Formalismo de Batalin-Vilkovisky

Generalización del formalismo BRST

En física teórica , el formalismo de Batalin-Vilkovisky ( BV ) (llamado así por Igor Batalin y Grigori Vilkovisky ) se desarrolló como un método para determinar la estructura fantasma para las teorías de calibre lagrangianas , como la gravedad y la supergravedad , cuya formulación hamiltoniana correspondiente tiene restricciones no relacionadas con un álgebra de Lie (es decir, el papel de las constantes de estructura del álgebra de Lie lo desempeñan funciones de estructura más generales). El formalismo BV, basado en una acción que contiene tanto campos como "anticampos", puede considerarse como una vasta generalización del formalismo BRST original para la teoría pura de Yang-Mills a una teoría de calibre lagrangiana arbitraria. Otros nombres para el formalismo de Batalin-Vilkovisky son formalismo de campo-anticampo , formalismo BRST lagrangiano o formalismo BV-BRST . No debe confundirse con el formalismo Batalin-Fradkin-Vilkovisky (BFV), que es la contraparte hamiltoniana.

Álgebras de Batalin-Vilkovisky

En matemáticas, un álgebra de Batalin-Vilkovisky es un álgebra superconmutativa graduada (con una unidad 1) con un operador nilpotente de segundo orden Δ de grado −1. Más precisamente, satisface las identidades

• ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$ (El producto es asociativo)
• ${\displaystyle ab=(-1)^{|a||b|}ba}$ (El producto es (super)conmutativo)
• ${\displaystyle |ab|=|a|+|b|}$ (El producto tiene grado 0)
• ${\displaystyle |\Delta (a)|=|a|-1}$ (Δ tiene grado −1)
• ${\displaystyle \Delta ^{2}=0}$(Nilpotencia (de orden 2))
• El operador Δ es de segundo orden:

${\displaystyle {\begin{aligned}0=&\Delta (abc)\\&-\Delta (ab)c-(-1)^{|a|}a\Delta (bc)-(-1)^{(|a|+1)|b|}b\Delta (ac)\\&+\Delta (a)bc+(-1)^{|a|}a\Delta (b)c+(-1)^{|a|+|b|}ab\Delta (c)\\&-\Delta (1)abc\end{aligned}}}$

A menudo también se requiere normalización:

• ${\displaystyle \Delta (1)=0}$(normalización)

Anti-bracket

Un álgebra de Batalin-Vilkovisky se convierte en un álgebra de Gerstenhaber si se define el corchete de Gerstenhaber por

${\displaystyle (a,b):=(-1)^{\left|a\right|}\Delta (ab)-(-1)^{\left|a\right|}\Delta (a)b-a\Delta (b)+a\Delta (1)b.}$

Otros nombres para el corchete de Gerstenhaber son corchete de Buttin , anticorchete o corchete de Poisson impar . El anticorchete satisface

• ${\displaystyle |(a,b)|=|a|+|b|-1}$(El anticorchete (,) tiene grado −1)
• ${\displaystyle (a,b)=-(-1)^{(|a|+1)(|b|+1)}(b,a)}$ (Simetría oblicua)
• ${\displaystyle (-1)^{(|a|+1)(|c|+1)}(a,(b,c))+(-1)^{(|b|+1)(|a|+1)}(b,(c,a))+(-1)^{(|c|+1)(|b|+1)}(c,(a,b))=0}$(La identidad de Jacobi)
• ${\displaystyle (ab,c)=a(b,c)+(-1)^{|a||b|}b(a,c)}$ (La propiedad de Poisson; la regla de Leibniz )

Laplaciano impar

El operador normalizado se define como

${\displaystyle {\Delta }_{\rho }:=\Delta -\Delta (1).}$

A menudo se le denomina laplaciano impar , en particular en el contexto de la geometría de Poisson impar. "Diferencia" el anticorchete

• ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }(a,b)=({\Delta }_{\rho }(a),b)-(-1)^{\left|a\right|}(a,{\Delta }_{\rho }(b))}$ (El operador diferencia (,)) ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$

El cuadrado del operador normalizado es un campo vectorial hamiltoniano con hamiltoniano impar Δ(1) ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}=(\Delta (1),\cdot )}$ ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$

• ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}(ab)={\Delta }_{\rho }^{2}(a)b+a{\Delta }_{\rho }^{2}(b)}$ (La regla de Leibniz)

que también se conoce como campo vectorial modular . Suponiendo que la normalización Δ(1)=0, el laplaciano impar es simplemente el operador Δ y el campo vectorial modular se desvanece. ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$ ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}}$

Formulación compacta en términos de conmutadores anidados

Si se introduce el operador de multiplicación por la izquierda como ${\displaystyle L_{a}}$

${\displaystyle L_{a}(b):=ab,}$

y el superconmutador [,] como

${\displaystyle [S,T]:=ST-(-1)^{\left|S\right|\left|T\right|}TS}$

para dos operadores arbitrarios S y T , entonces la definición del anticorchete puede escribirse de manera compacta como

${\displaystyle (a,b):=(-1)^{\left|a\right|}[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]1,}$

y la condición de segundo orden para Δ puede escribirse de forma compacta como

${\displaystyle [[[\Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1=0}$ (El operador Δ es de segundo orden)

donde se entiende que el operador pertinente actúa sobre el elemento unidad 1. En otras palabras, es un operador de primer orden (afín), y es un operador de orden cero. ${\displaystyle [\Delta ,L_{a}]}$ ${\displaystyle [[\Delta ,L_{a}],L_{b}]}$

Ecuación maestra

La ecuación maestra clásica para un elemento de grado par S (llamado acción ) de un álgebra de Batalin-Vilkovisky es la ecuación

${\displaystyle (S,S)=0.}$

La ecuación maestra cuántica para un elemento de grado par W de un álgebra de Batalin-Vilkovisky es la ecuación

${\displaystyle \Delta \exp \left[{\frac {i}{\hbar }}W\right]=0,}$

o equivalentemente,

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(W,W)=i\hbar {\Delta }_{\rho }(W)+\hbar ^{2}\Delta (1).}$

Suponiendo la normalización Δ(1) = 0, la ecuación maestra cuántica se lee

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(W,W)=i\hbar \Delta (W).}$

Álgebras BV generalizadas

En la definición de un álgebra BV generalizada , se descarta el supuesto de segundo orden para Δ. Se puede entonces definir una jerarquía infinita de niveles superiores de grado −1

${\displaystyle \Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n}):=\underbrace {[[\ldots [\Delta ,L_{a_{1}}],\ldots ],L_{a_{n}}]} _{n~{\rm {nested~commutators}}}1.}$

Los soportes son (graduados) simétricos

${\displaystyle \Phi ^{n}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (n)})=(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n}(a_{1},\ldots ,a_{n})}$ (Corchetes simétricos)

donde es una permutación, y es el signo Koszul de la permutación ${\displaystyle \pi \in S_{n}}$ ${\displaystyle (-1)^{\left|a_{\pi }\right|}}$

${\displaystyle a_{\pi (1)}\ldots a_{\pi (n)}=(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}a_{1}\ldots a_{n}}$.

Los corchetes constituyen un álgebra de Lie de homotopía , también conocida como álgebra, que satisface identidades de Jacobi generalizadas. ${\displaystyle L_{\infty }}$

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{k!(n\!-\!k)!}}\sum _{\pi \in S_{n}}(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{n-k+1}\left(\Phi ^{k}(a_{\pi (1)},\ldots ,a_{\pi (k)}),a_{\pi (k+1)},\ldots ,a_{\pi (n)}\right)=0.}$ (Identidades generalizadas de Jacobi)

Los primeros paréntesis son:

