Un gráfico euclidiano (un gráfico incrustado en algún espacio euclidiano ) es periódico si existe una base de ese espacio euclidiano cuyas traslaciones correspondientes inducen simetrías de ese gráfico (es decir, la aplicación de cualquier traducción de este tipo al gráfico incrustado en el espacio euclidiano deja el gráfico sin alterar). De manera equivalente, un gráfico euclidiano periódico es una realización periódica de un gráfico de cobertura abeliano sobre un gráfico finito. [1] [2] Un gráfico euclidiano es uniformemente discreto si hay una distancia mínima entre dos vértices cualesquiera. Los grafos periódicos están estrechamente relacionados con las teselaciones del espacio (o panales) y la geometría de sus grupos de simetría , de ahí con la teoría geométrica de grupos , así como con la geometría discreta y la teoría de politopos , y áreas similares.
Gran parte del esfuerzo en gráficos periódicos está motivado por aplicaciones a las ciencias naturales y la ingeniería, particularmente de redes de cristales tridimensionales a la ingeniería de cristales , la predicción (diseño) de cristales y el modelado del comportamiento de los cristales. También se han estudiado gráficos periódicos en el modelado de circuitos de integración a muy gran escala (VLSI) . [3]
Un gráfico euclidiano es un par ( V , E ), donde V es un conjunto de puntos (a veces llamados vértices o nodos) y E es un conjunto de aristas (a veces llamadas enlaces), donde cada arista une dos vértices. Mientras que una arista que conecta dos vértices u y v generalmente se interpreta como el conjunto { u , v }, a veces una arista se interpreta como el segmento de línea que conecta u y v, de modo que la estructura resultante es un complejo CW . Existe una tendencia en la literatura poliédrica y química a referirse a los gráficos geométricos como redes (en contraste con las redes poliédricas ), y la nomenclatura en la literatura química difiere de la de la teoría de grafos. [4] La mayor parte de la literatura se centra en gráficos periódicos que son uniformemente discretos en el sentido de que existe e > 0 tal que para dos vértices distintos cualesquiera, su distancia entre ellos es | u - v | > e .
Desde el punto de vista matemático, un gráfico periódico euclidiano es una realización de un gráfico de cobertura abeliano infinito sobre un gráfico finito.
La identificación y clasificación de los grupos espaciales cristalográficos tomó gran parte del siglo XIX, y la confirmación de la completitud de la lista fue terminada por los teoremas de Evgraf Fedorov y Arthur Schoenflies . [5] El problema se generalizó en el decimoctavo problema de David Hilbert , y Ludwig Bieberbach generalizó el teorema de Fedorov-Schoenflies a dimensiones superiores . [6]
El teorema de Fedorov-Schoenflies afirma lo siguiente. Supongamos que a uno se le da un gráfico euclidiano en 3 espacios tal que se cumple lo siguiente:
Entonces, el gráfico euclidiano es periódico porque los vectores de traslaciones en su grupo de simetría abarcan el espacio euclidiano subyacente, y su grupo de simetría es un grupo espacial cristalográfico .
La interpretación en ciencia e ingeniería es que, dado que un gráfico euclidiano que representa un material que se extiende a través del espacio debe satisfacer las condiciones (1), (2) y (3), las sustancias no cristalinas, desde cuasicristales hasta vidrios , deben violar (4). Sin embargo, en el último cuarto de siglo, se ha reconocido que los cuasicristales comparten suficientes propiedades químicas y físicas con los cristales, por lo que existe una tendencia a clasificarlos como "cristales" y ajustar la definición de "cristal" en consecuencia. [7]
Gran parte de la investigación teórica de los grafos periódicos se ha centrado en los problemas de generarlos y clasificarlos.
La mayor parte del trabajo sobre problemas de clasificación se ha centrado en tres dimensiones, particularmente en la clasificación de redes cristalinas , es decir, de gráficos periódicos que podrían servir como descripciones o diseños para la ubicación de átomos u objetos moleculares, con enlaces indicados por bordes, en un cristal. . Uno de los criterios de clasificación más populares es el isomorfismo gráfico, que no debe confundirse con el isomorfismo cristalográfico . Dos grafos periódicos suelen denominarse topológicamente equivalentes si son isomórficos, aunque no necesariamente homotópicos . Aunque el problema del isomorfismo gráfico es reducible en tiempo polinómico a la equivalencia topológica de red cristalina (haciendo que la equivalencia topológica sea candidata a ser "intratable computacionalmente" en el sentido de no ser computable en tiempo polinómico ), una red cristalina generalmente se considera novedosa si y sólo si no se conoce ninguna red topológicamente equivalente. Esto ha centrado la atención en las invariantes topológicas.
