Ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein

Reformulación de la relatividad general.

En relatividad general , la ecuación de Hamilton-Jacobi-Einstein ( HJEE ) o ecuación de Einstein-Hamilton-Jacobi ( EHJE ) es una ecuación en la formulación hamiltoniana de la geometrodinámica en el superespacio , formulada en la "era de la geometrodinámica" alrededor de la década de 1960, por Asher Peres en 1962 y otros. ^[1] Es un intento de reformular la relatividad general de tal manera que se asemeje a la teoría cuántica dentro de una aproximación semiclásica , muy parecida a la correspondencia entre la mecánica cuántica y la mecánica clásica .

Lleva el nombre de Albert Einstein , Carl Gustav Jacob Jacobi y William Rowan Hamilton . El EHJE contiene tanta información como las diez ecuaciones de campo de Einstein (EFEs). ^[2] Es una modificación de la ecuación de Hamilton-Jacobi (HJE) de la mecánica clásica , y puede derivarse de la acción de Einstein-Hilbert utilizando el principio de acción mínima en el formalismo ADM .

Antecedentes y motivación

Correspondencia entre la física clásica y la cuántica

En la mecánica analítica clásica , la dinámica del sistema se resume en la acción S. En la teoría cuántica, es decir, en la mecánica cuántica no relativista (QM), la mecánica cuántica relativista (RQM), así como en la teoría cuántica de campos (QFT), con diferentes interpretaciones y formalismos matemáticos en estas teorías, el comportamiento de un sistema está completamente contenido en una amplitud de probabilidad de valor complejo Ψ (más formalmente como un estado cuántico ket |Ψ⟩ - un elemento de un espacio de Hilbert ). Usando la forma polar de la función de onda, haciendo una transformación de Madelung:

${\displaystyle \Psi ={\sqrt {\rho }}e^{iS/\hbar }}$

la fase de Ψ se interpreta como la acción, y el módulo √ ρ = √ Ψ*Ψ = |Ψ| se interpreta según la interpretación de Copenhague como la función de densidad de probabilidad . La constante de Planck reducida ħ es el cuanto de momento angular. Sustitución de esto en la ecuación cuántica general de Schrödinger (SE):

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \,,}$

y tomando el límite ħ → 0 se obtiene el HJE clásico:

${\displaystyle -{\frac {\partial S}{\partial t}}=H\,,}$

que es un aspecto del principio de correspondencia .

Deficiencias del espacio-tiempo de cuatro dimensiones.

Por otro lado, la transición entre la teoría cuántica y la relatividad general (RG) es difícil de realizar; una razón es el tratamiento del espacio y el tiempo en estas teorías. En la gestión de calidad no relativista, el espacio y el tiempo no están en pie de igualdad; el tiempo es un parámetro mientras que la posición es un operador . En RQM y QFT, la posición vuelve a las coordenadas espaciales habituales junto con la coordenada de tiempo, aunque estas teorías son consistentes sólo con SR en el espacio plano de Minkowski de cuatro dimensiones , y no en el espacio curvo ni con GR. Es posible formular la teoría cuántica de campos en el espacio-tiempo curvo , pero ni siquiera esto puede incorporar GR porque la gravedad no es renormalizable en QFT. ^[3] Además, en GR las partículas se mueven a través del espacio-tiempo curvo con una posición y un impulso conocidos de manera determinista en cada instante, mientras que en la teoría cuántica, la posición y el impulso de una partícula no se pueden conocer exactamente simultáneamente; el espacio x y el momento p , y la energía E y el tiempo t , están sujetos por pares a los principios de incertidumbre

${\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}},\quad \Delta E\Delta t\geq {\frac {\hbar }{2}}\,,}$

lo que implica que pequeños intervalos en el espacio y el tiempo significan que son posibles grandes fluctuaciones en la energía y el impulso. Dado que en GR masa-energía y momento-energía es la fuente de la curvatura del espacio-tiempo , las grandes fluctuaciones en la energía y el momento significan que la "tela" del espacio-tiempo podría potencialmente distorsionarse tanto que se rompa a escalas suficientemente pequeñas. ^[4] Existe evidencia teórica y experimental de QFT de que el vacío tiene energía ya que el movimiento de los electrones en los átomos fluctúa, esto está relacionado con el desplazamiento de Lamb . ^[5] Por estas razones y otras, a escalas cada vez más pequeñas, se cree que el espacio y el tiempo son dinámicos hasta las escalas de longitud y tiempo de Planck . ^[4]

En cualquier caso, un continuo espacio-tiempo curvo de cuatro dimensiones es una característica central y bien definida de la relatividad general, pero no de la mecánica cuántica.

