Matriz de transformación

Objeto central en álgebra lineal; mapeo de vectores a vectores

En álgebra lineal , las transformaciones lineales se pueden representar mediante matrices . Si es una transformación lineal que se asigna a y es un vector de columna con entradas, entonces ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle n}$

$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=A\mathbf {x} }$$

matriz de transformación^{[ cita necesaria ]}vectores fila^{[1] [2]} ${\displaystyle m\times n}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$

Usos

Las matrices permiten mostrar transformaciones lineales arbitrarias en un formato consistente, adecuado para el cálculo. ^{[3] Esto también permite} componer transformaciones fácilmente (multiplicando sus matrices).

Las transformaciones lineales no son las únicas que se pueden representar mediante matrices. Algunas transformaciones que no son lineales en un espacio euclidiano de n dimensiones R ⁿ se pueden representar como transformaciones lineales en el espacio de n +1 dimensiones R ^{n +1} . Estas incluyen tanto transformaciones afines (como la traducción ) como transformaciones proyectivas . Por este motivo, las matrices de transformación 4×4 son muy utilizadas en gráficos por ordenador en 3D . Estas matrices de transformación de n +1 dimensiones se denominan, según su aplicación, matrices de transformación afines , matrices de transformación proyectivas o, más generalmente, matrices de transformación no lineales . Con respecto a una matriz de n dimensiones, una matriz de n +1 dimensiones se puede describir como una matriz aumentada .

En las ciencias físicas , una transformación activa es aquella que realmente cambia la posición física de un sistema , y ​​tiene sentido incluso en ausencia de un sistema de coordenadas , mientras que una transformación pasiva es un cambio en la descripción de coordenadas del sistema físico ( cambio de base). ). La distinción entre transformaciones activas y pasivas es importante. Por defecto, cuando dicen transformación , los matemáticos suelen referirse a transformaciones activas, mientras que los físicos pueden referirse a cualquiera de las dos.

Dicho de otra manera, una transformación pasiva se refiere a la descripción del mismo objeto visto desde dos marcos de coordenadas diferentes.

Encontrar la matriz de una transformación.

Si se tiene una transformación lineal en forma funcional, es fácil determinar la matriz de transformación A transformando cada uno de los vectores de la base estándar por T , luego insertando el resultado en las columnas de una matriz. En otras palabras, ${\displaystyle T(x)}$

$${\displaystyle A={\begin{bmatrix}T(\mathbf {e} _{1})&T(\mathbf {e} _{2})&\cdots &T(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}}$$

Por ejemplo, la función es una transformación lineal. La aplicación del proceso anterior (supongamos que n = 2 en este caso) revela que ${\displaystyle T(x)=5x}$

$${\displaystyle T(\mathbf {x} )=5\mathbf {x} =5I\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}5&0\\0&5\end{bmatrix}}\mathbf {x} }$$

La representación matricial de vectores y operadores depende de la base elegida; una matriz similar resultará de una base alternativa. Sin embargo, el método para encontrar los componentes sigue siendo el mismo.

Para elaborar, el vector se puede representar en vectores base, con coordenadas : ${\displaystyle \mathbf {v} }$ ${\displaystyle E={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}$ ${\displaystyle [\mathbf {v} ]_{E}={\begin{bmatrix}v_{1}&v_{2}&\cdots &v_{n}\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

$${\displaystyle \mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+\cdots +v_{n}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}=E[\mathbf {v} ]_{E}}$$

Ahora, expresa el resultado de la matriz de transformación A sobre , en la base dada: ${\displaystyle \mathbf {v} }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}A(\mathbf {v} )&=A\left(\sum _{i}v_{i}\mathbf {e} _{i}\right)=\sum _{i}{v_{i}A(\mathbf {e} _{i})}\\&={\begin{bmatrix}A(\mathbf {e} _{1})&A(\mathbf {e} _{2})&\cdots &A(\mathbf {e} _{n})\end{bmatrix}}[\mathbf {v} ]_{E}=A\cdot [\mathbf {v} ]_{E}\\[3pt]&={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}&\mathbf {e} _{2}&\cdots &\mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2}&\cdots &a_{1,n}\\a_{2,1}&a_{2,2}&\cdots &a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n,1}&a_{n,2}&\cdots &a_{n,n}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\\\vdots \\v_{n}\end{bmatrix}}\end{aligned}}}$$

