Espacios de filas y columnas

En álgebra lineal , el espacio columna (también llamado rango o imagen ) de una matriz A es el intervalo (conjunto de todas las combinaciones lineales posibles ) de sus vectores columna . El espacio columna de una matriz es la imagen o rango de la transformación matricial correspondiente .

Sea un campo . El espacio columna de una matriz $m$ $\times$ $n$ con componentes de es un subespacio lineal del espacio m . La dimensión del espacio de la columna se llama rango de la matriz y es como máximo $min($ $m$ $,$ $n$ $)$ . ^[1] También es posible una definición de matrices sobre un anillo . $F$ $F$ $F^{m}$ $R$

El espacio de filas se define de manera similar.

El espacio de filas y el espacio de columnas de una matriz $A$ a veces se denotan como $C (A T)$ y $C (A)$ respectivamente. ^[2]

Este artículo considera matrices de números reales . Los espacios de filas y columnas son subespacios de los espacios reales y respectivamente. ^[3] $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{m}$

Descripción general

Sea $A$ una matriz $de m$ por $n$ . Entonces

$rango (A) = tenue (filas (A)) = tenue (colsp (A))$ , ^[4]
$rango (A)$ = número de pivotes en cualquier forma escalonada de $A$ ,
$rango(A)$ = el número máximo de filas o columnas linealmente independientes de $A$ . ^[5]

Si se considera la matriz como una transformación lineal de a , entonces el espacio columna de la matriz es igual a la imagen de esta transformación lineal. $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{m}$

El espacio de columnas de una matriz $A$ es el conjunto de todas las combinaciones lineales de las columnas de $A.$ Si $A = [a 1 \dots a n]$ , entonces $colsp(A) = span({a 1, ..., a n})$ .

El concepto de espacio de filas se generaliza a matrices sobre el campo de números complejos o sobre cualquier campo . $\mathbb {C}$

Intuitivamente, dada una matriz $A$ , la acción de la matriz $A$ sobre un vector $x$ devolverá una combinación lineal de las columnas de $A$ ponderadas por las coordenadas de $x$ como coeficientes. Otra forma de ver esto es que (1) primero proyectará $x$ en el espacio de filas de $A$ , (2) realizará una transformación invertible y (3) colocará el vector resultante $y$ en el espacio de columnas de $A.$ Por tanto , el resultado $y = A x$ debe residir en el espacio columna de $A.$ Consulte descomposición de valores singulares para obtener más detalles sobre esta segunda interpretación. ^{[ se necesita aclaración ]}

Ejemplo

Dada una matriz $J$ :

J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}

las filas son , , , . En consecuencia, el espacio de filas de $J$ es el subespacio de abarcado por ${$ $r$ $1$ $,$ $r$ $2$ $,$ $r$ $3$ $,$ $r$ $4$ $}$ . Dado que estos cuatro vectores de fila son linealmente independientes , el espacio de fila es de 4 dimensiones. Además, en este caso se puede ver que todos son ortogonales al vector $n$ $= [6, -1, 4, -4, 0]$ , por lo que se puede deducir que el espacio de filas está formado por todos los vectores que son ortogonales. al $n$ . $\mathbf {r} _{1}={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}$ $\mathbb {R} ^{5}$ $\mathbb {R} ^{5}$

Espacio de columna

Definición

Sea $K$ un campo de escalares . Sea $A$ una matriz $m \times n$ , con vectores columna $v 1, v 2, ..., v n$ . Una combinación lineal de estos vectores es cualquier vector de la forma

c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},

donde $c 1, c 2, ..., c n$ son escalares. El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de $v 1, ..., v n$ se llama espacio columna de $A$ . Es decir, el espacio columna de $A$ es el intervalo de los vectores $v 1, ..., v n$ .

Cualquier combinación lineal de los vectores columna de una matriz $A$ se puede escribir como el producto de $A$ por un vector columna:

{\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{ 11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\ \vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{1n}\\\vdots \\c_{1 }a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end {bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v } _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}

Por lo tanto, el espacio columna de $A$ consta de todos los productos posibles $A x$ , para $x \in K n$ . Esto es lo mismo que la imagen (o rango ) de la transformación matricial correspondiente .