Ecuación

Un intento de encontrar una ecuación que gobierne la dinámica de un sistema, lo más cerca posible de QM y GR, es reformular el HJE en un espacio curvo tridimensional entendido como "dinámico" (que cambia con el tiempo), y no Dinámica espacio -temporal cuatridimensional en las cuatro dimensiones, como lo son los EFE. El espacio tiene una métrica (consulte Espacio métrico para obtener más detalles).

El tensor métrico en la relatividad general es un objeto esencial, ya que el tiempo propio , la longitud del arco , el movimiento geodésico en el espacio-tiempo curvo y otras cosas dependen de la métrica. El HJE anterior se modifica para incluir la métrica, aunque es solo una función de las coordenadas espaciales tridimensionales r (por ejemplo, r = ( x , y , z ) en coordenadas cartesianas ) sin el tiempo de coordenadas t :

${\displaystyle g_{ij}=g_{ij}(\mathbf {r} )\,.}$

En este contexto, g _ij se denomina "campo métrico" o simplemente "campo".

Ecuación general (espacio curvo libre)

Para una partícula libre en un " espacio vacío " curvo o "espacio libre", es decir, en ausencia de otra materia que la propia partícula, la ecuación se puede escribir: ^{[6] [7] [8]}

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {g}}}\left({\frac {1}{2}}g_{pq}g_{rs}-g_{pr}g_{qs}\right){\frac {\delta S}{\delta g_{pq}}}{\frac {\delta S}{\delta g_{rs}}}+{\sqrt {g}}R=0}$

donde g es el determinante del tensor métrico y R la curvatura escalar de Ricci de la geometría 3d (sin incluir el tiempo), y " δ " en lugar de " d " denota la derivada variacional en lugar de la derivada ordinaria . Estas derivadas corresponden a los momentos de campo "conjugados al campo métrico":

${\displaystyle \pi ^{ij}(\mathbf {r} )=\pi ^{ij}={\frac {\delta S}{\delta g_{ij}}}\,,}$

la tasa de cambio de acción con respecto a las coordenadas de campo g _ij ( r ) . Aquí g y π son análogos a q y p = ∂ S / ∂ q , respectivamente , en la mecánica hamiltoniana clásica . Consulte las coordenadas canónicas para obtener más información.

La ecuación describe cómo se propagan en el superespacio los frentes de onda de acción constante, como se desarrolla la dinámica de las ondas de materia de una partícula libre en el espacio curvo. Se necesitan términos fuente adicionales para dar cuenta de la presencia de influencias adicionales sobre la partícula, que incluyen la presencia de otras partículas o distribuciones de materia (que contribuyen a la curvatura del espacio) y fuentes de campos electromagnéticos que afectan a partículas con carga eléctrica o espín . Al igual que las ecuaciones de campo de Einstein, es no lineal en la métrica debido a los productos de los componentes métricos, y al igual que la HJE, es no lineal en la acción debido al producto de las derivadas variacionales en la acción.

El concepto de la mecánica cuántica, de que la acción es la fase de la función de onda, puede interpretarse a partir de esta ecuación de la siguiente manera. La fase tiene que satisfacer el principio de mínima acción; debe ser estacionario para un pequeño cambio en la configuración del sistema, es decir para un ligero cambio en la posición de la partícula, lo que corresponde a un ligero cambio en las componentes métricas;

${\displaystyle g_{ij}\rightarrow g_{ij}+\delta g_{ij}\,,}$

el ligero cambio de fase es cero:

${\displaystyle \delta S=\int {\frac {\delta S}{\delta g_{ij}(\mathbf {r} )}}\delta g_{ij}(\mathbf {r} )\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} =0\,,}$

(donde d ³ r es el elemento de volumen de la integral de volumen ). Por tanto, la interferencia constructiva de las ondas de materia es máxima. Esto puede expresarse mediante el principio de superposición ; aplicado a muchas funciones de onda no localizadas repartidas por todo el espacio curvo para formar una función de onda localizada:

${\displaystyle \Psi =\sum _{n}c_{n}\psi _{n}\,,}$

para algunos coeficientes c _n , y adicionalmente la acción (fase) S _n para cada ψ _n debe satisfacer:

${\displaystyle \delta S=S_{n+1}-S_{n}=0\,,}$

para todo n , o equivalentemente,

${\displaystyle S_{1}=S_{2}=\cdots =S_{n}=\cdots \,.}$

Las regiones donde Ψ es máxima o mínima ocurren en puntos donde existe una probabilidad de encontrar la partícula allí y donde el cambio de acción (fase) es cero. Entonces, en el EHJE anterior, cada frente de onda de acción constante es donde se puede encontrar la partícula.

