En geometría euclidiana , un cuadrilátero bicéntrico es un cuadrilátero convexo que tiene tanto un círculo interior como un círculo circunstante . Los radios y centros de estos círculos se denominan inradio y circunradio , e incentro y circuncentro respectivamente. De la definición se deduce que los cuadriláteros bicéntricos tienen todas las propiedades tanto de los cuadriláteros tangenciales como de los cuadriláteros cíclicos . Otros nombres para estos cuadriláteros son cuadrilátero cuerda-tangente [1] y cuadrilátero inscrito y circunscrito . También rara vez se le ha llamado cuadrilátero de doble círculo [2] y cuadrilátero de doble trazo . [3]
Si dos círculos, uno dentro del otro, son el círculo circunstante y el círculo circunstante de un cuadrilátero bicéntrico, entonces cada punto del círculo circunstante es el vértice de un cuadrilátero bicéntrico que tiene el mismo círculo circunstante y circuncírculo. [4] Este es un caso especial del porismo de Poncelet , que fue demostrado por el matemático francés Jean-Victor Poncelet (1788-1867).
Ejemplos de cuadriláteros bicéntricos son los cuadrados , las cometas rectas y los trapecios tangenciales isósceles .
Un cuadrilátero convexo ABCD con lados a, b, c, d es bicéntrico si y sólo si los lados opuestos satisfacen el teorema de Pitot para cuadriláteros tangenciales y la propiedad del cuadrilátero cíclico de que los ángulos opuestos son suplementarios ; eso es,
Otras tres caracterizaciones se refieren a los puntos donde la circunferencia de un cuadrilátero tangencial es tangente a los lados. Si la circunferencia es tangente a los lados AB, BC, CD, DA en W, X, Y, Z respectivamente, entonces un cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y sólo si se cumple cualquiera de las tres condiciones siguientes: [5]
El primero de estos tres significa que el cuadrilátero de contacto WXYZ es un cuadrilátero ortodiagonal .
Si E, F, G, H son los puntos medios de WX, XY, YZ, ZW respectivamente, entonces el cuadrilátero tangencial ABCD también es cíclico si y sólo si el cuadrilátero EFGH es un rectángulo . [5]
Según otra caracterización, si I es el incentro en un cuadrilátero tangencial donde las extensiones de lados opuestos se cruzan en J y K , entonces el cuadrilátero también es cíclico si y sólo si ∠ JIK es un ángulo recto . [5]
Otra condición necesaria y suficiente es que un cuadrilátero tangencial ABCD sea cíclico si y sólo si su línea de Newton es perpendicular a la línea de Newton de su cuadrilátero de contacto WXYZ . (La línea de Newton de un cuadrilátero es la línea definida por los puntos medios de sus diagonales). [5]
Existe un método sencillo para construir un cuadrilátero bicéntrico:
Comienza con el círculo C r alrededor del centro I con el radio r y luego dibuja dos cuerdas perpendiculares entre sí WY y XZ en el círculo C r . En los puntos finales de las cuerdas dibuja las tangentes a, b, c, d a la circunferencia. Estos se cruzan en cuatro puntos A, B, C, D , que son los vértices de un cuadrilátero bicéntrico. [6] Para dibujar la circunferencia circunscrita, dibuje dos bisectrices perpendiculares p 1 , p 2 en los lados del cuadrilátero bicéntrico a respectivamente b . Las bisectrices perpendiculares p 1 , p 2 se cortan en el centro O del círculo circunstante C R con la distancia x al centro I del círculo circunstante C r . La circunferencia circunscrita se puede trazar alrededor del centro O.
La validez de esta construcción se debe a la caracterización de que, en un cuadrilátero tangencial ABCD , el cuadrilátero de contacto WXYZ tiene diagonales perpendiculares si y sólo si el cuadrilátero tangencial también es cíclico .
El área K de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de cuatro cantidades del cuadrilátero de varias maneras diferentes. Si los lados son a, b, c, d , entonces el área viene dada por [7] [8] [9] [10] [11]
Este es un caso especial de la fórmula de Brahmagupta . También se puede derivar directamente de la fórmula trigonométrica para el área de un cuadrilátero tangencial . Tenga en cuenta que lo contrario no se cumple: algunos cuadriláteros que no son bicéntricos también tienen área [12] Un ejemplo de tal cuadrilátero es un rectángulo no cuadrado .
El área también se puede expresar en términos de longitudes tangentes e, f, g, h como [8] : p.128
Una fórmula para el área del cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I es [9]
Si un cuadrilátero bicéntrico tiene cuerdas de tangencia k, l y diagonales p, q , entonces tiene área [8] : p.129
Si k, l son las cuerdas de tangencia y m, n son las bimedianas del cuadrilátero, entonces el área se puede calcular usando la fórmula [9]
Esta fórmula no se puede utilizar si el cuadrilátero es una cometa derecha , ya que el denominador es cero en ese caso.
Si M, N son los puntos medios de las diagonales y E, F son los puntos de intersección de las extensiones de lados opuestos, entonces el área de un cuadrilátero bicéntrico viene dada por
donde I es el centro de la circunferencia. [9]
El área de un cuadrilátero bicéntrico se puede expresar en términos de dos lados opuestos y el ángulo θ entre las diagonales según [9]
En términos de dos ángulos adyacentes y el radio r del círculo, el área viene dada por [9]
El área está dada en términos del circunradio R y del inradio r como
donde θ es cualquier ángulo entre las diagonales. [13]
Si M, N son los puntos medios de las diagonales y E, F son los puntos de intersección de las extensiones de lados opuestos, entonces el área también se puede expresar como
donde Q es el pie de la perpendicular a la recta EF que pasa por el centro de la circunferencia. [9]
Si r y R son el inradio y el circunradio respectivamente, entonces el área K satisface las desigualdades [14]
Hay igualdad en ambos lados sólo si el cuadrilátero es un cuadrado .