Una invariante es el conjunto de ciclos mínimos (a menudo llamados anillos en la literatura química) dispuestos alrededor de vértices genéricos y representados en un símbolo de Schläfli . Los ciclos de una red cristalina están relacionados [8] con otro invariante, el de la secuencia de coordinación (o mapa de capa en topología [9] ), que se define de la siguiente manera. Primero, una secuencia de distancia desde un vértice v en un gráfico es la secuencia n 1 , n 2 , n 3 , ..., donde n i es el número de vértices de la distancia i desde v . La secuencia de coordinación es la secuencia s 1 , s 2 , s 3 , ..., donde s i es la media ponderada de las i -ésimas entradas de las secuencias de distancia de los vértices de las (órbitas de las) redes cristalinas, donde la Los pesos son la proporción asintótica de los vértices de cada órbita. Las sumas acumuladas de la secuencia de coordinación se denominan densidad topológica , y la suma de los primeros diez términos (más 1 para el término ceroésimo), a menudo denominada TD10, es un término de búsqueda estándar en las bases de datos de Crystal Net. Véase [10] [11] para un aspecto matemático de la densidad topológica que está estrechamente relacionado con la propiedad de gran desviación de los paseos aleatorios simples.
Otro invariante surge de la relación entre teselaciones y gráficos euclidianos. Si consideramos un teselado como un conjunto de regiones sólidas (posiblemente poliédricas), caras (posiblemente poligonales), curvas (posiblemente lineales) y vértices, es decir, como un complejo CW , entonces las curvas y los vértices forman un gráfico euclidiano ( o 1-esqueleto ) de la teselación. (Además, el gráfico de adyacencia de los mosaicos induce otro gráfico euclidiano). Si hay un número finito de prototilos en la teselación y la teselación es periódica, entonces el gráfico euclidiano resultante será periódico. En la dirección inversa, los prototipos de un teselado cuyo 1-esqueleto es (topológicamente equivalente a) el gráfico periódico dado, tienen otro invariante, y es este invariante el que calcula el programa informático TOPOS. [12]
Existen varios algoritmos de enumeración de gráficos periódicos, incluida la modificación de redes existentes para producir otras nuevas, [13] pero parece haber dos clases principales de enumeradores.
Uno de los principales algoritmos sistemáticos de enumeración de redes cristalinas que existen [14] se basa en la representación de teselaciones mediante una generalización del símbolo de Schläfli de Boris Delauney y Andreas Dress, mediante el cual cualquier teselación (de cualquier dimensión) puede representarse mediante una estructura finita. , [15] que podemos llamar símbolo de Dress-Delaney . Cualquier enumerador eficaz de símbolos de Dress-Delaney puede enumerar eficazmente aquellas redes periódicas que corresponden a teselaciones. El enumerador tridimensional de símbolos Dress-Delaney de Delgado-Friedrichs et al. ha predicho varias redes de cristal novedosas que luego fueron sintetizadas. [16] Mientras tanto, un enumerador bidimensional de Dress-Delaney que genera reticulaciones de espacio hiperbólico bidimensional que se disecciona quirúrgicamente y se envuelve alrededor de una superficie mínima triple periódica como el Gyroid , Diamond o Primitive , ha generado muchas redes de cristal novedosas. [17] [18]
Otro enumerador existente se centra actualmente en generar redes cristalinas plausibles de zeolitas . La extensión del grupo de simetría al espacio tridimensional permite la caracterización de un dominio (o región) fundamental del espacio tridimensional, cuya intersección con la red induce un subgrafo que, en posición general, tendrá un vértice de cada órbita de vértices. Este subgrafo puede estar conectado o no, y si un vértice se encuentra en un eje de rotación o algún otro punto fijo de alguna simetría de la red, el vértice puede necesariamente estar en el límite de cualquier región fundamental. En este caso, la red se puede generar aplicando el grupo de simetría al subgrafo en la región fundamental. [19] Se han desarrollado otros programas que de manera similar generan copias de un fragmento inicial y las pegan en un gráfico periódico [20]