Esta ecuación todavía no "unifica" la mecánica cuántica y la relatividad general, porque se ha aplicado la aproximación semiclásica de Eikonal en el contexto de la teoría cuántica y la relatividad general, para proporcionar una transición entre estas teorías.

Aplicaciones

La ecuación toma varias formas complicadas en:

• Gravedad cuántica
• Cosmología cuántica

Ver también

• Foliación
• Geometría cuántica
• Espacio-tiempo cuántico
• Cálculo de variaciones
• La ecuación también está relacionada con la ecuación de Wheeler-DeWitt .
• Métrica de Peres

Referencias

Notas

1. A. Peres (1962). "Sobre el problema de Cauchy en la relatividad general - II". Nuevo Cimento . 26 (1). Saltador: 53–62. Código bibliográfico : 1962NCim...26...53P. doi :10.1007/BF02754342. S2CID  189781412.
2. UH Gerlach (1968). "Derivación de las diez ecuaciones de campo de Einstein a partir de la aproximación semiclásica a la geometrodinámica cuántica". Revisión física . 177 (5): 1929-1941. Código bibliográfico : 1969PhRv..177.1929G. doi : 10.1103/PhysRev.177.1929.
3. A. Shomer (2007). "Una explicación pedagógica de la no renormalizabilidad de la gravedad". arXiv : 0709.3555 [hep-th].
4. RG Lerner ; GL Trigg (1991). Enciclopedia de Física (2ª ed.). Editores VHC. pag. 1285.ISBN​ 978-0-89573-752-6.
5. JA Wheeler , C. Misner , KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. pág. 1190.ISBN​ 978-0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
6. JA Wheeler , C. Misner , KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. pág. 1188.ISBN​ 978-0-7167-0344-0.{{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
7. J. Mehra (1973). La concepción de la naturaleza por parte del físico. Saltador. pag. 224.ISBN​ 978-90-277-0345-3.
8. JJ Halliwell; J. Pérez-Mercader; WH Zurek (1996). Orígenes físicos de la asimetría del tiempo. Prensa de la Universidad de Cambridge . pag. 429.ISBN​ 978-0-521-56837-1.

Otras lecturas

Libros

• JL Lopes (1977). La mecánica cuántica, medio siglo después: artículos de un coloquio sobre cincuenta años de mecánica cuántica. Estrasburgo, Francia: Springer, Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-90-277-0784-0.
• C.Rovelli (2004). Gravedad cuántica. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-83733-0.
• C. Kiefer (2012). Gravedad cuántica (3ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford . ISBN 978-0-19-958520-5.
• JK Glikman (1999). Hacia la gravedad cuántica: actas de la XXXV Escuela Internacional de Invierno sobre Física Teórica. Polanica, Polonia: Springer. pag. 224.ISBN​ 978-3-540-66910-4.
• LZ Colmillo; R. Ruffini (1987). Cosmología cuántica. Serie Avanzada en Astrofísica y Cosmología. vol. 3. Científico mundial . ISBN 978-9971-5-0312-3.

Artículos seleccionados

• T. Bancos (1984). «TCP, Gravedad Cuántica, La Constante Cosmológica y todo eso…» (PDF) . Stanford, Estados Unidos.( Ecuación A.3 en el apéndice ).
• BK Darian (1997). "Resolución de la ecuación de Hamilton-Jacobi para campos escalares y electromagnéticos que interactúan gravitacionalmente". Gravedad clásica y cuántica . 15 (1). Canadá, Estados Unidos: 143–152. arXiv : gr-qc/9707046v2 . Código Bib : 1998CQGra..15..143D. doi :10.1088/0264-9381/15/1/010. S2CID  250879669.
• Bono JR; DS Salopek (1990). "Evolución no lineal de fluctuaciones métricas de longitud de onda larga en modelos inflacionarios". Física. Rev. D. Canadá (EE.UU.), Illinois (EE.UU.).
• Sang Pyo Kim (1996). "Espacio-tiempo clásico a partir de la gravedad cuántica". Gravedad clásica y cuántica . 13 (6). Kunsan, Corea: IoP : 1377–1382. arXiv : gr-qc/9601049 . Código Bib : 1996CQGra..13.1377K. doi :10.1088/0264-9381/13/6/011. S2CID  250877590.
• SR Berbena; AV Berrocal; J. Socorro; LO Pimentel (2006). "La ecuación de Einstein-Hamilton-Jacobi: búsqueda de la solución clásica para FRW barotrópico". Guanajuato y Autónoma Metropolitana (México). arXiv : gr-qc/0607123 . Código Bib : 2007RMxFS..53b.115B.