Fórmula ELSV

En matemáticas, la fórmula ELSV , llamada así por sus cuatro autores Torsten Ekedahl  [sv] , Sergei Lando  [ru] , Michael Shapiro y Alek Vainshtein, es una igualdad entre un número de Hurwitz (que cuenta las coberturas ramificadas de la esfera) y una integral sobre el espacio de módulos de curvas estables .

Se pueden deducir varios resultados fundamentales en la teoría de intersección de espacios de módulos de curvas de la fórmula ELSV, incluida la conjetura de Witten , las restricciones de Virasoro y la conjetura - . ${\displaystyle \lambda _{g}}$

Se generaliza mediante la fórmula de Gopakumar–Mariño–Vafa.

La fórmula

Definir el número de Hurwitz

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

como el número de recubrimientos ramificados de la línea proyectiva compleja ( esfera de Riemann , que son curvas conexas de género g , con n preimágenes numeradas del punto en el infinito que tienen multiplicidades y m puntos de ramificación más simples . Aquí, si un recubrimiento tiene un grupo de automorfismos no trivial G, debe contarse con peso . ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}(\mathbb {C} ))}$ ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$ ${\displaystyle 1/|G|}$

La fórmula ELSV entonces se lee

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}={\dfrac {m!}{\#{\text{Aut}}(k_{1},\ldots ,k_{n})}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}^{k_{i}}}{k_{i}!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}.}$

Aquí la notación es la siguiente:

• ${\displaystyle g\geq 0}$es un entero no negativo;
• ${\displaystyle n\geq 1}$es un entero positivo;
• ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$son números enteros positivos;
• ${\displaystyle \#\operatorname {Aut} (k_{1},\ldots ,k_{n})}$es el número de automorfismos de la n -tupla ${\displaystyle (k_{1},\ldots ,k_{n});}$
• ${\displaystyle m=\sum k_{i}+n+2g-2;}$
• ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$es el espacio de módulos de curvas estables de género g con n puntos marcados;
• E es el fibrado vectorial de Hodge y c(E*) la clase de Chern total de su fibrado vectorial dual;
• ψ _i es la primera clase de Chern del fibrado de líneas cotangentes al i -ésimo punto marcado.

Los números

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

en el lado izquierdo tienen una definición combinatoria y satisfacen propiedades que pueden demostrarse combinatoriamente. Cada una de estas propiedades se traduce en una afirmación sobre las integrales en el lado derecho de la fórmula ELSV (Kazarian 2009).

Los números de Hurwitz

Los números de Hurwitz

${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

también tienen una definición en términos puramente algebraicos. Con K = k ₁ + ... + k _n y m = K + n + 2 g − 2, sean τ ₁ , ..., τ _m transposiciones en el grupo simétrico S _K y σ una permutación con n ciclos numerados de longitudes k ₁ , ..., k _n . Entonces

${\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{m},\sigma )}$

es una factorización transitiva de identidad de tipo ( k ₁ , ..., k _n ) si el producto

${\displaystyle \tau _{1}\cdots \tau _{m}\sigma }$

es igual a la permutación identidad y al grupo generado por

${\displaystyle \tau _{1},\dots ,\tau _{m}}$

es transitivo​

Definición. es el número de factorizaciones transitivas de identidad de tipo ( k ₁ , ..., k _n ) dividido por K !. ${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

Ejemplo A. El número es 1/ k ! por el número de listas de transposiciones cuyo producto es un k -ciclo. En otras palabras, es 1/ k por el número de factorizaciones de un k -ciclo dado en un producto de k + 2 g − 1 transposiciones. ${\displaystyle h_{g;k}}$ ${\displaystyle (\tau _{1},\dots ,\tau _{k+2g-1})}$ ${\displaystyle h_{g;k}}$

La equivalencia entre las dos definiciones de números de Hurwitz (contar las coberturas ramificadas de la esfera o contar las factorizaciones transitivas) se establece describiendo una cobertura ramificada por su monodromía . Más precisamente: elija un punto base en la esfera, numere sus preimágenes de 1 a K (esto introduce un factor de K !, que explica la división por él), y considere las monodromías de la cobertura alrededor del punto de ramificación. Esto conduce a una factorización transitiva.

La integral sobre el espacio de módulos

El espacio de módulos ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ es una pila Deligne–Mumford suave de dimensión (compleja) 3 g − 3 + n . (Heurísticamente, esto se comporta de manera muy similar a una variedad compleja, excepto que las integrales de clases características que son números enteros para las variedades son números racionales para las pilas Deligne–Mumford).