• ${\displaystyle \Phi ^{0}:=\Delta (1)}$ (El corchete cero)
• ${\displaystyle \Phi ^{1}(a):=[\Delta ,L_{a}]1=\Delta (a)-\Delta (1)a=:{\Delta }_{\rho }(a)}$ (El de un solo soporte)
• ${\displaystyle \Phi ^{2}(a,b):=[[\Delta ,L_{a}],L_{b}]1=:(-1)^{\left|a\right|}(a,b)}$ (Los dos soportes)
• ${\displaystyle \Phi ^{3}(a,b,c):=[[[\Delta ,L_{a}],L_{b}],L_{c}]1}$ (Los tres corchetes)
• ${\displaystyle \vdots }$

En particular, el paréntesis único es el laplaciano impar y el paréntesis doble es el antiparéntesis hasta un signo. Las primeras identidades de Jacobi generalizadas son: ${\displaystyle \Phi ^{1}={\Delta }_{\rho }}$ ${\displaystyle \Phi ^{2}}$

• ${\displaystyle \Phi ^{1}(\Phi ^{0})=0}$ ( está -cerrado) ${\displaystyle \Delta (1)}$ ${\displaystyle \Delta _{\rho }}$
• ${\displaystyle \Phi ^{2}(\Phi ^{0},a)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{1}(a)\right)}$ ( es el hamiltoniano para el campo vectorial modular ) ${\displaystyle \Delta (1)}$ ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}}$
• ${\displaystyle \Phi ^{3}(\Phi ^{0},a,b)+\Phi ^{2}\left(\Phi ^{1}(a),b\right)+(-1)^{|a|}\Phi ^{2}\left(a,\Phi ^{1}(b)\right)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{2}(a,b)\right)=0}$ (El operador diferencia (,) generalizado) ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$
• ${\displaystyle \Phi ^{4}(\Phi ^{0},a,b,c)+{\rm {Jac}}(a,b,c)+\Phi ^{1}\left(\Phi ^{3}(a,b,c)\right)+\Phi ^{3}\left(\Phi ^{1}(a),b,c\right)+(-1)^{\left|a\right|}\Phi ^{3}\left(a,\Phi ^{1}(b),c\right)+(-1)^{\left|a\right|+\left|b\right|}\Phi ^{3}\left(a,b,\Phi ^{1}(c)\right)=0}$ (La identidad generalizada de Jacobi)
• ${\displaystyle \vdots }$

donde el jacobiador para los dos soportes se define como ${\displaystyle \Phi ^{2}}$

${\displaystyle {\rm {Jac}}(a_{1},a_{2},a_{3}):={\frac {1}{2}}\sum _{\pi \in S_{3}}(-1)^{\left|a_{\pi }\right|}\Phi ^{2}\left(\Phi ^{2}(a_{\pi (1)},a_{\pi (2)}),a_{\pi (3)}\right).}$

VBnorte-álgebras

El operador Δ es por definición de orden n si y solo si el corchete ( n  + 1) se anula. En ese caso, se habla de una n-álgebra BV . Por lo tanto, una 2-álgebra BV es por definición simplemente un álgebra BV. El jacobiador se anula dentro de un álgebra BV, lo que significa que el anticorchete aquí satisface la identidad de Jacobi. Una 1-álgebra BV que satisface la normalización Δ(1) = 0 es lo mismo que un álgebra graduada diferencial (DGA) con Δ diferencial. Una 1-álgebra BV tiene anticorchete que se anula. ${\displaystyle \Phi ^{n+1}}$ ${\displaystyle {\rm {Jac}}(a,b,c)=0}$

Variedad de Poisson impar con densidad de volumen

Sea dada una supervariedad (n|n) con un bivector de Poisson impar y una densidad de volumen de Berezin , también conocidas como P-estructura y S-estructura , respectivamente. Sean las coordenadas locales . Sean las derivadas y ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle \partial _{i}f}$

