Bereziniano

En matemáticas y física teórica , el bereziniano o superdeterminante es una generalización del determinante al caso de las supermatrices . El nombre se debe a Felix Berezin . El bereziniano desempeña un papel análogo al determinante cuando se consideran cambios de coordenadas para la integración en una supervariedad .

Definición

El Bereziniano está determinado únicamente por dos propiedades definitorias:

• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (XY)=\operatorname {Ber} (X)\operatorname {Ber} (Y)}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (e^{X})=e^{\operatorname {str(X)} }\,}$

donde str( X ) denota la supertraza de X . A diferencia del determinante clásico, el bereziniano se define solo para supermatrices invertibles.

El caso más simple a considerar es el bereziniano de una supermatriz con entradas en un cuerpo K . Tales supermatrices representan transformaciones lineales de un superespacio vectorial sobre K . Una supermatriz par particular es una matriz de bloques de la forma

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&0\\0&D\end{bmatrix}}}$

Una matriz de este tipo es invertible si y sólo si tanto A como D son matrices invertibles sobre K. El bereziniano de X está dado por

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D)^{-1}}$

Para una motivación del exponente negativo consulte la fórmula de sustitución en el caso impar.

De manera más general, consideremos matrices con entradas en un álgebra superconmutativa R . Una supermatriz par tiene entonces la forma

${\displaystyle X={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}}$

donde A y D tienen entradas pares y B y C tienen entradas impares. Una matriz de este tipo es invertible si y solo si tanto A como D son invertibles en el anillo conmutativo R ₀ (la subálgebra par de R ). En este caso, el bereziniano viene dado por

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\det(A-BD^{-1}C)\det(D)^{-1}}$

o, equivalentemente, por

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)^{-1}.}$

Estas fórmulas están bien definidas ya que solo tomamos determinantes de matrices cuyas entradas están en el anillo conmutativo R ₀ . La matriz

${\displaystyle D-CA^{-1}B\,}$

se conoce como el complemento de Schur de A relativo a ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}.}$

Una matriz impar X solo puede ser invertible si el número de dimensiones pares es igual al número de dimensiones impares. En este caso, la invertibilidad de X es equivalente a la invertibilidad de JX , donde

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}0&I\\-I&0\end{bmatrix}}.}$

Entonces el bereziniano de X se define como

${\displaystyle \operatorname {Ber} (X)=\operatorname {Ber} (JX)=\det(C-DB^{-1}A)\det(-B)^{-1}.}$

Propiedades

• El bereziniano de es siempre una unidad en el anillo R ₀ . ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X^{-1})=\operatorname {Ber} (X)^{-1}}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X^{st})=\operatorname {Ber} (X)}$donde denota la supertranspuesta de . ${\displaystyle X^{st}}$ ${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {Ber} (X\oplus Y)=\operatorname {Ber} (X)\mathrm {Ber} (Y)}$

Módulo bereziniano

El determinante de un endomorfismo de un módulo libre M se puede definir como la acción inducida sobre la potencia exterior más alta unidimensional de M. En el caso supersimétrico no hay potencia exterior más alta, pero aún así hay una definición similar del bereziniano como sigue.

Supóngase que M es un módulo libre de dimensión ( p , q ) sobre R . Sea A el álgebra (super)simétrica S *( M *) del dual M * de M . Entonces un automorfismo de M actúa sobre el módulo ext

${\displaystyle Ext_{A}^{p}(R,A)}$

(que tiene dimensión (1,0) si q es par y dimensión (0,1) si q es impar)) como multiplicación por el bereziniano.

Véase también

• Integración de Berezin

Referencias

• Berezin, Feliks Aleksandrovich (1966) [1965], El método de segunda cuantificación, Física pura y aplicada, vol. 24, Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-089450-5, Sr.  0208930
• Deligne, Pierre ; Morgan, John W. (1999), "Notas sobre supersimetría (siguiendo a Joseph Bernstein)", en Deligne, Pierre ; Etingof, Pavel; Freed, Daniel S.; Jeffrey, Lisa C.; Kazhdan, David; Morgan, John W.; Morrison, David R.; Witten., Edward (eds.), Campos y cuerdas cuánticas: un curso para matemáticos, vol. 1 , Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 41–97, ISBN 978-0-8218-1198-6, Sr.  1701597
• Manin, Yuri Ivanovich (1997), Teoría de campos de calibración y geometría compleja (2.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-61378-7