Los elementos de la matriz A se determinan para una base E dada aplicando A a cada y observando el vector de respuesta ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &(v_{j}=1)&\cdots &0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}$

$${\displaystyle A\mathbf {e} _{j}=a_{1,j}\mathbf {e} _{1}+a_{2,j}\mathbf {e} _{2}+\cdots +a_{n,j}\mathbf {e} _{n}=\sum _{i}a_{i,j}\mathbf {e} _{i}.}$$

Esta ecuación define los elementos deseados, de la j -ésima columna de la matriz A. ^[4] ${\displaystyle a_{i,j}}$

Base propia y matriz diagonal.

Sin embargo, existe una base especial para un operador en el que los componentes forman una matriz diagonal y, por tanto, la complejidad de la multiplicación se reduce a n . Ser diagonal significa que todos los coeficientes excepto son ceros, dejando solo un término en la suma anterior. Los elementos diagonales supervivientes, se conocen como valores propios y se designan con en la ecuación definitoria, que se reduce a . La ecuación resultante se conoce como ecuación de valores propios . ^[5] Los vectores propios y los valores propios se derivan de él mediante el polinomio característico . ${\displaystyle a_{i,j}}$ ${\displaystyle a_{i,i}}$ ${\textstyle \sum a_{i,j}\mathbf {e} _{i}}$ ${\displaystyle a_{i,i}}$ ${\displaystyle \lambda _{i}}$ ${\displaystyle A\mathbf {e} _{i}=\lambda _{i}\mathbf {e} _{i}}$

Con la diagonalización , a menudo es posible traducir hacia y desde bases propias.

Ejemplos en 2 dimensiones

Las transformaciones geométricas más comunes que mantienen fijo el origen son lineales, incluidas rotación, escala, corte, reflexión y proyección ortogonal; si una transformación afín no es una traducción pura, mantiene algún punto fijo, y ese punto puede elegirse como origen para hacer la transformación lineal. En dos dimensiones, las transformaciones lineales se pueden representar utilizando una matriz de transformación de 2×2.

Extensión

Un estiramiento en el plano xy es una transformación lineal que aumenta todas las distancias en una dirección particular por un factor constante pero no afecta las distancias en la dirección perpendicular. Solo consideramos tramos a lo largo del eje x y del eje y. Un tramo a lo largo del eje x tiene la forma x' = kx ; y' = y para alguna constante positiva k . (Tenga en cuenta que si k > 1 , entonces esto realmente es un "estiramiento"; si k < 1 , técnicamente es una "compresión", pero aún así lo llamamos estiramiento. Además, si k = 1 , entonces la transformación es una identidad, es decir, no tiene ningún efecto.)

La matriz asociada a un tramo por un factor k a lo largo del eje x viene dada por:

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1\end{bmatrix}}}$$

De manera similar, un estiramiento de un factor k a lo largo del eje y tiene la forma x' = x ; y' = ky , por lo que la matriz asociada con esta transformación es

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&k\end{bmatrix}}}$$

Apretando

Si los dos tramos anteriores se combinan con valores recíprocos, entonces la matriz de transformación representa un mapeo de compresión :

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&0\\0&1/k\end{bmatrix}}.}$$

Rotación

Para la rotación en un ángulo θ en sentido antihorario (dirección positiva) alrededor del origen, la forma funcional es y . Escrito en forma matricial, esto se convierte en: ^[6] ${\displaystyle x'=x\cos \theta -y\sin \theta }$ ${\displaystyle y'=x\sin \theta +y\cos \theta }$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

De manera similar, para una rotación en el sentido de las agujas del reloj (dirección negativa) alrededor del origen, la forma funcional es y la forma matricial es: ${\displaystyle x'=x\cos \theta +y\sin \theta }$ ${\displaystyle y'=-x\sin \theta +y\cos \theta }$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

Estas fórmulas suponen que el eje x apunta hacia la derecha y el eje y apunta hacia arriba.

