Teorema de Herbrand-Ribet

Resultado del grupo de clases de determinados campos numéricos, reforzando el teorema de Ernst Kummer

En matemáticas , el teorema de Herbrand-Ribet es un resultado del grupo de clases de ciertos campos numéricos . Es un fortalecimiento del teorema de Ernst Kummer en el sentido de que el primo p divide el número de clase del campo ciclotómico de las p -ésimas raíces de la unidad si y sólo si p divide el numerador del n -ésimo número de Bernoulli B _n para algún n , 0 < n < p − 1. El teorema de Herbrand-Ribet especifica qué significa, en particular, cuando p divide tal B _n .

Declaración

El grupo de Galois Δ del campo ciclotómico de p ésimas raíces de la unidad para un primo impar p , Q (ζ) con ζ ^p = 1, consta de los elementos del grupo p − 1 σ _a , donde . Como consecuencia del pequeño teorema de Fermat , en el anillo de p -enteros ádicos tenemos p - 1 raíces de la unidad, cada una de las cuales es congruente mod p con algún número en el rango de 1 a p - 1; Por lo tanto, podemos definir un carácter de Dirichlet ω (el carácter de Teichmüller) con valores en exigiendo que para n relativamente primo con p , ω( n ) sea congruente con n módulo p . La parte p del grupo de clases es un módulo (ya que es p -primario), por lo tanto, un módulo sobre el anillo del grupo . Ahora definimos elementos idempotentes del anillo de grupo para cada n de 1 a p − 1, como ${\displaystyle \sigma _{a}(\zeta )=\zeta ^{a}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}[\Delta ]}$

${\displaystyle \epsilon _{n}={\frac {1}{p-1}}\sum _{a=1}^{p-1}\omega (a)^{n}\sigma _{a}^{-1}.}$

Es fácil ver qué y dónde está el delta del Kronecker . Esto nos permite descomponer la parte p del grupo de clases ideal G de Q (ζ) mediante los idempotentes; si G es la p -parte primaria del grupo de clases ideal, entonces, dejando G _n = ε _n ( G ), tenemos . ${\displaystyle \sum \epsilon _{n}=1}$ ${\displaystyle \epsilon _{i}\epsilon _{j}=\delta _{ij}\epsilon _{i}}$ ${\displaystyle \delta _{ij}}$ ${\displaystyle G=\oplus G_{n}}$

El teorema de Herbrand-Ribet establece que para n impar , G _n no es trivial si y sólo si p divide el número de Bernoulli B _{p − n} . ^[1]

El teorema no hace ninguna afirmación sobre valores pares de n , pero no se conoce ningún p para el cual G _n no sea trivial para cualquier n par : la trivialidad para todo p sería una consecuencia de la conjetura de Vandiver . ^[2]

Pruebas

La parte que dice que p divide a B _{p − n} si G _n no es trivial se debe a Jacques Herbrand . ^[3] Lo contrario, que si p divide B _{p − n} entonces G _n no es trivial, se debe a Kenneth Ribet , y es considerablemente más difícil. Según la teoría de campos de clases , esto sólo puede ser cierto si hay una extensión no ramificada del campo de p ésimas raíces de la unidad por una extensión cíclica de grado p que se comporta de la manera especificada bajo la acción de Σ; Ribet lo demuestra construyendo dicha extensión utilizando métodos de la teoría de formas modulares . En el libro de Washington se puede encontrar una prueba más elemental de la inversa de Ribet con el teorema de Herbrand, una consecuencia de la teoría de los sistemas de Euler . ^[4]

Generalizaciones

Los métodos de Ribet fueron desarrollados aún más por Barry Mazur y Andrew Wiles para probar la conjetura principal de la teoría de Iwasawa , ^[5] cuyo corolario es un fortalecimiento del teorema de Herbrand-Ribet: la potencia de p que divide a B _{p − n} es exactamente la potencia de p dividiendo el orden de G _n .

Ver también

• Teoría de Iwasawa

Notas

1. Ribet, Ken (1976). "Una construcción modular de p-extensiones no ramificadas de (μ _p )". Inv. Matemáticas. 34 (3): 151–162. doi :10.1007/bf01403065. S2CID  120199454. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$
2. Coates, Juan ; Sujatha, R. (2006). Campos ciclotómicos y valores Zeta . Monografías de Springer en Matemáticas. Springer-Verlag . págs. 3–4. ISBN 3-540-33068-2. Zbl  1100.11002.
3. Herbrand, J. (1932). "Sobre las clases de cuerpos circulares". J. Matemáticas. Pures Appl . Serie IX (en francés). 11 : 417–441. ISSN  0021-7824. Zbl  0006.00802.
4. Washington, Lawrence C. (1997). Introducción a los campos ciclotómicos (Segunda ed.). Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94762-0.
5. Mazur, Barry y Wiles, Andrew (1984). "Campos de clase de la extensión abeliana de ". Inv. Matemáticas . 76 (2): 179–330. Código Bib : 1984 InMat..76..179M. doi :10.1007/bf01388599. S2CID  122576427. ${\displaystyle \mathbb {Q} }$