Eugenio Beltrami (16 de noviembre de 1835 - 18 de febrero de 1900) fue un matemático italiano notable por su trabajo sobre geometría diferencial y física matemática . Su trabajo se destacó especialmente por la claridad de la exposición. Fue el primero en demostrar la coherencia de la geometría no euclidiana modelándola en una superficie de curvatura constante , la pseudoesfera , y en el interior de una esfera unitaria de n dimensiones , el llamado modelo de Beltrami-Klein . También desarrolló la descomposición de valores singulares para matrices , que ha sido redescubierta posteriormente varias veces. El uso del cálculo diferencial por parte de Beltrami para problemas de física matemática influyó indirectamente en el desarrollo del cálculo tensorial por parte de Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio Levi-Civita .
Beltrami nació en 1835 en Cremona ( Lombardía ), entonces parte del Imperio austríaco y ahora parte de Italia. Ambos padres eran los artistas Giovanni Beltrami y la veneciana Elisa Barozzi. Comenzó a estudiar matemáticas en la Universidad de Pavía en 1853, pero fue expulsado del Ghislieri College en 1856 debido a sus opiniones políticas: simpatizaba con el Risorgimento . Durante este tiempo fue enseñado e influenciado por Francesco Brioschi . Tuvo que interrumpir sus estudios debido a dificultades económicas y pasó los siguientes años como secretario trabajando para la compañía ferroviaria Lombardía-Venecia. Fue designado profesor de la Universidad de Bolonia en 1862, año en el que publicó su primer artículo de investigación. A lo largo de su vida, Beltrami ocupó diversos puestos docentes en las universidades de Pisa , Roma y Pavía. Desde 1891 hasta el final de su vida, Beltrami vivió en Roma. Se convirtió en presidente de la Accademia dei Lincei en 1898 y senador del Reino de Italia en 1899.
En 1868 Beltrami publicó dos memorias (escritas en italiano; traducciones al francés de J. Hoüel aparecieron en 1869) que trataban de la coherencia y las interpretaciones de la geometría no euclidiana de János Bolyai y Nikolai Lobachevsky . En su "Ensayo sobre una interpretación de la geometría no euclidiana", Beltrami propuso que esta geometría podría realizarse sobre una superficie de curvatura negativa constante , una pseudoesfera . Para el concepto de Beltrami, las líneas de la geometría están representadas por geodésicas en la pseudoesfera y los teoremas de la geometría no euclidiana pueden demostrarse dentro del espacio euclidiano tridimensional ordinario , y no derivarse de forma axiomática, como lo habían hecho anteriormente Lobachevsky y Bolyai . En 1840, Ferdinand Minding ya consideraba los triángulos geodésicos sobre la pseudoesfera y señalaba que las correspondientes "fórmulas trigonométricas" se obtienen a partir de las correspondientes fórmulas de la trigonometría esférica sustituyendo las funciones trigonométricas habituales por funciones hiperbólicas ; esto fue desarrollado aún más por Delfino Codazzi en 1857, pero aparentemente ninguno de ellos notó la asociación con el trabajo de Lobachevsky. De esta manera, Beltrami intentó demostrar que la geometría bidimensional no euclidiana es tan válida como la geometría euclidiana del espacio y, en particular, que el postulado de las paralelas de Euclides no podía derivarse de los otros axiomas de la geometría euclidiana. A menudo se afirma que esta prueba era incompleta debido a las singularidades de la pseudoesfera, lo que significa que las geodésicas no podían extenderse indefinidamente. Sin embargo, John Stillwell comenta que Beltrami debía ser muy consciente de esta dificultad, que también se manifiesta en el hecho de que la pseudoesfera es topológicamente un cilindro , y no un plano, y dedicó una parte de sus memorias a diseñar una forma de sortearla. Mediante una adecuada elección de coordenadas, Beltrami demostró cómo la métrica de la pseudoesfera se puede transferir al disco unitario y que la singularidad de la pseudoesfera corresponde a un horociclo en el plano no euclidiano. Por otra parte, en la introducción de sus memorias, Beltrami afirma que sería imposible justificar "el resto de la teoría de Lobachevsky", es decir, la geometría no euclidiana del espacio, por este método.
En la segunda memoria publicada ese mismo año (1868), "Teoría fundamental de los espacios de curvatura constante", Beltrami continuó esta lógica y dio una prueba abstracta de la equiconsistencia de la geometría hiperbólica y euclidiana para cualquier dimensión. Lo logró introduciendo varios modelos de geometría no euclidiana que ahora se conocen como modelo de Beltrami-Klein , modelo de disco de Poincaré y modelo de semiplano de Poincaré , junto con transformaciones que los relacionan. Para el modelo de semiplano, Beltrami citó una nota de Joseph Liouville en el tratado de Gaspard Monge sobre geometría diferencial . Beltrami también demostró que la geometría euclidiana de n dimensiones se realiza en una horósfera del espacio hiperbólico de dimensiones ( n + 1) , por lo que la relación lógica entre la consistencia de las geometrías euclidiana y no euclidiana es simétrica. Beltrami reconoció la influencia de la innovadora conferencia de habilitación de Bernhard Riemann "Sobre las hipótesis en las que se basa la geometría" (1854; publicada póstumamente en 1868).
Aunque hoy se reconoce que el "Ensayo" de Beltrami es muy importante para el desarrollo de la geometría no euclidiana, la recepción en ese momento fue menos entusiasta. Luigi Cremona se opuso al supuesto razonamiento circular, que incluso obligó a Beltrami a retrasar un año la publicación del "Ensayo". Posteriormente, Felix Klein no reconoció la prioridad de Beltrami en la construcción del modelo de disco proyectivo de la geometría no euclidiana. Esta reacción puede atribuirse en parte a la novedad del razonamiento de Beltrami, que era similar a las ideas de Riemann sobre las variedades abstractas . J. Hoüel publicó la prueba de Beltrami en su traducción francesa de las obras de Lobachevsky y Bolyai.
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