Expresión (matemáticas)

Una combinación finita de símbolos que describe un objeto matemático.

En matemáticas , una expresión es una disposición escrita de símbolos que siguen las convenciones sintácticas de la notación matemática que dependen del contexto . Los símbolos pueden indicar números ( constantes ), variables , operaciones , funciones . Otros símbolos incluyen signos de puntuación y corchetes (a menudo utilizados para agrupar, es decir, para considerar una parte de la expresión como un solo símbolo).

Muchos autores distinguen una expresión de una fórmula , denotando la primera un objeto matemático y la segunda un enunciado sobre objetos matemáticos. ^[1] Esto es análogo al lenguaje natural, donde una frase nominal se refiere a un objeto y una oración completa se refiere a un hecho. Por ejemplo, es una expresión, mientras que es una fórmula. ${\displaystyle 8x-5}$ ${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

Las expresiones se pueden evaluar total o parcialmente reemplazando las operaciones que aparecen en ellas con su resultado. Por ejemplo, la expresión se evalúa parcialmente y totalmente como ${\displaystyle 8\times 2-5}$ ${\displaystyle 16-5}$ ${\displaystyle 11.}$

Una expresión se utiliza a menudo para definir una función , tomando las variables como argumentos o entradas de la función y asignando la salida como la evaluación total de la expresión resultante. ^[2] Por ejemplo, y define la función que asocia a cada número su cuadrado más uno. Una expresión sin variables definiría una función constante . ${\displaystyle x\mapsto x^{2}+1}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}+1}$

Ejemplos

El uso de expresiones va desde lo simple:

${\displaystyle 3+8}$

${\displaystyle 8x-5}$   ( polinomio lineal )

${\displaystyle 7{{x}^{2}}+4x-10}$   ( polinomio cuadrático )

${\displaystyle {\frac {x-1}{{{x}^{2}}+12}}}$   ( fracción racional )

al complejo:

${\displaystyle f(a)+\sum _{k=1}^{n}\left.{\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\right|_{t=0}f(u(t))}$ ${\displaystyle +\int _{0}^{1}{\frac {(1-t)^{n}}{n!}}{\frac {d^{n+1}}{dt^{n+1}}}f(u(t))\,dt.}$

Variables y evaluación

Muchas expresiones incluyen variables . Cualquier variable se puede clasificar como variable libre o variable ligada .

Para una combinación dada de valores de las variables libres, se puede evaluar una expresión, aunque para algunas combinaciones de valores de las variables libres, el valor de la expresión puede no estar definido. Así, una expresión representa una operación sobre constantes y variables libres y cuya salida es el valor resultante de la expresión. ^[3]

Por ejemplo, si la expresión se evalúa con x = 10, y = 5 , se evalúa como 2; esto se denota ${\displaystyle x/y}$

${\displaystyle x/y{\text{ }}|_{x=10,\,y=5}=2.}$

La evaluación no está definida para y = 0

Se dice que dos expresiones son equivalentes si, para cada combinación de valores de las variables libres, tienen el mismo resultado, es decir, representan la misma función. ^{[4] [5]} La equivalencia entre dos expresiones se llama identidad y a menudo se denota con ${\displaystyle \equiv .}$

Por ejemplo, en la expresión la variable n está ligada y la variable x está libre. Esta expresión es equivalente a la expresión más simple 12 x ; es decir, el valor de x = 3 es 36, que se puede denotar ${\textstyle \sum _{n=1}^{3}(2nx),}$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx)\equiv 12x.}$$ $${\displaystyle \sum _{n=1}^{3}(2nx){\Big |}_{x=3}=36.}$$

Sintaxis versus semántica

Sintaxis

Una expresión es una construcción sintáctica. Debe estar bien formado . Se puede describir de manera un tanto informal de la siguiente manera: los operadores permitidos deben tener el número correcto de entradas en los lugares correctos, los caracteres que componen estas entradas deben ser válidos, tener un orden claro de operaciones , etc. Cadenas de símbolos que violan la Las reglas de sintaxis no están bien formadas y no son expresiones matemáticas válidas. ^[6]

Por ejemplo, en aritmética , la expresión 1 + 2 × 3 está bien formada, pero

${\displaystyle \times 4)x+,/y}$.

no lo es.

