En matemáticas , geometría de transformación (o geometría transformacional ) es el nombre de una visión matemática y pedagógica del estudio de la geometría centrándose en grupos de transformaciones geométricas y propiedades que son invariantes bajo ellas. Se opone al enfoque clásico de la geometría sintética de la geometría euclidiana , que se centra en demostrar teoremas .
Por ejemplo, dentro de la geometría de transformación, las propiedades de un triángulo isósceles se deducen del hecho de que se asigna a sí mismo mediante una reflexión sobre una determinada línea. Esto contrasta con las demostraciones clásicas mediante los criterios de congruencia de triángulos . [1]
El primer esfuerzo sistemático por utilizar las transformaciones como fundamento de la geometría lo realizó Felix Klein en el siglo XIX, bajo el nombre de programa de Erlangen . Durante casi un siglo, este enfoque permaneció confinado a los círculos de investigación matemática. En el siglo XX se hicieron esfuerzos para explotarlo para la educación matemática . Andrei Kolmogorov incluyó este enfoque (junto con la teoría de conjuntos ) como parte de una propuesta para la reforma de la enseñanza de la geometría en Rusia . [2] Estos esfuerzos culminaron en la década de 1960 con la reforma general de la enseñanza de las matemáticas conocida como el movimiento Nueva Matemática .
Una exploración de la geometría de transformación a menudo comienza con un estudio de la simetría de reflexión tal como se encuentra en la vida diaria. La primera transformación real es la reflexión en una línea o la reflexión contra un eje . La composición de dos reflexiones da como resultado una rotación cuando las líneas se cruzan, o una traslación cuando son paralelas. Así, a través de transformaciones los estudiantes aprenden sobre la isometría del plano euclidiano . Por ejemplo, considere la reflexión en una línea vertical y una línea inclinada a 45° con respecto a la horizontal. Se puede observar que una composición produce un cuarto de vuelta en el sentido contrario a las agujas del reloj (90°), mientras que la composición inversa produce un cuarto de vuelta en el sentido de las agujas del reloj. Tales resultados muestran que la geometría de transformación incluye procesos no conmutativos .
Una aplicación entretenida de la reflexión en una línea ocurre en una prueba del triángulo de área de un séptimo que se encuentra en cualquier triángulo.
Otra transformación introducida a los jóvenes estudiantes es la dilatación . Sin embargo, la transformación del reflejo en un círculo parece inapropiada para los grados inferiores. Por lo tanto , la geometría inversiva , un estudio más amplio que la geometría de transformación de la escuela primaria, suele reservarse para estudiantes universitarios.
Los experimentos con grupos de simetría concretos dan paso a la teoría de grupos abstracta . Otras actividades concretas utilizan cálculos con números complejos , números hipercomplejos o matrices para expresar la geometría de transformación. Estas lecciones de geometría de transformación presentan una visión alternativa que contrasta con la geometría sintética clásica . Cuando los estudiantes se encuentran con la geometría analítica , las ideas de rotaciones de coordenadas y reflexiones se desprenden fácilmente. Todos estos conceptos preparan para el álgebra lineal donde se amplía el concepto de reflexión .
Los educadores han mostrado cierto interés y han descrito proyectos y experiencias con geometría de transformación para niños desde jardín de infantes hasta secundaria. En el caso de niños muy pequeños, para evitar la introducción de nueva terminología y establecer vínculos con la experiencia cotidiana de los estudiantes con objetos concretos, en ocasiones se recomendaba utilizar palabras que les resulten familiares, como "flips" para los reflejos de las líneas, " diapositivas" para traducciones y "giros" para rotaciones, aunque estos no son un lenguaje matemático preciso. En algunas propuestas, los estudiantes comienzan actuando con objetos concretos antes de realizar las transformaciones abstractas a través de sus definiciones de un mapeo de cada punto de la figura. [3] [4] [5] [6]
En un intento por reestructurar los cursos de geometría en Rusia, Kolmogorov sugirió presentarla bajo el punto de vista de las transformaciones, por lo que los cursos de geometría se estructuraron en base a la teoría de conjuntos . Esto llevó a la aparición del término "congruente" en las escuelas, para figuras que antes se llamaban "iguales": al ser vista una figura como un conjunto de puntos, sólo podía ser igual a sí misma, y dos triángulos que podían superponerse por isometrías se decía que eran congruentes . [2]
Un autor expresó la importancia de la teoría de grupos para la geometría de transformación de la siguiente manera:
