Espacio de Fock

Espacio de estados de múltiples partículas

El espacio de Fock es una construcción algebraica utilizada en mecánica cuántica para construir el espacio de estados cuánticos de un número variable o desconocido de partículas idénticas a partir de un único espacio de Hilbert de partículas H. Recibe su nombre en honor a VA Fock, quien lo introdujo por primera vez en su artículo de 1932 "Konfigurationsraum und zweite Quantelung" (" Espacio de configuración y segunda cuantificación "). ^{[1] [2]}

De manera informal, un espacio de Fock es la suma de un conjunto de espacios de Hilbert que representan estados de partícula cero, estados de una partícula, estados de dos partículas, etc. Si las partículas idénticas son bosones , los estados de n partículas son vectores en un producto tensorial simetrizado de n espacios de Hilbert de una sola partícula H. Si las partículas idénticas son fermiones , los estados de n partículas son vectores en un producto tensorial antisimetrizado de n espacios de Hilbert de una sola partícula H (ver álgebra simétrica y álgebra exterior respectivamente). Un estado general en el espacio de Fock es una combinación lineal de estados de n partículas, uno para cada n .

Técnicamente, el espacio de Fock es (la completitud del espacio de Hilbert de) la suma directa de los tensores simétricos o antisimétricos en las potencias tensoriales de un espacio de Hilbert de una sola partícula H , $${\displaystyle F_{\nu }(H)={\overline {\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}}}~.}$$

Aquí está el operador que simetriza o antisimetriza un tensor , dependiendo de si el espacio de Hilbert describe partículas que obedecen a estadísticas bosónicas o fermiónicas , y la línea superior representa la completitud del espacio. El espacio de Fock bosónico (resp. fermiónico) puede construirse alternativamente como (la completitud del espacio de Hilbert de) los tensores simétricos (resp. tensores alternantes ). Para cada base para H hay una base natural del espacio de Fock, los estados de Fock . ${\displaystyle S_{\nu }}$ ${\displaystyle (\nu =+)}$ ${\displaystyle (\nu =-)}$ ${\displaystyle F_{+}(H)={\overline {S^{*}H}}}$ ${\textstyle F_{-}(H)={\overline {{\bigwedge }^{*}H}}}$

Definición

El espacio de Fock es la suma directa (de Hilbert) de los productos tensoriales de copias de un espacio de Hilbert de una sola partícula. ${\displaystyle H}$

$${\displaystyle F_{\nu }(H)=\bigoplus _{n=0}^{\infty }S_{\nu }H^{\otimes n}=\mathbb {C} \oplus H\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\right)\right)\oplus \left(S_{\nu }\left(H\otimes H\otimes H\right)\right)\oplus \cdots }$$

Aquí , los escalares complejos consisten en los estados que no corresponden a ninguna partícula, los estados de una partícula, los estados de dos partículas idénticas, etc. ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle S_{\nu }(H\otimes H)}$

Un estado general se da por ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots }$$dónde

• ${\displaystyle |0\rangle }$es un vector de longitud 1 llamado estado de vacío y es un coeficiente complejo, ${\displaystyle a\in \mathbb {C} }$
• ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle \in H}$es un estado en el espacio de Hilbert de una sola partícula y es un coeficiente complejo, ${\displaystyle a_{i}\in \mathbb {C} }$
• ${\textstyle |\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }=a_{ij}|\psi _{i}\rangle \otimes |\psi _{j}\rangle +a_{ji}|\psi _{j}\rangle \otimes |\psi _{i}\rangle \in S_{\nu }(H\otimes H)}$, y es un coeficiente complejo, etc. ${\displaystyle a_{ij}=\nu a_{ji}\in \mathbb {C} }$

La convergencia de esta suma infinita es importante si se trata de un espacio de Hilbert. Técnicamente, necesitamos que sea la completitud del espacio de Hilbert de la suma directa algebraica. Consiste en todas las tuplas infinitas tales que la norma , definida por el producto interno, es finita, donde la norma de la partícula está definida por es decir, la restricción de la norma en el producto tensorial. ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ ${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=(|\Psi _{0}\rangle _{\nu },|\Psi _{1}\rangle _{\nu },|\Psi _{2}\rangle _{\nu },\ldots )}$ $${\displaystyle \||\Psi \rangle _{\nu }\|_{\nu }^{2}=\sum _{n=0}^{\infty }\langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }<\infty }$$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle \langle \Psi _{n}|\Psi _{n}\rangle _{\nu }=\sum _{i_{1},\ldots i_{n},j_{1},\ldots j_{n}}a_{i_{1},\ldots ,i_{n}}^{*}a_{j_{1},\ldots ,j_{n}}\langle \psi _{i_{1}}|\psi _{j_{1}}\rangle \cdots \langle \psi _{i_{n}}|\psi _{j_{n}}\rangle }$$ ${\displaystyle H^{\otimes n}}$