Cizallamiento

Para el mapeo de corte (visualmente similar a la inclinación), existen dos posibilidades.

Un corte paralelo al eje x tiene y . Escrito en forma matricial, esto se convierte en: ${\displaystyle x'=x+ky}$ ${\displaystyle y'=y}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&k\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

Un corte paralelo al eje y tiene y , que tiene forma matricial: ${\displaystyle x'=x}$ ${\displaystyle y'=y+kx}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\k&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}}$$

Reflexión

Para una reflexión sobre una recta que pasa por el origen, sea un vector en la dirección de la recta. Luego use la matriz de transformación: ${\displaystyle \mathbf {l} =(l_{x},l_{y})}$

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {l} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}l_{x}^{2}-l_{y}^{2}&2l_{x}l_{y}\\2l_{x}l_{y}&l_{y}^{2}-l_{x}^{2}\end{bmatrix}}}$$

Proyección ortogonal

Para proyectar un vector ortogonalmente sobre una línea que pasa por el origen, sea un vector en la dirección de la línea. Luego use la matriz de transformación: ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y})}$

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}}}{\begin{bmatrix}u_{x}^{2}&u_{x}u_{y}\\u_{x}u_{y}&u_{y}^{2}\end{bmatrix}}}$$

Al igual que con las reflexiones, la proyección ortogonal sobre una línea que no pasa por el origen es una transformación afín, no lineal.

Las proyecciones paralelas también son transformaciones lineales y pueden representarse simplemente mediante una matriz. Sin embargo, las proyecciones en perspectiva no lo son y para representarlas con una matriz se pueden utilizar coordenadas homogéneas .

Ejemplos de gráficos por computadora en 3D

Rotación

La matriz para rotar un ángulo θ alrededor de cualquier eje definido por el vector unitario ( x , y , z ) es ^[7]

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}xx(1-\cos \theta )+\cos \theta &yx(1-\cos \theta )-z\sin \theta &zx(1-\cos \theta )+y\sin \theta \\xy(1-\cos \theta )+z\sin \theta &yy(1-\cos \theta )+\cos \theta &zy(1-\cos \theta )-x\sin \theta \\xz(1-\cos \theta )-y\sin \theta &yz(1-\cos \theta )+x\sin \theta &zz(1-\cos \theta )+\cos \theta \end{bmatrix}}.}$$

Reflexión

Para reflejar un punto a través de un plano (que pasa por el origen), se puede utilizar , donde es la matriz identidad de 3×3 y es el vector unitario tridimensional para el vector normal del plano. Si la norma L 2 de , , y es la unidad, la matriz de transformación se puede expresar como: ${\displaystyle ax+by+cz=0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {I} -2\mathbf {NN} ^{\mathrm {T} }}$ ${\displaystyle \mathbf {I} }$ ${\displaystyle \mathbf {N} }$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

$${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}\end{bmatrix}}}$$

Nótese que estos son casos particulares de una reflexión de Jefe de Hogar en dos y tres dimensiones. Una reflexión sobre una línea o plano que no pasa por el origen no es una transformación lineal, es una transformación afín , como una matriz de transformación afín 4×4, se puede expresar de la siguiente manera (asumiendo que la normal es un vector unitario) :

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-2a^{2}&-2ab&-2ac&-2ad\\-2ab&1-2b^{2}&-2bc&-2bd\\-2ac&-2bc&1-2c^{2}&-2cd\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}}$$

${\displaystyle d=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {N} }$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle ax+by+cz+d=0}$

Si la cuarta componente del vector es 0 en lugar de 1, entonces sólo se refleja la dirección del vector y su magnitud permanece sin cambios, como si se reflejara a través de un plano paralelo que pasa por el origen. Esta es una propiedad útil ya que permite la transformación tanto de vectores posicionales como de vectores normales con la misma matriz. Consulte las coordenadas homogéneas y las transformaciones afines a continuación para obtener más explicaciones.

Componer e invertir transformaciones.

Una de las principales motivaciones para utilizar matrices para representar transformaciones lineales es que las transformaciones pueden luego componerse e invertirse fácilmente.

