Grupo Janko J3

Grupo simple esporádico

En el área del álgebra moderna conocida como teoría de grupos , el grupo de Janko J ₃ o el grupo de Higman-Janko-McKay HJM es un grupo simple esporádico de orden.

   2 ⁷  · 3 ⁵  · 5  · 17  · 19 = 50232960.

Historia y propiedades

J ₃ es uno de los 26 grupos esporádicos y fue predicho por Zvonimir Janko en 1969 como uno de los dos nuevos grupos simples que tienen 2 ¹⁺⁴ :A ₅ como centralizador de una involución (el otro es el grupo Janko J 2 ). Graham Higman y John McKay  (1969) demostraron que J _{3 existía.}

En 1982, RL Griess demostró que J ₃ no puede ser un subcociente del grupo de monstruos . ^[1] Por lo tanto, es uno de los 6 grupos esporádicos llamados parias .

J ₃ tiene un grupo de automorfismo externo de orden 2 y un multiplicador de Schur de orden 3, y su triple cobertura tiene una representación unitaria de 9 dimensiones sobre el campo finito con 4 elementos. Weiss (1982) lo construyó mediante una geometría subyacente. Tiene una representación modular de dimensión dieciocho sobre el campo finito con 9 elementos. Tiene una representación proyectiva compleja de dimensión dieciocho.

Construcciones

Usando matrices

J3 puede ser construido por muchos generadores diferentes . ^[2] Dos de la lista ATLAS son matrices de 18x18 sobre el cuerpo finito de orden 9, con la multiplicación de matrices realizada con aritmética de campos finitos :

${\displaystyle \left({\begin{matrix}0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0\\3&7&4&8&4&8&1&5&5&1&2&0&8&6&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8\\4&8&6&2&4&8&0&4&0&8&4&5&0&8&1&1&8&5\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0\\\end{matrix}}\right)}$

y

${\displaystyle \left({\begin{matrix}4&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\4&4&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0\\2&7&4&5&7&4&8&5&6&7&2&2&8&8&0&0&5&0\\4&7&5&8&6&1&1&6&5&3&8&7&5&0&8&8&6&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0&0\\0&0&0&0&0&0&0&0&0&8&0&0&0&0&0&0&0&0\\8&2&5&5&7&2&8&1&5&5&7&8&6&0&0&7&3&8\\\end{matrix}}\right)}$

Usando el subgrupo PSL(2,16)

El grupo de automorfismo J ₃ :2 se puede construir comenzando con el subgrupo PSL(2,16):4 y uniendo 120 involuciones, que se identifican con los 17 subgrupos de Sylow . Tenga en cuenta que estas 120 involuciones son elementos externos de J ₃ :2. Se define entonces la siguiente relación:

${\displaystyle \left({\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}}\sigma t_{(\nu ,\nu 7)}\right)^{5}=1}$

¿Dónde está el automorfismo de Frobenius u orden 4, y es el único ciclo de 17 que envía ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle t_{(\nu ,\nu 7)}}$

${\displaystyle \infty \rightarrow 0\rightarrow 1\rightarrow 7}$

Curtis demostró, usando una computadora, que esta relación es suficiente para definir J ₃ :2. ^[3]

Usando una presentación

En términos de los generadores a, b, cyd, su grupo de automorfismo J ₃ :2 se puede presentar como ${\displaystyle a^{17}=b^{8}=a^{b}a^{-2}=c^{2}=b^{c}b^{3}=(abc)^{4}=(ac)^{17}=d^{2}=[d,a]=[d,b]=(a^{3}b^{-3}cd)^{5}=1.}$

Una presentación para J ₃ en términos de (diferentes) generadores a, b, c, d es ${\displaystyle a^{19}=b^{9}=a^{b}a^{2}=c^{2}=d^{2}=(bc)^{2}=(bd)^{2}=(ac)^{3}=(ad)^{3}=(a^{2}ca^{-3}d)^{3}=1.}$

Subgrupos máximos

Finkelstein y Rudvalis (1974) encontraron las 9 clases de conjugación de subgrupos máximos de J ₃ de la siguiente manera:

• PSL(2,16):2, orden 8160
• PSL(2,19), orden 3420
• PSL(2,19), conjugado con la clase anterior en J ₃ :2
• 2 ⁴ : (3 × A ₅ ), pedido 2880
• PSL(2,17), orden 2448
• (3 × A ₆ ):2 ₂ , orden 2160 - normalizador del subgrupo de orden 3
• 3 ²⁺¹⁺² :8, orden 1944 - normalizador del subgrupo 3 de Sylow
• 2 ¹⁺⁴ :A ₅ , orden 1920 - centralizador de la involución
• 2 ²⁺⁴ : (3 × S ₃ ), orden 1152

Referencias

1. Griess (1982): pág. 93: prueba de que J ₃ es un paria.
2. Página de ATLAS en J3
3. Bradley, JD; Curtis, RT (2006), "Generación simétrica y existencia de J ₃ : 2, el grupo de automorfismo del tercer grupo de Janko", Journal of Algebra , 304 (1): 256–270, doi : 10.1016/j.jalgebra.2005.09. 046

• Finkelstein, L.; Rudvalis, A. (1974), "Los subgrupos máximos del grupo simple de orden 50.232.960 de Janko", Journal of Algebra , 30 (1–3): 122–143, doi : 10.1016/0021-8693(74)90196-3 , ISSN  0021-8693, SEÑOR  0354846
• RL Griess , Jr., El gigante amistoso , Inventiones Mathematicae 69 (1982), 1-102. pag. 93: prueba de que J ₃ es un paria.
• Higman, Graham ; McKay, John (1969), "Sobre el grupo simple de orden 50.232.960 de Janko", Bull. Matemáticas de Londres. Soc. , 1 : 89–94, corrección pág. 219, doi :10.1112/blms/1.1.89, SEÑOR  0246955
• Z. Janko, Algunos nuevos grupos finitos simples de orden finito , 1969 Symposia Mathematica (INDAM, Roma, 1967/68), vol. 1 págs. 25–64 Academic Press, Londres, y en La teoría de los grupos finitos (Editado por Brauer y Sah) pág. 63-64, Benjamín, 1969. SEÑOR 0244371
• Weiss, Richard (1982). "Una construcción geométrica del grupo J ₃ de Janko ". Mathematische Zeitschrift . 179 (179): 91–95. doi :10.1007/BF01173917.

Enlaces externos

• MathWorld: Grupos Janko
• Atlas de representaciones de grupos finitos: J3 versión 2
• Atlas de representaciones de grupos finitos: J3 versión 3