Semántica

La semántica es el estudio del significado. La semántica formal consiste en dar significado a las expresiones.

En álgebra , se puede utilizar una expresión para designar un valor, que podría depender de los valores asignados a las variables que aparecen en la expresión. ^{[ cita necesaria ]} La determinación de este valor depende de la semántica adjunta a los símbolos de la expresión. La elección de la semántica depende del contexto de la expresión. La misma expresión sintáctica 1 + 2 × 3 puede tener diferentes valores (matemáticamente 7, pero también 9), dependiendo del orden de las operaciones implicado por el contexto (Ver también Operaciones § Calculadoras ).

Las reglas semánticas pueden declarar que ciertas expresiones no designan ningún valor (por ejemplo cuando implican división por 0); Se dice que tales expresiones tienen un valor indefinido, pero de todos modos son expresiones bien formadas. En general el significado de las expresiones no se limita a designar valores; por ejemplo, una expresión puede designar una condición o una ecuación que debe resolverse, o puede verse como un objeto en sí mismo que puede manipularse de acuerdo con ciertas reglas. ^{[ cita necesaria ]} Ciertas expresiones que designan un valor expresan simultáneamente una condición que se supone que se cumple, por ejemplo aquellas que involucran al operador para designar una suma directa interna . ${\displaystyle \oplus }$

Definición formal

Una expresión bien formada en matemáticas puede describirse como parte de un lenguaje formal y definirse recursivamente de la siguiente manera: ^[7]

El alfabeto consta de:

• Un conjunto de Constantes/Definidos: Símbolos que representan objetos fijos en el dominio del discurso , como números (1, 2,5, 1/7,...), conjuntos ( ,...), valores de verdad (T o F), etc. ${\displaystyle \varnothing ,\{1,2,3\}}$

• Un conjunto de nombres de variables: una cantidad infinita y contable de variables utilizadas para representar objetos matemáticos en el dominio. (Por lo general, letras como x o y )

• Un conjunto de operaciones: símbolos que representan operaciones que se pueden realizar en elementos en el dominio, como suma (+), multiplicación (×) u operaciones de conjunto como unión (∪) o intersección (∩). (Las funciones pueden entenderse como operaciones unarias )

• Corchetes ( )

Con este alfabeto, las reglas recursivas para formar expresiones bien formadas (WFE) son las siguientes:

• Cualquier constante o variable definida son expresiones atómicas (las WFE más simples). Por ejemplo, las expresiones " " o " " son expresiones sintácticamente correctas. ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle x}$

• Sea una metavariable para alguna operación n-aria sobre el dominio, y sean metavariables para cualquier WFE. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n}}$

Entonces también es una WFE. ${\displaystyle F(\phi _{1},\phi _{2},...\phi _{n})}$

Por ejemplo, si el dominio del discurso son los números reales , que pueden denotar la operación binaria +, entonces es un WFE. O puede ser la operación unaria , entonces también lo es. ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \phi _{1}+\phi _{2}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \surd }$ ${\displaystyle {\sqrt {\phi _{1}}}}$

Inicialmente, los corchetes rodean cada expresión no atómica, pero se pueden eliminar en los casos en los que existe un orden definido de operaciones o en los que el orden no importa (es decir, en los que las operaciones son asociativas ).

Una expresión bien formada puede considerarse como un árbol de sintaxis . ^[8] Los nodos hoja son siempre expresiones atómicas. Las operaciones y tienen exactamente dos nodos secundarios, mientras que las operaciones y tienen exactamente uno. Hay infinitas WFE, sin embargo, cada WFE tiene un número finito de nodos. ${\displaystyle +}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\textstyle {\sqrt {x}}}$ ${\textstyle {\text{ln}}(x)}$ ${\textstyle {\frac {d}{dx}}}$

cálculo lambda

Los lenguajes formales permiten formalizar el concepto de expresiones bien formadas.