${\displaystyle f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}:=(-1)^{\left|x^{i}\right|(|f|+1)}\partial _{i}f}$

denotan la derivada izquierda y derecha de una función f con respecto a , respectivamente. El bivector de Poisson impar satisface con mayor precisión ${\displaystyle x^{i}}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}}$

• ${\displaystyle \left|\pi ^{ij}\right|=\left|x^{i}\right|+\left|x^{j}\right|-1}$ (La estructura de Poisson impar tiene grado -1)
• ${\displaystyle \pi ^{ji}=-(-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{j}\right|+1)}\pi ^{ij}}$ (Simetría oblicua)
• ${\displaystyle (-1)^{(\left|x^{i}\right|+1)(\left|x^{k}\right|+1)}\pi ^{i\ell }\partial _{\ell }\pi ^{jk}+{\rm {cyclic}}(i,j,k)=0}$ (La identidad de Jacobi)

Bajo cambio de coordenadas el bivector de Poisson impar y la densidad de volumen de Berezin se transforman como ${\displaystyle x^{i}\to x^{\prime i}}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle \rho }$

• ${\displaystyle \pi ^{\prime k\ell }=x^{\prime k}{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}\pi ^{ij}\partial _{j}x^{\prime \ell }}$
• ${\displaystyle \rho ^{\prime }=\rho /{\rm {sdet}}(\partial _{i}x^{\prime j})}$

donde sdet denota el superdeterminante , también conocido como bereziniano. Entonces, el corchete de Poisson impar se define como

${\displaystyle (f,g):=f{\stackrel {\leftarrow }{\partial }}_{i}\pi ^{ij}\partial _{j}g.}$

Un campo vectorial hamiltoniano con f hamiltoniano se puede definir como ${\displaystyle X_{f}}$

${\displaystyle X_{f}[g]:=(f,g).}$

La (super) divergencia de un campo vectorial se define como ${\displaystyle X=X^{i}\partial _{i}}$

${\displaystyle {\rm {div}}_{\rho }X:={\frac {(-1)^{\left|x^{i}\right|(|X|+1)}}{\rho }}\partial _{i}(\rho X^{i})}$

Recordemos que los campos vectoriales hamiltonianos no divergen en la geometría de Poisson par debido al teorema de Liouville. En la geometría de Poisson impar, la afirmación correspondiente no se cumple. El laplaciano impar mide el fracaso del teorema de Liouville. Hasta un factor de signo, se define como la mitad de la divergencia del campo vectorial hamiltoniano correspondiente. ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$

${\displaystyle {\Delta }_{\rho }(f):={\frac {(-1)^{\left|f\right|}}{2}}{\rm {div}}_{\rho }X_{f}={\frac {(-1)^{\left|x^{i}\right|}}{2\rho }}\partial _{i}\rho \pi ^{ij}\partial _{j}f.}$

Se dice que la estructura de Poisson impar y la densidad de volumen de Berezin son compatibles si el campo vectorial modular se anula. En ese caso, el laplaciano impar es un operador BV Δ con normalización Δ(1)=0. El álgebra BV correspondiente es el álgebra de funciones. ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }^{2}}$ ${\displaystyle {\Delta }_{\rho }}$

Variedad simpléctica impar

Si el bivector de Poisson impar es invertible, se tiene una variedad simpléctica impar. En ese caso, existe un teorema de Darboux impar . Es decir, existen coordenadas de Darboux locales , es decir, coordenadas y momentos de grado ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle q^{1},\ldots ,q^{n}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$

${\displaystyle \left|q^{i}\right|+\left|p_{i}\right|=1,}$

de modo que el corchete de Poisson impar está en la forma de Darboux

${\displaystyle (q^{i},p_{j})=\delta _{j}^{i}.}$

En física teórica , las coordenadas y los momentos se denominan campos y anticampos , y normalmente se denotan como y , respectivamente. ${\displaystyle q^{i}}$ ${\displaystyle p_{j}}$ ${\displaystyle \phi ^{i}}$ ${\displaystyle \phi _{j}^{*}}$

