Ecuación integral de Volterra

Una ecuación de operador al estilo de la teoría de Fredholm

En matemáticas , las ecuaciones integrales de Volterra son un tipo especial de ecuaciones integrales . ^[1] Se dividen en dos grupos denominados primer y segundo tipo.

Una ecuación de Volterra lineal del primer tipo es

${\displaystyle f(t)=\int _{a}^{t}K(t,s)\,x(s)\,ds}$

donde f es una función dada y x es una función desconocida que debe resolverse. Una ecuación de Volterra lineal de segundo tipo es

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{a}^{t}K(t,s)x(s)\,ds.}$

En la teoría de operadores y en la teoría de Fredholm , los operadores correspondientes se denominan operadores de Volterra . Un método útil para resolver este tipo de ecuaciones, el método de descomposición de Adomian , se debe a George Adomian .

Una ecuación integral lineal de Volterra es una ecuación de convolución si

${\displaystyle x(t)=f(t)+\int _{t_{0}}^{t}K(t-s)x(s)\,ds.}$

La función en la integral se denomina núcleo . Estas ecuaciones pueden analizarse y resolverse mediante técnicas de transformada de Laplace . ${\displaystyle K}$

Para un núcleo débilmente singular de la forma con , la ecuación integral de Volterra del primer tipo puede transformarse convenientemente en una ecuación integral de Abel clásica. ${\displaystyle K(t,s)=(t^{2}-s^{2})^{-\alpha }}$ ${\displaystyle 0<\alpha <1}$

Las ecuaciones integrales de Volterra fueron introducidas por Vito Volterra y luego estudiadas por Traian Lalescu en su tesis de 1908, Sur les équations de Volterra , escrita bajo la dirección de Émile Picard . En 1911, Lalescu escribió el primer libro sobre ecuaciones integrales.

Las ecuaciones integrales de Volterra encuentran aplicación en demografía como la ecuación integral de Lotka , ^[2] el estudio de materiales viscoelásticos , en la ciencia actuarial a través de la ecuación de renovación , ^[3] y en mecánica de fluidos para describir el comportamiento del flujo cerca de límites de tamaño finito. ^{[4] [5]}

Conversión de la ecuación de Volterra de primer tipo a la de segundo tipo

Una ecuación de Volterra lineal de primer tipo siempre se puede reducir a una ecuación de Volterra lineal de segundo tipo, suponiendo que . Tomando la derivada de la ecuación de Volterra de primer tipo obtenemos: Dividiendo por obtenemos: Definiendo y completando la transformación de la ecuación de primer tipo en una ecuación de Volterra lineal de segundo tipo. ${\displaystyle K(t,t)\neq 0}$ $${\displaystyle {df \over {dt}}=\int _{a}^{t}{\partial K \over {\partial t}}x(s)ds+K(t,t)x(t)}$$ ${\displaystyle K(t,t)}$ $${\displaystyle x(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}-\int _{a}^{t}{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}x(s)ds}$$ ${\textstyle {\widetilde {f}}(t)={1 \over {K(t,t)}}{df \over {dt}}}$ ${\textstyle {\widetilde {K}}(t,s)=-{1 \over {K(t,t)}}{\partial K \over {\partial t}}}$

Solución numérica utilizando la regla del trapezoide

Un método estándar para calcular la solución numérica de una ecuación lineal de Volterra de segundo tipo es la regla trapezoidal , que para subintervalos igualmente espaciados viene dada por: Suponiendo un espaciamiento igual para los subintervalos, el componente integral de la ecuación de Volterra se puede aproximar por: Definiendo , , y , tenemos el sistema de ecuaciones lineales: Esto es equivalente a la ecuación matricial : Para núcleos que se comportan bien, la regla trapezoidal tiende a funcionar bien. ${\displaystyle \Delta x}$ $${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx\approx {\Delta x \over {2}}\left[f(x_{0})+2\sum _{i=1}^{n-1}f(x_{i})+f(x_{n})\right]}$$ $${\displaystyle \int _{a}^{t}K(t,s)x(s)ds\approx {\Delta s \over {2}}\left[K(t,s_{0})x(s_{0})+2K(t,s_{1})x(s_{1})+\cdots +2K(t,s_{n-1})x(s_{n-1})+K(t,s_{n})x(s_{n})\right]}$$ ${\displaystyle x_{i}=x(s_{i})}$ ${\displaystyle f_{i}=f(t_{i})}$ ${\displaystyle K_{ij}=K(t_{i},s_{j})}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{0}&=f_{0}\\x_{1}&=f_{1}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{10}x_{0}+K_{11}x_{1}\right)\\x_{2}&=f_{2}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{20}x_{0}+2K_{21}x_{1}+K_{22}x_{2}\right)\\&\vdots \\x_{n}&=f_{n}+{\Delta s \over {2}}\left(K_{n0}x_{0}+2K_{n1}x_{1}+\cdots +2K_{n,n-1}x_{n-1}+K_{nn}x_{n}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle x=f+Mx\implies x=(I-M)^{-1}f}$$

