Número ideal

En teoría de números, un número ideal es un entero algebraico que representa un ideal en el anillo de números enteros de un cuerpo de números ; la idea fue desarrollada por Ernst Kummer y condujo a la definición de ideales para anillos de Richard Dedekind . Un ideal en el anillo de números enteros de un cuerpo de números algebraicos es principal si consiste en múltiplos de un solo elemento del anillo, y no principal en caso contrario. Por el teorema del ideal principal, cualquier ideal no principal se convierte en principal cuando se extiende a un ideal del cuerpo de la clase de Hilbert . Esto significa que hay un elemento del anillo de números enteros del cuerpo de la clase de Hilbert, que es un número ideal, tal que el ideal no principal original es igual a la colección de todos los múltiplos de este número ideal por elementos de este anillo de números enteros que se encuentran en el anillo de números enteros del cuerpo original.

Ejemplo

Por ejemplo, sea una raíz de , entonces el anillo de enteros del cuerpo es , lo que significa que todos los enteros con y forman el anillo de enteros. Un ejemplo de un ideal no principal en este anillo es el conjunto de todos donde y son enteros; el cubo de este ideal es principal, y de hecho el grupo de clases es cíclico de orden tres. El cuerpo de clases correspondiente se obtiene al adjuntar un elemento que satisface a , dando . Un número ideal para el ideal no principal es . Dado que satisface la ecuación, es un entero algebraico. ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle y^{2}+y+6=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$ ${\displaystyle a+b\cdot y}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 2a+y\cdot b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle w^{3}-w-1=0}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (y)}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (y,w)}$ ${\displaystyle 2a+y\cdot b}$ ${\displaystyle \iota =(-8-16y-18w+12w^{2}+10yw+yw^{2})/23}$ ${\displaystyle \iota ^{6}-2\iota ^{5}+13\iota ^{4}-15\iota ^{3}+16\iota ^{2}+28\iota +8=0}$

Todos los elementos del anillo de números enteros del campo de clase que al multiplicarse por dan como resultado en tienen la forma , donde ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [y]}$ ${\displaystyle a\cdot \alpha +y\cdot \beta }$

${\displaystyle \alpha =(-7+9y-33w-24w^{2}+3yw-2yw^{2})/23}$

y

${\displaystyle \beta =(-27-8y-9w+6w^{2}-18yw-11yw^{2})/23.}$

Los coeficientes α y β también son números enteros algebraicos, que satisfacen

${\displaystyle \alpha ^{6}+7\alpha ^{5}+8\alpha ^{4}-15\alpha ^{3}+26\alpha ^{2}-8\alpha +8=0}$

y

${\displaystyle \beta ^{6}+4\beta ^{5}+35\beta ^{4}+112\beta ^{3}+162\beta ^{2}+108\beta +27=0}$

respectivamente. Multiplicando por el número ideal se obtiene , que es el ideal no principal. ${\displaystyle a\cdot \alpha +b\cdot \beta }$ ${\displaystyle \iota }$ ${\displaystyle 2a+b\cdot y}$

Historia

Kummer publicó por primera vez el fracaso de la factorización única en cuerpos ciclotómicos en 1844 en una revista desconocida; fue reimpreso en 1847 en la revista de Liouville . En artículos posteriores de 1846 y 1847 publicó su teorema principal, la factorización única en primos (reales e ideales).

Se cree ampliamente que Kummer llegó a sus " números complejos ideales " por su interés en el Último Teorema de Fermat ; incluso se cuenta a menudo una historia de que Kummer, como Lamé , creía haber demostrado el Último Teorema de Fermat hasta que Lejeune Dirichlet le dijo que su argumento se basaba en la factorización única; pero la historia fue contada por primera vez por Kurt Hensel en 1910 y la evidencia indica que probablemente se deriva de una confusión de una de las fuentes de Hensel. Harold Edwards dice que la creencia de que Kummer estaba principalmente interesado en el Último Teorema de Fermat "seguramente es errónea" (Edwards 1977, p. 79). El uso de Kummer de la letra λ para representar un número primo, α para denotar una λ-ésima raíz de la unidad, y su estudio de la factorización de números primos en "números complejos compuestos por raíces de la unidad" derivan directamente de un artículo de Jacobi que se ocupa de las leyes de reciprocidad superior . Las memorias de Kummer de 1844 se escribieron en honor a la celebración del jubileo de la Universidad de Königsberg y se concibieron como un tributo a Jacobi. Aunque Kummer había estudiado el Último Teorema de Fermat en la década de 1830 y probablemente era consciente de que su teoría tendría implicaciones para su estudio, es más probable que el tema de interés de Jacobi (y Gauss ), las leyes de reciprocidad superior, tuviera más importancia para él. Kummer se refirió a su propia prueba parcial del Último Teorema de Fermat para los primos regulares como "una curiosidad de la teoría de números más que un tema importante" y a la ley de reciprocidad superior (que enunció como una conjetura) como "el tema principal y el pináculo de la teoría de números contemporánea". Por otro lado, este último pronunciamiento se realizó cuando Kummer todavía estaba entusiasmado con el éxito de su trabajo sobre la reciprocidad y cuando su trabajo sobre el Último Teorema de Fermat estaba perdiendo fuelle, por lo que tal vez se pueda tomar con cierto escepticismo. ${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {\lambda }}}$ ${\displaystyle \lambda }$

La extensión de las ideas de Kummer al caso general fue realizada independientemente por Kronecker y Dedekind durante los siguientes cuarenta años. Una generalización directa encontró formidables dificultades y finalmente llevó a Dedekind a la creación de la teoría de módulos e ideales . Kronecker abordó las dificultades desarrollando una teoría de formas (una generalización de las formas cuadráticas ) y una teoría de divisores . La contribución de Dedekind se convertiría en la base de la teoría de anillos y el álgebra abstracta , mientras que la de Kronecker se convertiría en herramientas importantes en la geometría algebraica .

Referencias

• Nicolas Bourbaki , Elementos de la historia de las matemáticas. Springer-Verlag, Nueva York, 1999.
• Harold M. Edwards , El último teorema de Fermat. Una introducción genética a la teoría de números. Textos de posgrado en matemáticas, vol. 50, Springer-Verlag, NY, 1977.
• CG Jacobi, Über die complexen Primzahlen, welche in der theori der Reste der 5ten, 8ten, und 12ten Potenzen zu betrachten sind, Monatsber. der. Akád. Wiss. Berlín (1839) 89-91.
• EE Kummer, De numeris complexis, qui radicibus unitatis et numeris integris realibus constante, Gratulationschrift der Univ. Breslau zur Jubelfeier der Univ. Konigsberg, 1844; reimpreso en Jour. de Matemáticas. 12 (1847) 185-212.
• EE Kummer, Über die Zerlegung der aus Wurzeln der Einheit gebildeten complexen Zahlen in ihre Primfactoren, Jour. para matemáticas. (Crelle) 35 (1847) 327-367.
• John Stillwell , Introducción a la teoría de los números enteros algebraicos de Richard Dedekind. Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press, Gran Bretaña, 1996.

Enlaces externos

• Números ideales, prueba de que la teoría de números ideales conserva la factorización única para los números enteros ciclotómicos en el Blog del Último Teorema de Fermat.