El fibrado de Hodge E es el fibrado vectorial de rango g sobre el espacio de módulos cuya fibra sobre una curva ( C , x ₁ , ..., x _n ) con n puntos marcados es el espacio de diferenciales abelianas sobre C . Sus clases de Chern se denotan por ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

${\displaystyle \lambda _{j}=c_{j}(E)\in H^{2j}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).}$

Tenemos

${\displaystyle c(E^{*})=1-\lambda _{1}+\lambda _{2}-\cdots +(-1)^{g}\lambda _{g}.}$

Las clases ψ. Introducir fibrados lineales sobre . La fibra de sobre una curva ( C , x ₁ , ..., x _n ) es la línea cotangente a C en x _i . La primera clase de Chern de se denota por ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{1},\ldots ,{\mathcal {L}}_{n}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}_{i}}$

${\displaystyle \psi _{i}=c_{1}({\mathcal {L}}_{i})\in H^{2}({\overline {\mathcal {M}}}_{g,n},\mathbf {Q} ).}$

El integrando. La fracción se interpreta como , donde la suma se puede cortar en el grado 3 g − 3 + n (la dimensión del espacio de módulos). Por lo tanto, el integrando es un producto de n + 1 factores. Desarrollamos este producto, extraemos de él la parte de grado 3 g − 3 + n y lo integramos sobre el espacio de módulos. ${\displaystyle 1/(1-k_{i}\psi _{i})}$ ${\displaystyle 1+k_{i}\psi _{i}+k_{i}^{2}\psi _{i}^{2}+\cdots }$

La integral como polinomio. Se deduce que la integral

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}}$

es un polinomio simétrico de variables k ₁ , ..., k _n , cuyos monomios tienen grados entre 3 g − 3 + n y 2 g − 3 + n . El coeficiente del monomio es igual a ${\displaystyle k_{1}^{d_{1}}\cdots k_{n}^{d_{n}}}$

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}(-1)^{j}\lambda _{j}\psi _{1}^{d_{1}}\cdots \psi _{n}^{d_{n}},}$

dónde

${\displaystyle j=3g-3+n-\sum d_{i}.}$

Observación. La polinomia de los números

${\displaystyle {\frac {h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}{m!}}\prod _{i=1}^{n}{\frac {k_{i}!}{k_{i}^{k_{i}}}}}$

Fue conjeturada por primera vez por IP Goulden y DM Jackson. No se conoce ninguna prueba independiente de la fórmula ELSV.

Ejemplo B. Sea g = n = 1. Entonces

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}{\frac {c(E^{*})}{(1-k_{1}\psi _{1})\cdots (1-k_{n}\psi _{n})}}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k_{1}\psi _{1}}}=\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k_{1}-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right].}$

Ejemplo

Sea n = g = 1. Para simplificar la notación, denotemos k ₁ por k . Tenemos m = K + n + 2 g − 2 = k + 1.

Según el Ejemplo B, la fórmula ELSV en este caso se lee

${\displaystyle h_{1;k}=(k+1)!{\frac {k^{k}}{k!}}\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}{\frac {1-\lambda _{1}}{1-k\psi _{1}}}=(k+1)k^{k}\left\{\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}\right]k-\left[\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}\right]\right\}.}$

Por otra parte, según el Ejemplo A, el número de Hurwitz h _{1, k} es igual a 1/ k por el número de maneras de descomponer un k -ciclo en el grupo simétrico S _k en un producto de k + 1 transposiciones. En particular, h _{1, 1} = 0 (ya que no hay transposiciones en S ₁ ), mientras que h _{1, 2} = 1/2 (ya que hay una factorización única de la transposición (1 2) en S ₂ en un producto de tres transposiciones).

Conectando estos dos valores a la fórmula ELSV encontramos

${\displaystyle \int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\psi _{1}=\int _{{\overline {\mathcal {M}}}_{1,1}}\lambda _{1}={\frac {1}{24}}.}$

De lo cual deducimos

${\displaystyle h_{1;k}={\frac {(k^{2}-1)k^{k}}{24}}.}$

Historia

La fórmula ELSV fue anunciada por Ekedahl et al. (1999), pero con un signo erróneo. Fantechi y Pandharipande (2002) la demostraron para k ₁ = ... = k _n = 1 (con el signo corregido). Graber y Vakil (2003) demostraron la fórmula en su total generalidad utilizando las técnicas de localización. La prueba anunciada por los cuatro autores iniciales siguió (Ekedahl et al. 2001). Ahora que el espacio de aplicaciones estables a la línea proyectiva relativa a un punto ha sido construido por Li (2001), se puede obtener una prueba inmediatamente aplicando la localización virtual a este espacio.

