La teoría de la representación modular es una rama de las matemáticas y es la parte de la teoría de la representación que estudia representaciones lineales de grupos finitos sobre un campo K de característica positiva p , necesariamente un número primo . Además de tener aplicaciones en la teoría de grupos , las representaciones modulares surgen naturalmente en otras ramas de las matemáticas, como la geometría algebraica , la teoría de la codificación [ cita requerida ] , la combinatoria y la teoría de números .
Dentro de la teoría de grupos finitos, los resultados de la teoría de caracteres demostrados por Richard Brauer utilizando la teoría de la representación modular jugaron un papel importante en los primeros avances hacia la clasificación de grupos finitos simples , especialmente para grupos simples cuya caracterización no era susceptible de métodos puramente teóricos de grupos porque su Sylow Los 2 subgrupos eran demasiado pequeños en el sentido apropiado. Además, un resultado general sobre la inclusión de elementos de orden 2 en grupos finitos llamado teorema Z* , demostrado por George Glauberman utilizando la teoría desarrollada por Brauer, fue particularmente útil en el programa de clasificación.
Si la característica p de K no divide el orden | G |, entonces las representaciones modulares son completamente reducibles, como ocurre con las representaciones ordinarias (característica 0), en virtud del teorema de Maschke . En el otro caso, cuando | GRAMO | ≡ 0 mod p , el proceso de promediar el grupo necesario para demostrar el teorema de Maschke se descompone y no es necesario que las representaciones sean completamente reducibles. Gran parte de la discusión siguiente supone implícitamente que el campo K es suficientemente grande (por ejemplo, K algebraicamente cerrado es suficiente); de lo contrario, algunas afirmaciones necesitan refinarse.
El primer trabajo sobre teoría de la representación sobre campos finitos es el de Dickson (1902), quien demostró que cuando p no divide el orden del grupo, la teoría de la representación es similar a la de la característica 0. También investigó las invariantes modulares de algunos grupos finitos. El estudio sistemático de las representaciones modulares, cuando la característica p divide el orden del grupo, fue iniciado por Brauer (1935) y continuó durante las siguientes décadas.
Encontrar una representación del grupo cíclico de dos elementos sobre F 2 equivale al problema de encontrar matrices cuyo cuadrado sea la matriz identidad . Sobre cada campo de característica distinto de 2, siempre hay una base tal que la matriz se puede escribir como una matriz diagonal con solo 1 o −1 en la diagonal, como
Sobre F 2 , hay muchas otras matrices posibles, como
Sobre un campo algebraicamente cerrado de característica positiva, la teoría de la representación de un grupo cíclico finito se explica completamente mediante la teoría de la forma normal de Jordan . Las formas de Jordan no diagonales ocurren cuando la característica divide el orden del grupo.
Dado un campo K y un grupo finito G , el álgebra de grupo K [ G ] (que es el K - espacio vectorial con K -base que consta de los elementos de G , dotado de álgebra de multiplicación al extender la multiplicación de G por linealidad) es un anillo artiniano .
Cuando el orden de G es divisible por la característica de K , el álgebra de grupo no es semisimple , por lo tanto tiene radical de Jacobson distinto de cero . En ese caso, existen módulos de dimensión finita para el álgebra de grupos que no son módulos proyectivos . Por el contrario, en el caso de la característica 0 toda representación irreductible es una suma directa de la representación regular , por lo tanto es proyectiva.
La teoría de la representación modular fue desarrollada por Richard Brauer aproximadamente a partir de 1940 para estudiar con mayor profundidad las relaciones entre la teoría de la representación característica p , la teoría del carácter ordinario y la estructura de G , especialmente porque esta última se relaciona con la incrustación y las relaciones entre sus p. -subgrupos. Estos resultados pueden aplicarse en teoría de grupos a problemas que no están formulados directamente en términos de representaciones.
Brauer introdujo la noción que ahora se conoce como personaje de Brauer . Cuando K es algebraicamente cerrado de característica positiva p , hay una biyección entre raíces de la unidad en K y raíces complejas de la unidad de orden coprimo a p . Una vez que se fija la elección de tal biyección, el carácter de Brauer de una representación asigna a cada elemento de grupo de orden coprimo a p la suma de raíces complejas de la unidad correspondientes a los valores propios (incluidas las multiplicidades) de ese elemento en la representación dada.
El carácter Brauer de una representación determina sus factores de composición pero no, en general, su tipo de equivalencia. Los personajes irreductibles de Brauer son los que ofrecen los módulos simples. Éstas son combinaciones integrales (aunque no necesariamente no negativas) de las restricciones a elementos de orden coprimos de p de los caracteres irreducibles ordinarios. Por el contrario, la restricción a los elementos de orden coprimo a p de cada carácter irreducible ordinario se puede expresar únicamente como una combinación entera no negativa de caracteres de Brauer irreducibles.