Ejemplo

Si , entonces los vectores columna son $v$ $1$ $= [1, 0, 2]$ $T$ y $v$ $2$ $= [0, 1, 0]$ $T$ . Una combinación lineal de v ₁ y v ₂ es cualquier vector de la forma $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$

c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}} ={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}

A

(x, y, z) \in R 3

z = 2 x

coordenadas cartesianas plano el espacio tridimensional

Base

Las columnas de $A$ abarcan el espacio de las columnas, pero es posible que no formen una base si los vectores de las columnas no son linealmente independientes . Afortunadamente, las operaciones elementales de fila no afectan las relaciones de dependencia entre los vectores de columna. Esto hace posible utilizar la reducción de filas para encontrar una base para el espacio de columnas.

Por ejemplo, considere la matriz

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.

Las columnas de esta matriz abarcan el espacio de columnas, pero es posible que no sean linealmente independientes , en cuyo caso algún subconjunto de ellas formará una base. Para encontrar esta base, reducimos $A$ a la forma escalonada reducida :

{\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\ end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1 \\0&0&0&0\end{bmatriz}}.

^[6]

En este punto, está claro que la primera, segunda y cuarta columnas son linealmente independientes, mientras que la tercera columna es una combinación lineal de las dos primeras. (Específicamente, $v 3 = -2 v 1 + v 2$ .) Por lo tanto, la primera, segunda y cuarta columnas de la matriz original son una base para el espacio de columnas:

{\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.

Tenga en cuenta que las columnas independientes de la forma escalonada por filas reducidas son precisamente las columnas con pivotes . Esto hace posible determinar qué columnas son linealmente independientes reduciéndolas sólo a forma escalonada .

El algoritmo anterior se puede utilizar en general para encontrar las relaciones de dependencia entre cualquier conjunto de vectores y para seleccionar una base de cualquier conjunto generador. También encontrar una base para el espacio columna de $A$ es equivalente a encontrar una base para el espacio fila de la matriz transpuesta $A T$ .

Para encontrar la base en un entorno práctico (por ejemplo, para matrices grandes), normalmente se utiliza la descomposición en valores singulares .

Dimensión

La dimensión del espacio columna se llama rango de la matriz. El rango es igual al número de pivotes en la forma escalonada de filas reducida y es el número máximo de columnas linealmente independientes que se pueden elegir de la matriz. Por ejemplo, la matriz 4 × 4 del ejemplo anterior tiene rango tres.

Debido a que el espacio de la columna es la imagen de la transformación matricial correspondiente , el rango de una matriz es el mismo que la dimensión de la imagen. Por ejemplo, la transformación descrita por la matriz anterior asigna todo a algún subespacio tridimensional . $\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$

La nulidad de una matriz es la dimensión del espacio nulo y es igual al número de columnas en la forma escalonada reducida que no tienen pivotes. ^[7] El rango y la nulidad de una matriz $A$ con $n$ columnas están relacionados por la ecuación:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.\,

Esto se conoce como teorema de rango-nulidad .

Relación con el espacio nulo izquierdo

El espacio nulo izquierdo de $A$ es el conjunto de todos los vectores $x$ tales que $x T A = 0 T$ . Es lo mismo que el espacio nulo de la transpuesta de $A$ . El producto de la matriz $A T$ y el vector $x$ se puede escribir en términos del producto escalar de vectores:

A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

porque los vectores fila de $A T$ son transpuestos de los vectores columna $v k$ de $A$ . Por tanto, A $T x = 0 si$ y sólo si $x$ es ortogonal (perpendicular) a cada uno de los vectores columna de $A.$

De ello se deduce que el espacio nulo izquierdo (el espacio nulo de $A T$ ) es el complemento ortogonal del espacio columna de $A$ .

Para una matriz $A$ , el espacio de columnas, el espacio de filas, el espacio nulo y el espacio nulo izquierdo a veces se denominan los cuatro subespacios fundamentales .

Para matrices sobre un anillo

De manera similar, el espacio de columna (a veces desambiguado como espacio de columna derecha ) se puede definir para matrices sobre un anillo $K$ como

\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}

para cualquier $c 1, ..., c n$ , con reemplazo del vector $m$ -espacio con " módulo libre derecho ", que cambia el orden de multiplicación escalar del vector $v$ $k$ al escalar $c$ $k$ tal que se escribe en un vector de orden inusual : escalar . ^[8]

Espacio de fila

Definición

Sea $K$ un campo de escalares . Sea $A$ una matriz $m \times n$ , con vectores fila $r 1, r 2, ..., r m$ . Una combinación lineal de estos vectores es cualquier vector de la forma

c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},

donde $c 1, c 2, ..., cm m$ son escalares. El conjunto de todas las combinaciones lineales posibles de $r 1, ..., r m$ se llama espacio de filas de $A$ . Es decir, el espacio de filas de $A$ es el intervalo de los vectores $r 1, ..., r m$ .