${\displaystyle \Delta _{\pi }:=(-1)^{\left|q^{i}\right|}{\frac {\partial }{\partial q^{i}}}{\frac {\partial }{\partial p_{i}}}}$

actúa sobre el espacio vectorial de semidensidades, y es un operador globalmente bien definido en el atlas de vecindades de Darboux. El operador de Khudaverdian depende únicamente de la P-estructura. Es manifiestamente nilpotente y de grado −1. Sin embargo, técnicamente no es un operador BV Δ ya que el espacio vectorial de semidensidades no tiene multiplicación. (El producto de dos semidensidades es una densidad en lugar de una semidensidad). Dada una densidad fija , se puede construir un operador BV Δ nilpotente como ${\displaystyle \Delta _{\pi }}$ ${\displaystyle \Delta _{\pi }^{2}=0}$ ${\displaystyle \rho }$

${\displaystyle \Delta (f):={\frac {1}{\sqrt {\rho }}}\Delta _{\pi }({\sqrt {\rho }}f),}$

cuya álgebra BV correspondiente es el álgebra de funciones o, equivalentemente, escalares . La estructura simpléctica impar y la densidad son compatibles si y solo si Δ(1) es una constante impar. ${\displaystyle \pi ^{ij}}$ ${\displaystyle \rho }$

Ejemplos

• El corchete de Schouten-Nijenhuis para campos multivectoriales es un ejemplo de un anticorchete.
• Si L es una superálgebra de Lie , y Π es el operador que intercambia las partes pares e impares de un superespacio, entonces el álgebra simétrica de Π( L ) (el " álgebra exterior " de L ) es un álgebra de Batalin-Vilkovisky con Δ dado por el diferencial usual usado para calcular la cohomología del álgebra de Lie .

Véase también

• Cuantización BRST
• Álgebra de Gerstenhaber
• Supermanifold
• Análisis de flujos
• Variedad de Poisson

Referencias

Pedagógico

• Costello, K. (2011). "Renormalización y teoría de campos efectivos". ISBN  978-0-8218-5288-0 (Explica la teoría cuántica de campos perturbativa y los aspectos rigurosos, como la cuantización de la teoría de Chern-Simons y la teoría de Yang-Mills utilizando el formalismo BV)

Referencias

• Batalin, IA y Vilkovisky, GA (1981). "Álgebra de calibre y cuantificación". Phys. Lett. B . 102 (1): 27–31. Código Bibliográfico :1981PhLB..102...27B. doi :10.1016/0370-2693(81)90205-7.
• Batalin, IA; Vilkovisky, GA (1983). "Cuantización de teorías de calibración con generadores linealmente dependientes". Physical Review D . 28 (10): 2567–2582. Bibcode :1983PhRvD..28.2567B. doi :10.1103/PhysRevD.28.2567.Fe de erratas-ibid. 30 (1984) 508 doi :10.1103/PhysRevD.30.508.
• Getzler, E. (1994). "Álgebras de Batalin-Vilkovisky y teorías de campos topológicos bidimensionales". Communications in Mathematical Physics . 159 (2): 265–285. arXiv : hep-th/9212043 . Código Bibliográfico :1994CMaPh.159..265G. doi :10.1007/BF02102639. S2CID  14823949.
• Brandt, Friedemann; Barnich, Glenn; Henneaux, Marc (2000), "Cohomología BRST local en teorías de calibración", Physics Reports , 338 (5): 439–569, arXiv : hep-th/0002245 , Bibcode :2000PhR...338..439B, doi :10.1016/S0370-1573(00)00049-1, ISSN  0370-1573, MR  1792979, S2CID  119420167
• Weinberg, Steven (2005). La teoría cuántica de campos, vol. II . Nueva York: Cambridge Univ. Press. ISBN 0-521-67054-3.