Aplicación: Teoría de la ruina

Un área donde aparecen las ecuaciones integrales de Volterra es en la teoría de la ruina , el estudio del riesgo de insolvencia en la ciencia actuarial. El objetivo es cuantificar la probabilidad de ruina , donde es el superávit inicial y es el tiempo de ruina. En el modelo clásico de la teoría de la ruina, la posición neta de efectivo es una función del superávit inicial, los ingresos por primas ganados a una tasa y los siniestros salientes : donde es un proceso de Poisson para el número de siniestros con intensidad . En estas circunstancias, la probabilidad de ruina puede representarse mediante una ecuación integral de Volterra de la forma ^[6] : donde es la función de supervivencia de la distribución de siniestros. ${\displaystyle \psi (u)=\mathbb {P} [\tau (u)<\infty ]}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle \tau (u)}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle \xi }$ $${\displaystyle X_{t}=u+ct-\sum _{i=1}^{N_{t}}\xi _{i},\quad t\geq 0}$$ ${\displaystyle N_{t}}$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \psi (u)={\lambda \over {c}}\int _{u}^{\infty }S(x)dx+{\lambda \over {c}}\int _{0}^{u}\psi (u-x)S(x)dx}$$ ${\displaystyle S(\cdot )}$

Véase también

• Ecuación integral de Fredholm
• Ecuación integral
• Ecuación integro-diferencial

Referencias

1. Polyanin, Andrei D.; Manzhirov, Alexander V. (2008). Manual de ecuaciones integrales (2.ª edición). Boca Raton, FL: Chapman and Hall/CRC. ISBN 978-1584885078.
2. Inaba, Hisashi (2017). "El modelo de población estable". Dinámica de población estructurada por edad en demografía y epidemiología . Singapur: Springer. págs. 1–74. doi :10.1007/978-981-10-0188-8_1. ISBN 978-981-10-0187-1.
3. Brunner, Hermann (2017). Ecuaciones integrales de Volterra: Introducción a la teoría y las aplicaciones . Cambridge Monographs on Applied and Computational Mathematics. Cambridge, Reino Unido: Cambridge University Press. ISBN 978-1107098725.
4. Daddi-Moussa-Ider, A.; Vilfan, A.; Golestanian, R. (6 de abril de 2022). "Propulsión difusioforética de una partícula coloidal activa isotrópica cerca de un disco de tamaño finito incrustado en una interfaz fluido-fluido plana". Revista de mecánica de fluidos . 940 : A12. arXiv : 2109.14437 . doi :10.1017/jfm.2022.232.
5. Daddi-Moussa-Ider, A.; Lisicki, M.; Löwen, H .; Menzel, AM (5 de febrero de 2020). "Dinámica de un compuesto de micronadador-microplaqueta". Física de fluidos . 32 (2): 021902. arXiv : 2001.06646 . doi :10.1063/1.5142054.
6. "Lecture Notes on Risk Theory" (PDF) . Facultad de Matemáticas, Estadística y Ciencias Actuariales . Universidad de Kent. 20 de febrero de 2010. pp. 17–22.

Lectura adicional

• Traian Lalescu, Introducción a la teoría de las ecuaciones integrales. Avec une préface de É. Picard , París : A. Hermann et Fils , 1912. VII + 152 págs.
• "Ecuación de Volterra", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Ecuación integral de Volterra de primer tipo". MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Ecuación integral de Volterra de segundo tipo". MathWorld .
• Ecuaciones integrales: soluciones exactas en EqWorld: El mundo de las ecuaciones matemáticas
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Sección 19.2. Ecuaciones de Volterra". Recetas numéricas: el arte de la computación científica (3.ª ed.). Nueva York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

Enlaces externos

• IntEQ: un paquete de Python para resolver numéricamente ecuaciones integrales de Volterra