La composición se logra mediante la multiplicación de matrices . Los vectores de filas y columnas son operados por matrices, filas a la izquierda y columnas a la derecha. Dado que el texto se lee de izquierda a derecha, se prefieren los vectores de columna cuando se componen matrices de transformación:

Si A y B son las matrices de dos transformaciones lineales, entonces el efecto de aplicar primero A y luego B a un vector columna viene dado por: ${\displaystyle \mathbf {x} }$

$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {A} \mathbf {x} )=(\mathbf {BA} )\mathbf {x} .}$$

En otras palabras, la matriz de la transformación combinada A seguida de B es simplemente el producto de las matrices individuales.

Cuando A es una matriz invertible existe una matriz A ⁻¹ que representa una transformación que "deshace" A ya que su composición con A es la matriz identidad . En algunas aplicaciones prácticas, la inversión se puede calcular utilizando algoritmos de inversión generales o realizando operaciones inversas (que tienen una interpretación geométrica obvia, como girar en dirección opuesta) y luego componiéndolas en orden inverso. Las matrices de reflexión son un caso especial porque son sus propias inversas y no es necesario calcularlas por separado.

Otros tipos de transformaciones

Transformaciones afines

Efecto de aplicar varias matrices de transformación afín 2D sobre un cuadrado unitario. Tenga en cuenta que las matrices de reflexión son casos especiales de la matriz de escala.

Las transformaciones afines en el plano 2D se pueden realizar en tres dimensiones. La traslación se realiza cortando paralelamente al plano xy y la rotación se realiza alrededor del eje z.

Para representar transformaciones afines con matrices, podemos utilizar coordenadas homogéneas . Esto significa representar un vector de 2 ( x , y ) como un vector de 3 ( x , y , 1), y de manera similar para dimensiones superiores. Usando este sistema, la traducción se puede expresar con multiplicación de matrices. La forma funcional pasa a ser: ${\displaystyle x'=x+t_{x};y'=y+t_{y}}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&t_{x}\\0&1&t_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\1\end{bmatrix}}.}$$

Todas las transformaciones lineales ordinarias están incluidas en el conjunto de transformaciones afines y pueden describirse como una forma simplificada de transformaciones afines. Por tanto, cualquier transformación lineal también puede representarse mediante una matriz de transformación general. Esto último se obtiene expandiendo la matriz de transformación lineal correspondiente en una fila y una columna, llenando el espacio adicional con ceros excepto la esquina inferior derecha, que debe establecerse en 1. Por ejemplo, la matriz de rotación en sentido antihorario de arriba se convierte en :

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\\sin \theta &\cos \theta &0\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Al utilizar matrices de transformación que contienen coordenadas homogéneas, las traducciones se vuelven lineales y, por lo tanto, pueden combinarse perfectamente con todos los demás tipos de transformaciones. La razón es que el plano real se asigna al plano w = 1 en el espacio proyectivo real, por lo que la traslación en el espacio euclidiano real puede representarse como una cizalla en el espacio proyectivo real. Aunque una traslación es una transformación no lineal en un espacio euclidiano 2-D o 3-D descrito por coordenadas cartesianas (es decir, no se puede combinar con otras transformaciones preservando la conmutatividad y otras propiedades), se convierte , en un 3- Espacio proyectivo D o 4-D descrito por coordenadas homogéneas, una transformación lineal simple (una cizalla ).

Se pueden obtener transformaciones más afines mediante la composición de dos o más transformaciones afines. Por ejemplo, dada una traslación T' con vector, una rotación R en un ángulo θ en sentido contrario a las agujas del reloj , un escalado S con factores y una traslación T del vector , el resultado M de T'RST es: ^[8] ${\displaystyle (t'_{x},t'_{y}),}$ ${\displaystyle (s_{x},s_{y})}$ ${\displaystyle (t_{x},t_{y}),}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}s_{x}\cos \theta &-s_{y}\sin \theta &t_{x}s_{x}\cos \theta -t_{y}s_{y}\sin \theta +t'_{x}\\s_{x}\sin \theta &s_{y}\cos \theta &t_{x}s_{x}\sin \theta +t_{y}s_{y}\cos \theta +t'_{y}\\0&0&1\end{bmatrix}}}$$

Cuando se utilizan transformaciones afines, el componente homogéneo de un vector de coordenadas (normalmente llamado w ) nunca se alterará. Por lo tanto, se puede asumir con seguridad que siempre es 1 e ignorarlo. Sin embargo, esto no es cierto cuando se utilizan proyecciones en perspectiva.