Kazarian (2009), basándose en el trabajo anterior de varias personas, proporcionó una forma unificada de deducir la mayoría de los resultados conocidos en la teoría de intersección a partir de la fórmula ELSV. ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$

Idea de prueba

Sea el espacio de aplicaciones estables f desde una curva de género g hasta P ¹ ( C ) tal que f tiene exactamente n polos de órdenes . ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$ ${\displaystyle k_{1},\dots ,k_{n}}$

El morfismo de ramificación br o la función de Lyashko–Looijenga asigna al conjunto no ordenado de sus m puntos de ramificación en C teniendo en cuenta las multiplicidades. En realidad, esta definición solo funciona si f es una función suave, pero tiene una extensión natural al espacio de funciones estables. Por ejemplo, el valor de f en un nodo se considera un punto de ramificación doble, como se puede ver al observar la familia de curvas C _t dada por la ecuación xy = t y la familia de funciones f _t ( x , y ) = x + y . Cuando t → 0, dos puntos de ramificación de f _t tienden hacia el valor de f ₀ en el nodo de C ₀ . ${\displaystyle f\in {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

El morfismo ramificado es de grado finito, pero tiene infinitas fibras. Nuestro objetivo ahora es calcular su grado de dos maneras diferentes.

La primera forma es contar las preimágenes de un punto genérico en la imagen. En otras palabras, contamos las coberturas ramificadas de P ¹ ( C ) con un punto de ramificación de tipo ( k ₁ , ..., k _n ) en ∞ y m puntos de ramificación simples fijos más. Este es precisamente el número de Hurwitz . ${\displaystyle h_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

La segunda forma de encontrar el grado de br es mirar la preimagen del punto más degenerado, es decir, poner todos los m puntos de ramificación juntos en 0 en C.

La preimagen de este punto en es una fibra infinita de br isomorfa al espacio de módulos . De hecho, dada una curva estable con n puntos marcados enviamos esta curva a 0 en P ¹ ( C ) y adjuntamos a sus puntos marcados n componentes racionales en los que la función estable tiene la forma . Así obtenemos todas las funciones estables en no ramificadas fuera de 0 e ∞. Los métodos estándar de geometría algebraica permiten encontrar el grado de una función observando una fibra infinita y su fibrado normal. El resultado se expresa como una integral de ciertas clases características sobre la fibra infinita. En nuestro caso, esta integral resulta ser igual al lado derecho de la fórmula ELSV. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$ ${\displaystyle {\overline {\mathcal {M}}}_{g,n}}$ ${\displaystyle z\mapsto z^{k_{1}},\dots ,z\mapsto z^{k_{n}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{g;k_{1},\dots ,k_{n}}}$

Así, la fórmula ELSV expresa la igualdad entre dos formas de calcular el grado del morfismo de ramificación.

Referencias

• Ekedahl, T.; Lando, S.; Shapiro, M.; Vainstein, A. (1999). "Sobre los números de Hurwitz y las integrales de Hodge". Cuentas Rendus de la Academia de Ciencias . 328 (12): 1175-1180. arXiv : matemáticas/9902104 . Código bibliográfico : 1999CRASM.328.1175E. doi :10.1016/S0764-4442(99)80435-2. S2CID  15218497.
• Ekedahl, T.; Lando, S.; Shapiro, M.; Vainstein, A. (2001). "Números de Hurwitz e intersecciones en espacios de módulos de curvas". Invenciones Mathematicae . 146 (2): 297–327. arXiv : matemáticas/0004096 . Código Bib : 2001 InMat.146..297E. doi :10.1007/s002220100164. S2CID  10881259.
• Fantechi, B.; Pandharipande, R. (2002). "Mapas estables y divisores de ramas". Composición Matemática . 130 (3): 345–364. arXiv : matemáticas/9905104 . Código Bib : 1999 matemáticas ...... 5104F. doi :10.1023/A:1014347115536. S2CID  1124032.
• Graber, T.; Vakil, R. (2003). "Integrales de Hodge y números de Hurwitz mediante localización virtual". Compositio Mathematica . 135 (1): 25–36. arXiv : math/0003028 . Bibcode :2000math......3028G. doi :10.1023/A:1021791611677. S2CID  15706096.
• Kazarian, Maxim (2009). "Jerarquía KP para integrales de Hodge". Avances en Matemáticas . 221 (1): 1–21. arXiv : 0809.3263 . doi : 10.1016/j.aim.2008.10.017 .
• Li, Jun (2001). "Morfismos estables para esquemas singulares y morfismos estables relativos". Journal of Differential Geometry . 57 (3): 509–578. arXiv : math/0009097 . doi : 10.4310/jdg/1090348132 .