radiativa

Las soluciones de la ecuación de transferencia radiativa constituyen una enorme cantidad de trabajos. Sin embargo, las diferencias se deben esencialmente a las diversas formas de los coeficientes de emisión y absorción. Si se ignora la dispersión, se puede escribir una solución general de estado estable en términos de los coeficientes de emisión y absorción:

${\displaystyle I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau _{\nu }(s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}j_{\nu }(s')e^{-\tau _{\nu }(s',s)}\,ds'}$

¿Dónde está la profundidad óptica del medio entre las posiciones y : ${\displaystyle \tau _{\nu }(s_{1},s_{2})}$ ${\displaystyle s_{1}}$ ${\displaystyle s_{2}}$

${\displaystyle \tau _{\nu }(s_{1},s_{2})\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{s_{1}}^{s_{2}}\alpha _{\nu }(s)\,ds}$

Equilibrio termodinámico local

Una simplificación particularmente útil de la ecuación de transferencia radiativa ocurre bajo las condiciones de equilibrio termodinámico local (LTE). Es importante notar que el equilibrio local puede aplicarse solo a un cierto subconjunto de partículas en el sistema. Por ejemplo, LTE se aplica generalmente solo a partículas masivas. En un gas radiante, los fotones que son emitidos y absorbidos por el gas no necesitan estar en equilibrio termodinámico entre sí o con las partículas masivas del gas para que exista LTE.

En esta situación, el medio absorbente/emisor está formado por partículas masivas que están en equilibrio local entre sí y, por lo tanto, tienen una temperatura definible ( Ley Cero de la Termodinámica ). Sin embargo, el campo de radiación no está en equilibrio y está totalmente determinado por la presencia de partículas masivas. Para un medio en LTE, el coeficiente de emisión y el coeficiente de absorción son funciones de la temperatura y la densidad únicamente, y están relacionados por:

${\displaystyle {\frac {j_{\nu }}{\alpha _{\nu }}}=B_{\nu }(T)}$

donde es la radiancia espectral del cuerpo negro a la temperatura T . La solución de la ecuación de transferencia radiativa es entonces: ${\displaystyle B_{\nu }(T)}$

${\displaystyle I_{\nu }(s)=I_{\nu }(s_{0})e^{-\tau _{\nu }(s_{0},s)}+\int _{s_{0}}^{s}B_{\nu }(T(s'))\alpha _{\nu }(s')e^{-\tau _{\nu }(s',s)}\,ds'}$

Conocer el perfil de temperatura y el perfil de densidad del medio es suficiente para calcular una solución a la ecuación de transferencia radiativa.

La aproximación de Eddington

La aproximación de Eddington es distinta de la aproximación de dos corrientes . La aproximación de dos corrientes supone que la intensidad es constante con el ángulo en el hemisferio ascendente, con un valor constante diferente en el hemisferio descendente. La aproximación de Eddington, en cambio, supone que la intensidad es una función lineal de , es decir ${\displaystyle \mu =\cos \theta }$

${\displaystyle I_{\nu }(\mu ,z)=a(z)+\mu b(z)}$

donde es la dirección normal al medio en forma de placa. Nótese que expresar las integrales angulares en términos de simplifica las cosas porque aparece en el jacobiano de las integrales en coordenadas esféricas . La aproximación de Eddington se puede utilizar para obtener la radiancia espectral en un medio "plano-paralelo" (uno en el que las propiedades solo varían en la dirección perpendicular) con dispersión isótropa independiente de la frecuencia. ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle d\mu =-\sin \theta d\theta }$

Extrayendo los primeros momentos de la radiancia espectral con respecto a los rendimientos ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle J_{\nu }={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}I_{\nu }d\mu =a}$

${\displaystyle H_{\nu }={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}\mu I_{\nu }d\mu ={\frac {b}{3}}}$

${\displaystyle K_{\nu }={\frac {1}{2}}\int _{-1}^{1}\mu ^{2}I_{\nu }d\mu ={\frac {a}{3}}}$

Por lo tanto, la aproximación de Eddington es equivalente a establecer . También existen versiones de orden superior de la aproximación de Eddington, que consisten en relaciones lineales más complicadas de los momentos de intensidad. Esta ecuación adicional se puede utilizar como una relación de cierre para el sistema truncado de momentos. ${\displaystyle K_{\nu }=1/3J_{\nu }}$