En la década de 1930, Alonzo Church y Stephen Kleene introdujeron un nuevo tipo de expresiones, llamadas expresiones lambda , para formalizar funciones y su evaluación. ^{[9] [a]} Forman la base del cálculo lambda , un sistema formal utilizado en la lógica matemática y la teoría de los lenguajes de programación .

La equivalencia de dos expresiones lambda es indecidible . Este es también el caso de las expresiones que representan números reales, que se construyen a partir de números enteros utilizando las operaciones aritméticas, el logaritmo y la exponencial ( teorema de Richardson ).

Tipos de expresiones

expresión algebraica

Una expresión algebraica es una expresión construida a partir de constantes algebraicas , variables y operaciones algebraicas ( suma , resta , multiplicación , división y exponenciación por un número racional ). ^[10] Por ejemplo, 3 x ² − 2 xy + c es una expresión algebraica. Ya que sacar la raíz cuadrada es lo mismo que elevar a la potencia ⁠1/2⁠ , la siguiente también es una expresión algebraica:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}}}$

Ver también: ecuación algebraica y cierre algebraico

Expresión polinómica

Una expresión polinómica es una expresión construida con escalares (números de elementos de algún campo), indeterminados y los operadores de suma, multiplicación y exponenciación a potencias enteras no negativas; Por ejemplo ${\displaystyle 3(x+1)^{2}-xy.}$

Usando asociatividad , conmutatividad y distributividad , toda expresión polinómica equivale a un polinomio , es decir, una expresión que es una combinación lineal de productos de potencias enteras de los indeterminados. Por ejemplo, la expresión polinómica anterior es equivalente (denota el mismo polinomio que ${\displaystyle 3x^{2}-xy+6x+3.}$

Muchos autores no distinguen polinomios y expresiones polinomiales. En este caso, la expresión de una expresión polinómica como una combinación lineal se denomina forma canónica , forma normal o forma expandida del polinomio.

Expresión computacional

En informática , una expresión es una entidad sintáctica en un lenguaje de programación que puede evaluarse para determinar su valor ^[11] o no terminar, en cuyo caso la expresión no está definida. ^[12] Es una combinación de una o más constantes , variables , funciones y operadores que el lenguaje de programación interpreta (de acuerdo con sus reglas particulares de precedencia y de asociación ) y calcula para producir ("retornar", en un entorno con estado ). ) otro valor. Este proceso, para expresiones matemáticas, se llama evaluación . En configuraciones simples, el valor resultante suele ser uno de varios tipos primitivos , como cadena , booleano o numérico (como entero , punto flotante o complejo ).

En álgebra informática , las fórmulas se consideran expresiones que pueden evaluarse como booleanas, dependiendo de los valores que se dan a las variables que aparecen en las expresiones. Por ejemplo, toma el valor falso si a x se le da un valor menor que 1 y el valor verdadero en caso contrario. ${\displaystyle 8x-5\geq 3}$

Las expresiones a menudo se contrastan con declaraciones : entidades sintácticas que no tienen valor (una instrucción).

Representación de la expresión (8 − 6) × (3 + 1) como un árbol Lisp , de una tesis de maestría de 1985 ^[13]

Excepto los números y las variables , cada expresión matemática puede verse como el símbolo de un operador seguido de una secuencia de operandos. En el software de álgebra informática, las expresiones suelen representarse de esta manera. Esta representación es muy flexible y muchas cosas que a primera vista no parecen expresiones matemáticas, pueden representarse y manipularse como tales. Por ejemplo, una ecuación es una expresión con "=" como operador, una matriz se puede representar como una expresión con "matriz" como operador y sus filas como operandos.

Ver: Expresión de álgebra informática

expresión lógica

En lógica matemática , una "expresión lógica" puede referirse tanto a términos como a fórmulas . Un término denota un objeto matemático, mientras que una fórmula denota un hecho matemático. En particular, los términos aparecen como componentes de una fórmula.

