Indefinido (matemáticas)

Expresión a la que no se le asigna una interpretación.

En matemáticas , el término indefinido suele utilizarse para referirse a una expresión a la que no se le asigna una interpretación o un valor (como una forma indeterminada , que tiene la posibilidad de asumir valores diferentes). ^[1] El término puede adquirir varios significados diferentes según el contexto. Por ejemplo:

• En diversas ramas de las matemáticas, ciertos conceptos se introducen como nociones primitivas (p. ej., los términos " punto ", " línea " y " plano " en geometría ). Como estos términos no están definidos en términos de otros conceptos, se los puede denominar "términos indefinidos".
• Se dice que una función está "indefinida" en puntos fuera de su dominio  ; por ejemplo, la función de valor real no está definida para   . ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x=0}$
• En álgebra , algunas operaciones aritméticas pueden no asignar un significado a ciertos valores de sus operandos (por ejemplo, división por cero ). En cuyo caso, las expresiones que involucran dichos operandos se denominan "indefinidas". ^[2]

Términos indefinidos

En la antigüedad, los geómetras intentaron definir cada término. Por ejemplo, Euclides definió un punto como "aquello que no tiene parte". En los tiempos modernos, los matemáticos reconocen que intentar definir cada palabra conduce inevitablemente a definiciones circulares y, por lo tanto, dejan algunos términos (como "punto") sin definir (consulte la noción primitiva para obtener más información).

Este enfoque más abstracto permite generalizaciones fructíferas. En topología , un espacio topológico puede definirse como un conjunto de puntos dotados de ciertas propiedades, pero en el contexto general, la naturaleza de estos "puntos" queda completamente indefinida. Asimismo, en la teoría de categorías , una categoría consta de "objetos" y "flechas", que nuevamente son términos primitivos e indefinidos. Esto permite aplicar teorías matemáticas tan abstractas a situaciones concretas muy diversas.

en aritmética

La expresión no está definida en aritmética, como se explica en la división por cero (la expresión se usa en cálculo para representar una forma indeterminada ). ${\displaystyle {\frac {n}{0}},n\neq 0}$ ${\displaystyle {\frac {0}{0}}}$

Los matemáticos tienen diferentes opiniones sobre si 0 ⁰ debe definirse como igual a 1 o dejarse sin definir.

Valores para los cuales las funciones no están definidas

El conjunto de números para los cuales se define una función se llama dominio de la función. Si un número no está en el dominio de una función, se dice que la función está "indefinida" para ese número. Dos ejemplos comunes son , que no está definido para , y , que no está definido (en el sistema de números reales) para negativo  . ${\textstyle f(x)={\frac {1}{x}}}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}$ ${\displaystyle x}$

En trigonometria

En trigonometría, para todos , las funciones y no están definidas para todos , mientras que las funciones y no están definidas para todos . ${\displaystyle n\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \tan \theta }$ ${\displaystyle \sec \theta }$ ${\textstyle \theta =\pi \left(n-{\frac {1}{2}}\right)}$ ${\displaystyle \cot \theta }$ ${\displaystyle \csc \theta }$ ${\displaystyle \theta =\pi n}$

En análisis complejos

En análisis complejo , un punto donde una función holomorfa no está definida se llama singularidad . Se distingue entre singularidades removibles (es decir, la función se puede extender holomorfamente a ), polos (es decir, la función se puede extender meromorfamente a ), y singularidades esenciales (es decir, no puede existir ninguna extensión meromorfa a ). ${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle z}$

En la teoría de la computabilidad

Notación usando ↓ y ↑

En la teoría de la computabilidad , si es una función parcial de y es un elemento de , entonces esto se escribe como y se lee como " f ( a ) está definida ". ^[3] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle f(a)\downarrow }$

Si no está en el dominio de , entonces se escribe como y se lee como " no está definido ". ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(a)\uparrow }$ ${\displaystyle f(a)}$

Es importante distinguir entre "lógica de la existencia" (la estándar) y "lógica de la certeza". Ambas flechas no están bien definidas como predicados en la lógica de la existencia, que normalmente utiliza la semántica de funciones totales. El término f(x) es un término y tiene algún valor, por ejemplo , pero al mismo tiempo puede ser un valor legítimo de una función. Por tanto el predicado "definido" no respeta la igualdad, por tanto no está bien definido. ${\displaystyle \emptyset }$ ${\displaystyle \emptyset }$

La lógica de la precisión tiene un cálculo de predicados diferente; por ejemplo, la especialización de una fórmula con cuantificador universal requiere que el término esté bien definido. Además, requiere la introducción de una noción de cuasiigualdad, lo que hace necesaria la reformulación de los axiomas. ^[4] ${\displaystyle (\forall x:\varphi )\&(t\downarrow )\Longrightarrow \varphi [t/x]}$

Los símbolos del infinito

En análisis , teoría de la medida y otras disciplinas matemáticas, el símbolo se utiliza con frecuencia para denotar un pseudonúmero infinito, junto con su negativo . El símbolo no tiene un significado bien definido por sí solo, pero una expresión como es una abreviatura de una secuencia divergente , que en algún momento es eventualmente mayor que cualquier número real dado. ${\displaystyle \infty }$ ${\displaystyle -\infty }$ ${\displaystyle \left\{a_{n}\right\}\rightarrow \infty }$

La realización de operaciones aritméticas estándar con los símbolos no está definida. Algunas extensiones, sin embargo, definen las siguientes convenciones de suma y multiplicación: ${\displaystyle \pm \infty }$

• ${\displaystyle x+\infty =\infty }$   para todos . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \cup \{\infty \}}$
• ${\displaystyle -\infty +x=-\infty }$   para todos . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$
• ${\displaystyle x\cdot \infty =\infty }$   para todos . ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{+}}$

No existe ninguna extensión sensata de la suma y la multiplicación con en los siguientes casos: ${\displaystyle \infty }$

• ${\displaystyle \infty -\infty }$
• ${\displaystyle 0\cdot \infty }$(aunque en la teoría de la medida , esto a menudo se define como ) ${\displaystyle 0}$
• ${\displaystyle {\frac {\infty }{\infty }}}$
• ${\displaystyle -\infty [{1(0)}]}$

Para obtener más detalles, consulte la recta de números reales extendida .

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Indefinido". mathworld.wolfram.com . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
2. Bogomolny, Alejandro . "Indefinido versus indeterminado en matemáticas". Cortar el nudo . Consultado el 15 de diciembre de 2019 .
3. Enderton, Herbert B. (2011). Computabilidad: una introducción a la teoría de la recursividad . Elseveier. págs. 3–6. ISBN 978-0-12-384958-8.
4. Granjero, William M.; Guttman, Joshua D. (octubre de 2000). "Una teoría de conjuntos con soporte para funciones parciales" (PDF) . Estudios Lógica . 66 (1, Parcialidad y Modalidad): 59–78.

Otras lecturas

• Inteligente, James R. (1988). Geometrías modernas (Tercera ed.). Brooks/Cole. ISBN 0-534-08310-2.