Tenga en cuenta que los dos primeros momentos tienen significados físicos simples. es la intensidad isótropa en un punto y es el flujo a través de ese punto en la dirección. ${\displaystyle J_{\nu }}$ ${\displaystyle H_{\nu }}$ ${\displaystyle z}$

La transferencia radiativa a través de un medio de dispersión isótropa con coeficiente de dispersión en equilibrio termodinámico local está dada por ${\displaystyle \sigma _{\nu }}$

${\displaystyle \mu {\frac {dI_{\nu }}{dz}}=-\alpha _{\nu }(I_{\nu }-B_{\nu })+\sigma _{\nu }(J_{\nu }-I_{\nu })}$

Integrando todos los ángulos obtenemos

${\displaystyle {\frac {dH_{\nu }}{dz}}=\alpha _{\nu }(B_{\nu }-J_{\nu })}$

Premultiplicando por , y luego integrando sobre todos los ángulos se obtiene ${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle {\frac {dK_{\nu }}{dz}}=-(\alpha _{\nu }+\sigma _{\nu })H_{\nu }}$

Sustituyendo en la relación de cierre y diferenciando con respecto a permite combinar las dos ecuaciones anteriores para formar la ecuación de difusión radiativa. ${\displaystyle z}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}J_{\nu }}{dz^{2}}}=3\alpha _{\nu }(\alpha _{\nu }+\sigma _{\nu })(J_{\nu }-B_{\nu })}$

Esta ecuación muestra cómo la profundidad óptica efectiva en sistemas dominados por la dispersión puede ser significativamente diferente de la dada por la opacidad de dispersión si la opacidad de absorción es pequeña.

Véase también

• Ley de Beer-Lambert
• Ley de Kirchhoff sobre la radiación térmica
• Lista de códigos de transferencia radiativa atmosférica
• Profundidad óptica
• Ley de Planck
• Ecuación de transferencia radiativa y teoría de difusión para el transporte de fotones en tejido biológico
• Ecuación de Schwarzschild para transferencia radiativa
• Transferencia radiativa vectorial

Referencias

1. S. Chandrasekhar (1960). Transferencia radiativa . Dover Publications Inc. pág. 393. ISBN 978-0-486-60590-6.
2. Jacqueline Lenoble (1985). Transferencia radiativa en atmósferas dispersantes y absorbentes: procedimientos computacionales estándar . A. Deepak Publishing. p. 583. ISBN 978-0-12-451451-5.

Lectura adicional

• Ivan Hubeny; Dimitri Mihalas (2015). Teoría de las atmósferas estelares, una introducción al análisis espectroscópico cuantitativo del no equilibrio astrofísico . Princeton University Press . pág. 944. ISBN 9780691163291.
• Subrahmanyan Chandrasekhar (1960). Transferencia radiativa . Dover Publications Inc. pág. 393. ISBN 978-0-486-60590-6.
• Jacqueline Lenoble (1985). Transferencia radiativa en atmósferas dispersantes y absorbentes: procedimientos computacionales estándar . A. Deepak Publishing. p. 583. ISBN 978-0-12-451451-5.
• Grant Petty (2006). Un primer curso sobre radiación atmosférica (2.ª edición). Sundog Publishing (Madison, Wisconsin). ISBN 978-0-9729033-1-8.
• Dimitri Mihalas y Barbara Weibel-Mihalas (1984). Fundamentos de la hidrodinámica de la radiación . Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-40925-2.
• George B. Rybicki; Alan P. Lightman (1985). Procesos radiativos en astrofísica . Wiley-Interscience. ISBN 978-0-471-82759-7.
• GE Thomas y K. Stamnes (1999). Transferencia radiativa en la atmósfera y el océano . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-40124-1.
• C. Bohren (2006). Fundamentos de la radiación atmosférica: una introducción con 400 problemas . John Wiley & Sons . ISBN 978-3-527-40503-9.
• RT Pierrehumbert (2010). Principios del clima planetario . Cambridge University Press . ISBN 9780521865562.