Proyección en perspectiva

Comparación de los efectos de aplicar matrices de transformación 2D afines y de perspectiva en un cuadrado unitario.

Otro tipo de transformación, de importancia en la infografía 3D , es la proyección en perspectiva . Mientras que las proyecciones paralelas se utilizan para proyectar puntos en el plano de la imagen a lo largo de líneas paralelas, la proyección en perspectiva proyecta puntos en el plano de la imagen a lo largo de líneas que emanan de un solo punto, llamado centro de proyección. Esto significa que un objeto tiene una proyección menor cuando está lejos del centro de proyección y una proyección mayor cuando está más cerca (ver también función recíproca ).

La proyección en perspectiva más simple utiliza el origen como centro de proyección y el plano en como plano de la imagen. La forma funcional de esta transformación es entonces ; . Podemos expresar esto en coordenadas homogéneas como: ${\displaystyle z=1}$ ${\displaystyle x'=x/z}$ ${\displaystyle y'=y/z}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x\\y\\z\\z\end{bmatrix}}}$$

Después de realizar la multiplicación de matrices , el componente homogéneo será igual al valor de y los otros tres no cambiarán. Por lo tanto, para volver a mapear el plano real debemos realizar la división homogénea o división en perspectiva dividiendo cada componente por : ${\displaystyle w_{c}}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle w_{c}}$

$${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'\\y'\\z'\\1\end{bmatrix}}={\frac {1}{w_{c}}}{\begin{bmatrix}x_{c}\\y_{c}\\z_{c}\\w_{c}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x/z\\y/z\\1\\1\end{bmatrix}}}$$

Se pueden componer proyecciones en perspectiva más complicadas combinando ésta con rotaciones, escalas, traslaciones y cortes para mover el plano de la imagen y el centro de la proyección donde se desee.

Ver también

• Proyección 3D
• Cambio de base
• Rectificación de imagen
• Pose (visión por computadora)
• Transformación rígida
• Transformación (función)
• Geometría de transformación

Referencias

1. Rafael Artzy (1965) Geometría lineal
2. JWP Hirschfeld (1979) Geometría proyectiva de campos finitos , Clarendon Press
3. Gentil, James E. (2007). "Transformaciones y Factorizaciones matriciales". Álgebra matricial: teoría, cálculos y aplicaciones en estadística . Saltador. ISBN 9780387708737.
4. Acercándose, James (2010). "Capítulo 7.3 Ejemplos de operadores" (PDF) . Herramientas matemáticas para la física. ISBN 978-0486482125. Consultado el 1 de enero de 2012 .
5. Acercándose, James (2010). "Capítulo 7.9: Valores propios y vectores propios" (PDF) . Herramientas matemáticas para la física. ISBN 978-0486482125. Consultado el 1 de enero de 2012 .
6. http://ocw.mit.edu/courses/aeronautics-and-astronautics/16-07-dynamics-fall-2009/lecture-notes/MIT16_07F09_Lec03.pdf ^{[ URL básica PDF ]}
7. Szymanski, John E. (1989). Matemáticas básicas para ingenieros electrónicos: modelos y aplicaciones . Taylor y Francisco. pag. 154.ISBN​ 0278000681.
8. Cédric Jules (25 de febrero de 2015). "Hornear matrices de transformación 2D".

enlaces externos

• La página Matrix Ejemplos prácticos en POV-Ray
• Página de referencia - Rotación de ejes
• Calculadora de transformación lineal
• Applet de transformación: genera matrices a partir de transformaciones 2D y viceversa.
• Transformación de coordenadas bajo rotación en 2D.
• Diversión con Excel: cree gráficos 3D a partir de una hoja de cálculo