Por ejemplo, si

A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},

entonces los vectores fila son $r 1 = [1, 0, 2]$ y $r 2 = [0, 1, 0]$ . Una combinación lineal de $r 1$ y $r 2$ es cualquier vector de la forma

c_{1}{\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}\end{bmatrix}}.

El conjunto de todos esos vectores es el espacio de filas de $A$ . En este caso, el espacio de filas es precisamente el conjunto de vectores $(x, y, z) \in K 3$ que satisfacen la ecuación $z = 2 x$ (usando coordenadas cartesianas , este conjunto es un plano que pasa por el origen en el espacio tridimensional ).

Para una matriz que representa un sistema homogéneo de ecuaciones lineales , el espacio de filas consta de todas las ecuaciones lineales que se derivan de las del sistema.

El espacio columna de $A$ es igual al espacio fila de $A T$ .

Base

El espacio de filas no se ve afectado por las operaciones de filas elementales . Esto hace posible utilizar la reducción de filas para encontrar una base para el espacio de filas.

Por ejemplo, considere la matriz

A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.

Las filas de esta matriz abarcan el espacio de filas, pero es posible que no sean linealmente independientes , en cuyo caso las filas no serán una base. Para encontrar una base, reducimos $A$ a la forma escalonada por renglones :

$r 1$ , $r 2$ , $r 3$ representa las filas.

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

Una vez que la matriz está en forma escalonada, las filas distintas de cero son la base para el espacio de filas. En este caso, la base es ${ [1, 3, 2], [2, 7, 4] }$ . Otra posible base ${ [1, 0, 2], [0, 1, 0] }$ proviene de una reducción adicional. ^[9]

Este algoritmo se puede utilizar en general para encontrar una base para el intervalo de un conjunto de vectores. Si la matriz se simplifica aún más a la forma escalonada reducida por filas , entonces la base resultante está determinada de forma única por el espacio de filas.

A veces es conveniente encontrar una base para el espacio de filas entre las filas de la matriz original (por ejemplo, este resultado es útil para dar una prueba elemental de que el rango determinante de una matriz es igual a su rango). Dado que las operaciones de fila pueden afectar las relaciones de dependencia lineal de los vectores de fila, dicha base se encuentra indirectamente utilizando el hecho de que el espacio de columna de $A T$ es igual al espacio de fila de $A.$ Usando la matriz $A$ de ejemplo anterior, encuentre $A T$ y redúzcala a forma escalonada por filas:

A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.

Los pivotes indican que las dos primeras columnas de $AT$ forman una base del espacio de $columnas$ $de$ $AT$ . Por lo tanto, las dos primeras filas de $A$ (antes de cualquier reducción de filas) también forman una base del espacio de filas de $A.$

Dimensión

La dimensión del espacio de filas se llama rango de la matriz. Esto es lo mismo que el número máximo de filas linealmente independientes que se pueden elegir de la matriz o, de manera equivalente, el número de pivotes. Por ejemplo, la matriz 3 × 3 del ejemplo anterior tiene rango dos. ^[9]

El rango de una matriz también es igual a la dimensión del espacio de la columna . La dimensión del espacio nulo se llama nulidad de la matriz y está relacionada con el rango mediante la siguiente ecuación:

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,

donde $n$ es el número de columnas de la matriz $A.$ La ecuación anterior se conoce como teorema de rango-nulidad .

Relación con el espacio nulo

El espacio nulo de la matriz $A$ es el conjunto de todos los vectores $x$ para los cuales $A x = 0$ . El producto de la matriz $A$ y el vector $x$ se puede escribir en términos del producto escalar de vectores:

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

donde $r 1, ..., r m$ son los vectores fila de $A$ . Por tanto, A $x = 0 si$ y sólo si $x$ es ortogonal (perpendicular) a cada uno de los vectores fila de $A.$

De ello se deduce que el espacio nulo de $A$ es el complemento ortogonal del espacio de filas. Por ejemplo, si el espacio renglón es un plano que pasa por el origen en tres dimensiones, entonces el espacio nulo será la línea perpendicular que pasa por el origen. Esto proporciona una prueba del teorema de rango-nulidad (ver dimensión arriba).

