En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Janko J 2 o el grupo de Hall-Janko HJ es un grupo simple esporádico de orden.
J 2 es uno de los 26 grupos esporádicos y también se llama grupo Hall-Janko-Wales . En 1969, Zvonimir Janko predijo que J 2 era uno de los dos nuevos grupos simples que tenían 2 1+4 :A 5 como centralizador de una involución (el otro es el grupo de Janko J3 ). Fue construido por Marshall Hall y David Wales (1968) como un grupo de permutación de rango 3 en 100 puntos.
Tanto el multiplicador de Schur como el grupo de automorfismo externo tienen orden 2. Como grupo de permutación en 100 puntos, J 2 tiene involuciones que mueven los 100 puntos e involuciones que mueven solo 80 puntos. Las primeras involuciones son producto de 25 transportes dobles, un número impar, y por lo tanto se elevan a 4 elementos en la doble cubierta 2.A 100 . La doble cobertura 2.J 2 se presenta como un subgrupo del grupo Conway Co 0 .
J 2 es el único de los 4 grupos de Janko que es un subcociente del grupo de monstruos ; por tanto, forma parte de lo que Robert Griess llama la Familia Feliz. Dado que también se encuentra en el grupo Conway Co1 , forma parte de la segunda generación de Happy Family.
Es un subgrupo del índice dos del grupo de automorfismos del gráfico de Hall-Janko , lo que lleva a una representación de permutación de grado 100. También es un subgrupo del índice dos del grupo de automorfismos del gráfico Hall-Janko cerca del octágono , [ 1] que conduce a una representación de permutación de grado 315.
Tiene una representación modular de dimensión seis sobre el campo de cuatro elementos; si en la característica dos tenemos w 2 + w + 1 = 0 , entonces J 2 es generado por las dos matrices
y
Estas matrices satisfacen las ecuaciones
(Tenga en cuenta que la multiplicación de matrices en un campo finito de orden 4 se define de manera ligeramente diferente a la multiplicación de matrices ordinaria. Consulte Campo finito § Campo con cuatro elementos para las tablas de suma y multiplicación específicas, con w igual que a y w 2 igual que 1 + un .)
J 2 es, por tanto, un grupo de Hurwitz , una imagen homomórfica finita del grupo de triángulos (2,3,7) .
La representación matricial dada anteriormente constituye una inclusión en el grupo G 2 (4) de Dickson . Sólo hay una clase de conjugación de J 2 en G 2 (4). Cada subgrupo J 2 contenido en G 2 (4) se extiende a un subgrupo J 2 :2 = Aut(J 2 ) en G 2 (4):2 = Aut( G 2 (4)) ( G 2 (4) extendido por los automorfismos de campo de F 4 ). G 2 (4) es a su vez isomorfo a un subgrupo del grupo de Conway Co 1 .
Hay 9 clases de conjugación de subgrupos máximos de J 2 . Algunos se describen aquí en términos de acción en el gráfico de Hall-Janko.
El orden máximo de cualquier elemento es 15. Como permutaciones, los elementos actúan sobre los 100 vértices del gráfico de Hall-Janko.