Un término de primer orden se construye recursivamente a partir de símbolos constantes, variables y símbolos de funciones . Una expresión formada aplicando un símbolo de predicado a un número apropiado de términos se llama fórmula atómica , que se evalúa como verdadera o falsa en lógica bivalente , dada una interpretación . Por ejemplo, ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x+1)*(x+1)}$ es un término formado a partir de la constante 1, la variable x y los símbolos de función binaria ⁠ ⁠ ${\displaystyle +}$ y ⁠ ⁠ ${\displaystyle *}$ ; es parte de la fórmula atómica ⁠ ⁠ ${\displaystyle (x+1)*(x+1)\geq 0}$ que se evalúa como verdadera para cada valor real de x .

Ver también

• expresión analítica
• Expresión de forma cerrada
• Combinador
• Definido e indefinido
• Programación funcional
• oración numérica
• Firma (lógica)
• Expresión bien definida

Notas

1. Stoll, Robert R. Teoría y lógica de conjuntos . San Francisco, CA: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-63829-4.
2. Codd, Edgar Frank (junio de 1970). "Un modelo relacional de datos para grandes bancos de datos compartidos" (PDF) . Comunicaciones de la ACM . 13 (6): 377–387. doi :10.1145/362384.362685. S2CID  207549016. Archivado (PDF) desde el original el 8 de septiembre de 2004 . Consultado el 29 de abril de 2020 .
3. CC Chang ; H. Jerome Keisler (1977). Teoría de modelos . Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas. vol. 73. Holanda del Norte.; aquí: Apartado 1.3
4. Ecuación. Enciclopedia de Matemáticas. URL: http://encyclopediaofmath.org/index.php?title=Equation&oldid=32613
5. Pratt, Vaughan, "Álgebra", The Stanford Encyclopedia of Philosophy (edición de invierno de 2022), Edward N. Zalta y Uri Nodelman (eds.), URL: https://plato.stanford.edu/entries/algebra/#Laws
6. Stoll, Robert R. Teoría y lógica de conjuntos . San Francisco, CA: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-63829-4.
7. CC Chang ; H. Jerome Keisler (1977). Teoría de modelos . Estudios de Lógica y Fundamentos de las Matemáticas. vol. 73. Holanda del Norte.; aquí: Apartado 1.3
8. Hermes, Hans (1973). Introducción a la Lógica Matemática . Springer Londres. ISBN 3540058192. ISSN  1431-4657.; aquí: Sección.II.1.3
9. Iglesia, Alonso (1932). "Un conjunto de postulados para el fundamento de la lógica". Anales de Matemáticas . Serie 2. 33 (2): 346–366. doi :10.2307/1968337. JSTOR  1968337.
10. Morris, Christopher G. (1992). Diccionario de prensa académica de ciencia y tecnología . Publicaciones profesionales del Golfo. pag. 74. expresión algebraica sobre un campo.
11. Mitchell, J. (2002). Conceptos en lenguajes de programación. Cambridge: Cambridge University Press, 3.4.1 Declaraciones y expresiones , pág. 26
12. Maurizio Gabbrielli, Simone Martini (2010). Lenguajes de programación: principios y paradigmas. Springer London, 6.1 Expresiones , pág. 120
13. Cassidy, Kevin G. (diciembre de 1985). La viabilidad de la recuperación automática de almacenamiento con ejecución simultánea de programas en un entorno LISP (PDF) (tesis de maestría). Escuela de Posgrado Naval, Monterey/CA. pag. 15. ADA165184.

1. Para obtener una historia completa, consulte "Historia del cálculo Lambda y lógica combinatoria" de Cardone y Hindley (2006).

Referencias

• Enrojecer, John (2011). "Álgebra elemental". Conocimiento del mundo plano . Archivado desde el original el 15 de noviembre de 2014 . Consultado el 18 de marzo de 2012 .