Giros de curvas elípticas

Curvas matemáticas que son isomorfas sobre cierres algebraicos

En el campo matemático de la geometría algebraica , una curva elíptica E sobre un cuerpo K tiene asociada una torsión cuadrática , es decir, otra curva elíptica que es isomorfa a E sobre una clausura algebraica de K. En particular, un isomorfismo entre curvas elípticas es una isogenia de grado 1, es decir, una isogenia invertible. Algunas curvas tienen torsiones de orden superior, como las torsiones cúbicas y cuárticas . La curva y sus torsiones tienen el mismo j-invariante .

Las aplicaciones de los giros incluyen la criptografía, ^[1] la solución de ecuaciones diofánticas , ^{[2] [3]} y, cuando se generalizan a curvas hiperelípticas , el estudio de la conjetura de Sato-Tate . ^[4]

Giro cuadrático

Supongamos primero que se trata de un campo de característica diferente de 2. Sea una curva elíptica de la forma: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.\,}$

Dado no un cuadrado en , el giro cuadrático de es la curva , definida por la ecuación: ${\displaystyle d\neq 0}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{d}}$

${\displaystyle dy^{2}=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.\,}$

o equivalentemente

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+da_{2}x^{2}+d^{2}a_{4}x+d^{3}a_{6}.\,}$

Las dos curvas elípticas y no son isomorfas en , sino en la extensión del campo . Cualitativamente hablando, la aritmética de una curva y su torsión cuadrática pueden parecer muy diferentes en el campo , mientras que el análisis complejo de las curvas es el mismo; y por lo tanto, una familia de curvas relacionadas por torsión se convierte en un entorno útil en el que estudiar las propiedades aritméticas de las curvas elípticas. ^[5] ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{d}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle K}$

Los giros también se pueden definir cuando el campo base es de característica 2. Sea una curva elíptica de la forma: ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{4}x+a_{6}.\,}$

Dado que es un polinomio irreducible sobre , el giro cuadrático de es la curva , definida por la ecuación: ${\displaystyle d\in K}$ ${\displaystyle X^{2}+X+d}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{d}}$

${\displaystyle y^{2}+a_{1}xy+a_{3}y=x^{3}+(a_{2}+da_{1}^{2})x^{2}+a_{4}x+a_{6}+da_{3}^{2}.\,}$

Las dos curvas elípticas y no son isomorfas sobre , sino sobre la extensión del campo . ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{d}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K[X]/(X^{2}+X+d)}$

Giro cuadrático sobre cuerpos finitos

Si es un cuerpo finito con elementos, entonces para todos existe un tal que el punto pertenece a o (o posiblemente a ambos). De hecho, si está en una sola de las curvas, hay exactamente otra en esa misma curva (lo que puede suceder si la característica no es ). ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E^{d}}$ ${\displaystyle (x,y)}$ ${\displaystyle y'}$ ${\displaystyle 2}$

Como consecuencia, o equivalentemente , donde es la traza del endomorfismo de Frobenius de la curva. ${\displaystyle |E(K)|+|E^{d}(K)|=2q+2}$ ${\displaystyle t_{E^{d}}=-t_{E}}$ ${\displaystyle t_{E}}$

Giro cuártico

Es posible "torcer" curvas elípticas con j-invariante igual a 1728 mediante caracteres cuárticos; ^[6] torciendo una curva mediante un giro cuártico , se obtienen precisamente cuatro curvas: una es isomorfa a , una es su giro cuadrático y solo las otras dos son realmente nuevas. También en este caso, las curvas torcidas son isomorfas sobre la extensión del cuerpo dada por el grado de giro. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle E}$

Giro cúbico

De manera análoga al caso de torsión cuártica, una curva elíptica con j-invariante igual a cero puede ser torcida por caracteres cúbicos. Las curvas obtenidas son isomorfas a la curva de partida sobre la extensión del campo dada por el grado de torsión. ${\displaystyle K}$

Generalización

También se pueden definir giros para otras curvas proyectivas suaves. Sea un cuerpo y una curva sobre ese cuerpo, es decir, una variedad proyectiva de dimensión 1 sobre la que es irreducible y geométricamente conexa. Entonces un giro de es otra curva proyectiva suave para la que existe un -isomorfismo entre y , donde el cuerpo es la clausura algebraica de . ^[4] ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\bar {K}}}$ ${\displaystyle C'}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\bar {K}}}$ ${\displaystyle K}$

Ejemplos

• Curvas de Hesse retorcidas
• Curva de Edwards torcida
• Curva de Doche-Icart-Kohel orientada a triplicación torcida

Referencias

1. Bos, Joppe W.; Halderman, J. Alex; Heninger, Nadia; Moore, Jonathan; Naehrig, Michael; Wustrow, Eric (2014). "Criptografía de curva elíptica en la práctica". En Christin, Nicolas; Safavi-Naini, Reihaneh (eds.). Criptografía financiera y seguridad de datos. Apuntes de clase en informática. Vol. 8437. Berlín, Heidelberg: Springer. págs. 157–175. doi :10.1007/978-3-662-45472-5_11. ISBN 978-3-662-45471-8. Consultado el 10 de abril de 2022 .
2. Mazur, B. ; Rubin, K. (septiembre de 2010). "Rangos de giros de curvas elípticas y décimo problema de Hilbert". Inventiones Mathematicae . 181 (3): 541–575. arXiv : 0904.3709 . Bibcode :2010InMat.181..541M. doi :10.1007/s00222-010-0252-0. ISSN  0020-9910. S2CID  3394387.
3. Poonen, Bjorn; Schaefer, Edward F.; Stoll, Michael (15 de marzo de 2007). "Giros de X(7) y soluciones primitivas para x2+y3=z7". Duke Mathematical Journal . 137 (1). arXiv : math/0508174 . doi :10.1215/S0012-7094-07-13714-1. ISSN  0012-7094. S2CID  2326034.
4. Lombardo, Davide; Lorenzo García, Elisa (febrero de 2019). "Computing twists of hyperelliptic curves". Revista de álgebra . 519 : 474–490. arXiv : 1611.04856 . Código Bibliográfico : 2016arXiv161104856L. doi : 10.1016/j.jalgebra.2018.08.035. S2CID  : 119143097.
5. Rubin, Karl ; Silverberg, Alice (8 de julio de 2002). "Rangos de curvas elípticas". Boletín de la Sociedad Matemática Americana . 39 (4): 455–474. doi : 10.1090/S0273-0979-02-00952-7 . ISSN  0273-0979. MR  1920278.
6. Gouvêa, F. ; Mazur, B. (1991). "La criba de cuadrados libres y el rango de las curvas elípticas" (PDF) . Revista de la Sociedad Americana de Matemáticas . 4 (1): 1–23. doi :10.1090/S0894-0347-1991-1080648-7. JSTOR  2939253.

• P. Stevenhagen (2008). Curvas elípticas (PDF) . Universidad de Leiden.
• CL Stewart y J. Top (octubre de 1995). "Sobre los rangos de giros de curvas elípticas y los valores libres de potencia de formas binarias". Journal of the American Mathematical Society . 8 (4): 943–973. doi : 10.1090/S0894-0347-1995-1290234-5 . JSTOR  2152834.