El espacio de filas y el espacio nulo son dos de los cuatro subespacios fundamentales asociados con una matriz $A$ (los otros dos son el espacio de columnas y el espacio nulo izquierdo ).

Relación con la coimagen

Si $V$ y $W$ son espacios vectoriales , entonces el núcleo de una transformación lineal $T : V \to W$ es el conjunto de vectores $v \in V$ para los cuales $T (v) = 0$ . El núcleo de una transformación lineal es análogo al espacio nulo de una matriz.

Si $V$ es un espacio producto interno , entonces el complemento ortogonal al núcleo puede considerarse como una generalización del espacio renglón. A esto a veces se le llama coimagen de $T.$ La transformación $T$ es uno a uno en su coimagen, y la coimagen se asigna isomórficamente a la imagen de $T.$

Cuando $V$ no es un espacio producto interno, la coimagen de $T$ se puede definir como el espacio cociente $V / ker(T)$ .

Ver también

subespacio euclidiano

Referencias y notas

^ El álgebra lineal, como se analiza en este artículo, es una disciplina matemática muy bien establecida para la cual existen muchas fuentes. Casi todo el material de este artículo se puede encontrar en Lay 2005, Meyer 2001 y Strang 2005.
^ Strang, Gilbert (2016). Introducción al álgebra lineal (Quinta ed.). Wellesley, MA: Wellesley-Cambridge Press. págs.128, 168. ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593.
^ Antón (1987, pág.179)
^ Antón (1987, pág.183)
^ Beauregard y Fraleigh (1973, pág.254)
^ Este cálculo utiliza el algoritmo de reducción de filas de Gauss-Jordan . Cada uno de los pasos mostrados implica múltiples operaciones de fila elemental.
^ Las columnas sin pivotes representan variables libres en el sistema homogéneo de ecuaciones lineales asociado .
^ Importante sólo si $K$ no es conmutativo . En realidad, esta forma es simplemente un producto $A c$ de la matriz $A$ por el vector columna $c$ de $K n$ donde se conserva el orden de los factores , a diferencia de la fórmula anterior.
^ ab El ejemplo es válido para los números reales , los números racionales y otros campos numéricos . No es necesariamente correcto en campos y anillos con característica distinta de cero .

Otras lecturas

Anton, Howard (1987), Álgebra lineal elemental (5ª ed.), Nueva York: Wiley , ISBN 0-471-84819-0
Axler, Sheldon Jay (1997), Álgebra lineal bien hecha (2ª ed.), Springer-Verlag, ISBN 0-387-98259-0
Banerjee, Sudipto; Roy, Anindya (6 de junio de 2014), Álgebra lineal y análisis matricial para estadística (1.ª ed.), CRC Press, ISBN 978-1-42-009538-8
Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
Lay, David C. (22 de agosto de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (3.ª ed.), Addison Wesley, ISBN 978-0-321-28713-7
Leon, Steven J. (2006), Álgebra lineal con aplicaciones (7ª ed.), Pearson Prentice Hall
Meyer, Carl D. (15 de febrero de 2001), Análisis matricial y álgebra lineal aplicada, Sociedad de Matemática Industrial y Aplicada (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, archivado desde el original el 1 de marzo de 2001.
Poole, David (2006), Álgebra lineal: una introducción moderna (2ª ed.), Brooks/Cole, ISBN 0-534-99845-3
Strang, Gilbert (19 de julio de 2005), Álgebra lineal y sus aplicaciones (4ª ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

enlaces externos

Wikilibros tiene un libro sobre el tema: Álgebra lineal/espacios de columnas y filas

Weisstein, Eric W. "Espacio de filas". MundoMatemático .
Weisstein, Eric W. "Espacio de columnas". MundoMatemático .
Gilbert Strang , Conferencia de álgebra lineal del MIT sobre los cuatro subespacios fundamentales en Google Video, del MIT OpenCourseWare
Vídeo tutorial de la Academia Khan
Conferencia sobre espacio de columnas y espacio nulo a cargo de Gilbert Strang del MIT
Espacio de fila y espacio de columna