Otra desigualdad para el área es [15] : p.39, #1203
donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente.
Una desigualdad similar que da un límite superior para el área más pronunciado que la anterior es [13]
con igualdad válida si y sólo si el cuadrilátero es una cometa derecha .
Además, con lados a, b, c, d y semiperímetro s :
Si a, b, c, d son las longitudes de los lados AB, BC, CD, DA respectivamente en un cuadrilátero bicéntrico ABCD , entonces sus ángulos en los vértices se pueden calcular con la función tangente : [9]
Utilizando las mismas notaciones, para las funciones seno y coseno se cumplen las siguientes fórmulas: [16]
El ángulo θ entre las diagonales se puede calcular a partir de [10]
El inradio r de un cuadrilátero bicéntrico está determinado por los lados a, b, c, d según [7]
El circunradio R se da como un caso especial de la fórmula de Parameshvara . es [7]
El inradio también se puede expresar en términos de longitudes tangentes consecutivas e, f, g, h según [17] : p. 41
Estas dos fórmulas son de hecho condiciones necesarias y suficientes para que un cuadrilátero tangencial de radio r sea cíclico .
Los cuatro lados a, b, c, d de un cuadrilátero bicéntrico son las cuatro soluciones de la ecuación de cuarto grado.
donde s es el semiperímetro y r y R son el radio interior y el circunradio respectivamente. [18] : pág. 754
Si hay un cuadrilátero bicéntrico con radio r cuyas longitudes tangentes son e, f, g, h , entonces existe un cuadrilátero bicéntrico con radio r v cuyas longitudes tangentes son donde v puede ser cualquier número real . [19] : págs.9-10
Un cuadrilátero bicéntrico tiene un inradio mayor que cualquier otro cuadrilátero tangencial que tenga la misma secuencia de longitudes de lados. [20] : págs. 392–393
El circunradio R y el inradio r satisfacen la desigualdad
lo cual fue demostrado por L. Fejes Tóth en 1948. [19] Se cumple con igualdad sólo cuando los dos círculos son concéntricos (tienen el mismo centro entre sí); entonces el cuadrilátero es un cuadrado . La desigualdad se puede demostrar de varias maneras diferentes, una de ellas usando la doble desigualdad para el área anterior.
Una extensión de la desigualdad anterior es [2] [21] : p. 141
donde hay igualdad en ambos lados si y sólo si el cuadrilátero es un cuadrado . [16] : pág. 81
El semiperímetro s de un cuadrilátero bicéntrico satisface [19] : p.13
donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente.
Además, [15] : p.39, #1203
y
El teorema de Fuss da una relación entre el inradio r , el circunradio R y la distancia x entre el incentro I y el circuncentro O , para cualquier cuadrilátero bicéntrico. La relación es [1] [11] [22]
o equivalente
Fue derivada por Nicolaus Fuss (1755–1826) en 1792. Al resolver x se obtiene
El teorema de Fuss, que es análogo al teorema de Euler para triángulos para cuadriláteros bicéntricos, dice que si un cuadrilátero es bicéntrico, entonces sus dos círculos asociados están relacionados de acuerdo con las ecuaciones anteriores. De hecho, lo contrario también se cumple: dados dos círculos (uno dentro del otro) con radios R y r y distancia x entre sus centros que satisfacen la condición del teorema de Fuss, existe un cuadrilátero convexo inscrito en uno de ellos y tangente al otro. [23] (y luego, según el teorema de cierre de Poncelet , existen infinitos de ellos).
Aplicando la expresión del teorema de Fuss para x en términos de r y R hay otra forma de obtener la desigualdad antes mencionada. Una generalización es [19] : p.5
Otra fórmula para la distancia x entre los centros de la circunferencia circundante y la circunferencia circunscrita se debe al matemático estadounidense Leonard Carlitz (1907-1999). Afirma que [24]
donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente, y
donde a, b, c, d son los lados del cuadrilátero bicéntrico.
Para las longitudes tangentes e, f, g, h se cumplen las siguientes desigualdades: [19] : p.3
y
donde r es el inradio, R es el circunradio y x es la distancia entre el incentro y el circuncentro. Los lados a, b, c, d satisfacen las desigualdades [19] : p.5
y
El circuncentro , el incentro y la intersección de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico son colineales . [25]
Existe la siguiente igualdad que relaciona las cuatro distancias entre el incentro I y los vértices de un cuadrilátero bicéntrico ABCD : [26]
donde r es el inradio.
Si P es la intersección de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico ABCD con incentro I , entonces [27]
Las longitudes de las diagonales en un cuadrilátero bicéntrico se pueden expresar en términos de los lados o las longitudes tangentes , que son fórmulas que se cumplen en un cuadrilátero cíclico y un cuadrilátero tangencial respectivamente.
En un cuadrilátero bicéntrico con diagonales p, q , se cumple la siguiente identidad: [11]
donde r y R son el inradio y el circunradio respectivamente. Esta igualdad se puede reescribir como [13]
o, resolviéndolo como una ecuación cuadrática para el producto de las diagonales, en la forma
Una desigualdad para el producto de las diagonales p, q en un cuadrilátero bicéntrico es [14]
donde a, b, c, d son los lados. Así lo demostró Murray S. Klamkin en 1967.
Sea ABCD un cuadrilátero bicéntrico y O el centro de su circunferencia. Entonces los incentros de los cuatro triángulos △ OAB , △ OBC , △ OCD , △ ODA se encuentran en un círculo. [28]