En la teoría desarrollada inicialmente por Brauer, el vínculo entre la teoría de la representación ordinaria y la teoría de la representación modular se ejemplifica mejor considerando el álgebra de grupo del grupo G sobre un anillo de valoración discreto completo R con un campo de residuos K de característica positiva p y un campo de fracciones F. de característica 0, como los enteros p -ádicos . La estructura de R [ G ] está estrechamente relacionada tanto con la estructura del álgebra de grupos K [ G ] como con la estructura del álgebra de grupos semisimple F [ G ], y hay mucha interacción entre la teoría modular de las tres álgebras.
Cada módulo R [ G ] da lugar naturalmente a un módulo F [ G ] y, mediante un proceso a menudo conocido informalmente como reducción (mod p ) , a un módulo K [ G ]. Por otro lado, dado que R es un dominio ideal principal , cada módulo F [ G ] de dimensión finita surge por extensión de escalares de un módulo R [ G ]. Sin embargo, en general no todos los módulos K [ G ] surgen como reducciones (mod p ) de los módulos R [ G ]. Los que sí lo hacen son levantables .
En la teoría de representación ordinaria, el número de módulos simples k ( G ) es igual al número de clases de conjugación de G. En el caso modular, el número l ( G ) de módulos simples es igual al número de clases de conjugación cuyos elementos tienen orden coprimo con respecto al primo p relevante , las llamadas p -clases regulares.
En la teoría de la representación modular, si bien el teorema de Maschke no se cumple cuando la característica divide el orden del grupo, el álgebra de grupo se puede descomponer como la suma directa de una colección máxima de ideales bilaterales conocidos como bloques . Cuando el campo F tiene la característica 0, o característica coprimo del orden del grupo, todavía existe tal descomposición del álgebra de grupo F [ G ] como una suma de bloques (uno para cada tipo de isomorfismo de módulo simple), pero la situación es relativamente transparente cuando F es suficientemente grande: cada bloque es un álgebra matricial completa sobre F , el anillo de endomorfismo del espacio vectorial subyacente al módulo simple asociado.
Para obtener los bloques, el elemento identidad del grupo G se descompone como una suma de idempotentes primitivos en Z ( R [G]), el centro del álgebra de grupos sobre el orden máximo R de F. El bloque correspondiente al idempotente primitivo e es el ideal bilateral e R [ G ]. Para cada módulo R [ G ] indescomponible, sólo existe un idempotente primitivo que no lo aniquila, y se dice que el módulo pertenece (o está en) el bloque correspondiente (en cuyo caso, todos sus factores de composición también pertenecen a ese bloque). En particular, cada módulo simple pertenece a un bloque único. Cada carácter irreducible ordinario también puede asignarse a un bloque único según su descomposición como suma de caracteres Brauer irreducibles. El bloque que contiene el módulo trivial se conoce como bloque principal .
En la teoría de la representación ordinaria, todo módulo indescomponible es irreducible y, por tanto, todo módulo es proyectivo. Sin embargo, los módulos simples con características que dividen el orden del grupo rara vez son proyectivos. De hecho, si un módulo simple es proyectivo, entonces es el único módulo simple en su bloque, que entonces es isomorfo al álgebra de endomorfismo del espacio vectorial subyacente, un álgebra matricial completa. En ese caso, se dice que el bloque tiene "defecto 0". Generalmente, la estructura de los módulos proyectivos es difícil de determinar.
Para el álgebra de grupos de un grupo finito, los (tipos de isomorfismo de) módulos proyectivos indescomponibles están en una correspondencia uno a uno con los (tipos de isomorfismo de) módulos simples: el zócalo de cada proyectivo indescomponible es simple (e isomorfo al arriba), y esto produce la biyección, ya que los indescomponibles proyectivos no isomorfos tienen zócalos no isomorfos. La multiplicidad de un módulo proyectivo indescomponible como sumando del álgebra de grupo (visto como el módulo regular) es la dimensión de su zócalo (para campos suficientemente grandes de característica cero, esto recupera el hecho de que cada módulo simple ocurre con multiplicidad igual a su dimensión como suma directa del módulo regular).
Cada módulo proyectivo indescomponible (y por tanto cada módulo proyectivo) en característica positiva p puede elevarse a un módulo en característica 0. Usando el anillo R como arriba, con campo residual K , el elemento identidad de G puede descomponerse como una suma de mutuamente idempotentes primitivos ortogonales (no necesariamente centrales) de K [ G ]. Cada módulo K [ G ] proyectivo indescomponible es isomorfo a e . K [ G ] para una e idempotente primitiva que ocurre en esta descomposición. El idempotente e se eleva a un idempotente primitivo, digamos E , de R [ G ], y el módulo izquierdo E. R [ G ] tiene reducción (mod p ) isomorfa a e . K [ G ].
Cuando se elimina un módulo proyectivo, el carácter asociado desaparece en todos los elementos de orden divisibles por p y (con una elección consistente de raíces de unidad), concuerda con el carácter de Brauer de la característica original del módulo p en p -elementos regulares. El producto interno (anillo de caracteres habitual) del carácter Brauer de un proyectivo indescomponible con cualquier otro carácter Brauer puede definirse así: esto es 0 si el segundo carácter Brauer es el del zócalo de un proyectivo indescomponible no isomorfo, y 1 si el segundo carácter de Brauer es el de su propio zócalo. La multiplicidad de un carácter irreducible ordinario en el carácter de elevación de un indescomponible proyectivo es igual al número de apariciones del carácter de Brauer del zócalo del indescomponible proyectivo cuando la restricción del carácter ordinario a p -elementos regulares se expresa como una suma de personajes irreductibles de Brauer.
