En el campo matemático de la teoría de grafos , el gráfico de Hall-Janko , también conocido como gráfico de Hall-Janko-Wales , es un gráfico no dirigido de 36 regulares con 100 vértices y 1800 aristas. [1]
Es un gráfico fuertemente regular de rango 3 con parámetros (100,36,14,12) y una coclique máxima de tamaño 10. Este conjunto de parámetros no es único, sin embargo, está determinado únicamente por sus parámetros como un gráfico de rango 3. El gráfico Hall-Janko fue construido originalmente por D. Wales para establecer la existencia del grupo Hall-Janko como un subgrupo índice 2 de su grupo de automorfismos .
El gráfico de Hall-Janko se puede construir a partir de objetos en U 3 (3), el grupo simple de orden 6048: [2] [3]
- En U 3 (3) hay 36 subgrupos máximos simples de orden 168. Estos son los vértices de un subgrafo, el gráfico U 3 (3). Un subgrupo de 168 tiene 14 subgrupos máximos de orden 24, isomorfos a S 4 . Dos subgrupos de 168 se llaman adyacentes cuando se cruzan en un subgrupo de 24. La gráfica U 3 (3) es fuertemente regular, con parámetros (36,14,4,6)
- Hay 63 involuciones (elementos de orden 2). Un subgrupo de 168 contiene 21 involuciones, que se definen como vecinas.
- Fuera de U 3 (3), haya un vértice número 100 C , cuyos vecinos son los 36 168 subgrupos. Un subgrupo de 168 tiene entonces 14 vecinos comunes con C y en total 1+14+21 vecinos.
- Se encuentra una involución en 12 de los 168 subgrupos. C y una involución no son adyacentes, con 12 vecinos comunes.
- Dos involuciones se definen como adyacentes cuando generan un subgrupo diédrico de orden 8. [4] Una involución tiene 24 involuciones como vecinas.
El polinomio característico del gráfico de Hall-Janko es . Por tanto, el gráfico de Hall-Janko es un gráfico integral : su espectro se compone enteramente de números enteros.
Referencias
- ^ Weisstein, Eric W. "Gráfico de Hall-Janko". MundoMatemático .
- ^ Andries E. Brouwer, "Gráfico de Hall-Janko".
- ^ Andries E. Brouwer, "Gráfico U3 (3)".
- ^ Robert A. Wilson, 'Los grupos simples finitos', Springer-Verlag (2009), p. 224.