Los factores de composición de los módulos proyectivos indescomponibles se pueden calcular de la siguiente manera: dados los caracteres Brauer irreducibles e irreducibles ordinarios de un grupo finito particular, los caracteres ordinarios irreducibles se pueden descomponer como combinaciones de enteros no negativos de los caracteres Brauer irreducibles. Los números enteros involucrados se pueden colocar en una matriz, con los caracteres irreducibles ordinarios asignados a filas y a los caracteres irreducibles de Brauer asignados a columnas. Esto se conoce como matriz de descomposición y frecuentemente se denomina D. Es habitual colocar los caracteres triviales ordinarios y Brauer en la primera fila y columna respectivamente. El producto de la transpuesta de D con el propio D da como resultado la matriz de Cartan , normalmente denominada C ; esta es una matriz simétrica tal que las entradas en su j -ésima fila son las multiplicidades de los respectivos módulos simples como factores de composición del j -ésimo módulo proyectivo indescomponible. La matriz de Cartan no es singular; de hecho, su determinante es una potencia de la característica de K .
Dado que un módulo proyectivo indescomponible en un bloque determinado tiene todos sus factores de composición en ese mismo bloque, cada bloque tiene su propia matriz de Cartan.
A cada bloque B del álgebra de grupos K [ G ], Brauer asoció un determinado p -subgrupo, conocido como su grupo de defectos (donde p es la característica de K ). Formalmente, es el p -subgrupo D más grande de G para el cual existe un corresponsal de Brauer de B para el subgrupo , donde está el centralizador de D en G.
El grupo de defectos de un bloque es único hasta la conjugación y tiene una fuerte influencia en la estructura del bloque. Por ejemplo, si el grupo de defectos es trivial, entonces el bloque contiene solo un módulo simple, solo un carácter ordinario, los caracteres ordinarios e irreducibles de Brauer concuerdan en elementos de orden primos con respecto a la característica relevante p , y el módulo simple es proyectivo. En el otro extremo, cuando K tiene la característica p , el subgrupo p de Sylow del grupo finito G es un grupo defectuoso para el bloque principal de K [ G ].
El orden del grupo de defectos de un bloque tiene muchas caracterizaciones aritméticas relacionadas con la teoría de la representación. Es el factor invariante más grande de la matriz de Cartan del bloque y ocurre con multiplicidad uno. Además, la potencia de p que divide el índice del grupo de defectos de un bloque es el máximo común divisor de las potencias de p que dividen las dimensiones de los módulos simples en ese bloque, y este coincide con el máximo común divisor de las potencias de p. dividiendo los grados de los caracteres irreducibles ordinarios en ese bloque.
Otras relaciones entre el grupo de defectos de un bloque y la teoría de caracteres incluyen el resultado de Brauer de que si no hay ningún conjugado de la parte p de un elemento del grupo g en el grupo de defectos de un bloque dado, entonces cada carácter irreducible en ese bloque desaparece en g . Ésta es una de las muchas consecuencias del segundo teorema principal de Brauer.
El grupo de defectos de un bloque también tiene varias caracterizaciones en el enfoque más teórico de módulos de la teoría de bloques, basándose en el trabajo de JA Green , que asocia un subgrupo p conocido como vértice a un módulo indescomponible, definido en términos de proyectividad relativa. del módulo. Por ejemplo, el vértice de cada módulo indescomponible en un bloque está contenido (hasta la conjugación) en el grupo de defectos del bloque, y ningún subgrupo adecuado del grupo de defectos tiene esa propiedad.
El primer teorema principal de Brauer establece que el número de bloques de un grupo finito que tienen un p -subgrupo dado como grupo de defectos es el mismo que el número correspondiente para el normalizador en el grupo de ese p -subgrupo.
La estructura de bloques más fácil de analizar con un grupo de defectos no trivial es cuando este último es cíclico. Entonces sólo hay un número finito de tipos de isomorfismos de módulos indescomponibles en el bloque, y la estructura del bloque ahora se comprende bien, en virtud del trabajo de Brauer, EC Dade, JA Green y JG Thompson , entre otros. En todos los demás casos, hay infinitos tipos de isomorfismos de módulos indescomponibles en el bloque.
Los bloques cuyos grupos de defectos no son cíclicos se pueden dividir en dos tipos: mansos y salvajes. Los bloques domesticados (que sólo ocurren para el 2 primo) tienen como grupo de defecto un grupo diédrico , un grupo semidiédrico o un grupo cuaternión (generalizado) , y su estructura ha sido determinada ampliamente en una serie de artículos de Karin Erdmann . Los módulos indescomponibles en bloques salvajes son extremadamente difíciles de clasificar, incluso en principio.