Para dos estados generales y el producto interno en se define entonces como donde usamos los productos internos en cada uno de los espacios de Hilbert de partículas. Nótese que, en particular, los subespacios de partículas son ortogonales para diferentes . $${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\Psi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Psi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =a|0\rangle \oplus \sum _{i}a_{i}|\psi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}a_{ij}|\psi _{i},\psi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots ,}$$ $${\displaystyle |\Phi \rangle _{\nu }=|\Phi _{0}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{1}\rangle _{\nu }\oplus |\Phi _{2}\rangle _{\nu }\oplus \cdots =b|0\rangle \oplus \sum _{i}b_{i}|\phi _{i}\rangle \oplus \sum _{ij}b_{ij}|\phi _{i},\phi _{j}\rangle _{\nu }\oplus \cdots }$$ ${\displaystyle F_{\nu }(H)}$ $${\displaystyle \langle \Psi |\Phi \rangle _{\nu }:=\sum _{n}\langle \Psi _{n}|\Phi _{n}\rangle _{\nu }=a^{*}b+\sum _{ij}a_{i}^{*}b_{j}\langle \psi _{i}|\phi _{j}\rangle +\sum _{ijkl}a_{ij}^{*}b_{kl}\langle \psi _{i}|\phi _{k}\rangle \langle \psi _{j}|\phi _{l}\rangle _{\nu }+\cdots }$$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

Estados de producto, partículas indistinguibles y una base útil para el espacio de Fock

Un estado de producto del espacio de Fock es un estado de la forma

$${\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }=|\phi _{1}\rangle \otimes |\phi _{2}\rangle \otimes \cdots \otimes |\phi _{n}\rangle }$$

que describe una colección de partículas, una de las cuales tiene estado cuántico , otra y así sucesivamente hasta la partícula n, donde cada una es cualquier estado del espacio de Hilbert de una sola partícula . Aquí la yuxtaposición (escribir las partículas kets una al lado de la otra, sin el ) es una multiplicación simétrica (o antisimétrica) en el álgebra tensorial simétrica (antisimétrica) . El estado general en un espacio de Fock es una combinación lineal de estados de producto. Un estado que no se puede escribir como una suma convexa de estados de producto se llama estado entrelazado . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi _{1}}$ ${\displaystyle \phi _{2}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle \otimes }$

Cuando hablamos de una partícula en estado ${\displaystyle \phi _{i}}$ , debemos tener en cuenta que en mecánica cuántica las partículas idénticas son indistinguibles . En el mismo espacio de Fock, todas las partículas son idénticas. (Para describir muchas especies de partículas, tomamos el producto tensorial de tantos espacios de Fock diferentes como especies de partículas bajo consideración). Una de las características más poderosas de este formalismo es que los estados están implícitamente correctamente simetrizados. Por ejemplo, si el estado anterior es fermiónico, será 0 si dos (o más) de los son iguales porque el producto antisimétrico (exterior) . Esta es una formulación matemática del principio de exclusión de Pauli que dice que no pueden haber dos (o más) fermiones en el mismo estado cuántico. De hecho, siempre que los términos en un producto formal sean linealmente dependientes; el producto será cero para tensores antisimétricos. Además, el producto de estados ortonormales es propiamente ortonormal por construcción (aunque posiblemente 0 en el caso de Fermi cuando dos estados son iguales). ${\displaystyle |\Psi \rangle _{-}}$ ${\displaystyle \phi _{i}}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle |\phi _{i}\rangle =0}$

Una base útil y conveniente para un espacio de Fock es la base del número de ocupación . Dada una base de , podemos denotar el estado con partículas en el estado , partículas en el estado , ..., partículas en el estado y ninguna partícula en los estados restantes, definiendo ${\displaystyle \{|\psi _{i}\rangle \}_{i=0,1,2,\dots }}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle n_{0}}$ ${\displaystyle |\psi _{0}\rangle }$ ${\displaystyle n_{1}}$ ${\displaystyle |\psi _{1}\rangle }$ ${\displaystyle n_{k}}$ ${\displaystyle |\psi _{k}\rangle }$

$${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}},}$$

donde cada uno toma el valor 0 o 1 para partículas fermiónicas y 0, 1, 2, ... para partículas bosónicas. Nótese que los ceros finales pueden eliminarse sin cambiar el estado. Tal estado se llama estado de Fock . Cuando se entienden como los estados estables de un campo libre, los estados de Fock describen un conjunto de partículas que no interactúan en números definidos. El estado de Fock más general es una superposición lineal de estados puros. ${\displaystyle n_{i}}$ ${\displaystyle |\psi _{i}\rangle }$

Dos operadores de gran importancia son los operadores de creación y aniquilación , que al actuar sobre un estado de Fock añaden o eliminan respectivamente una partícula en el estado cuántico asignado. Se denotan para la creación y para la aniquilación respectivamente. Para crear ("añadir") una partícula, el estado cuántico es simétrico o exterior-multiplicado por ; y respectivamente para aniquilar ("eliminar") una partícula, se toma un producto interior (par o impar) con , que es el adjunto de . A menudo es conveniente trabajar con estados de la base de de modo que estos operadores eliminen y añadan exactamente una partícula en el estado base dado. Estos operadores también sirven como generadores para operadores más generales que actúan sobre el espacio de Fock, por ejemplo el operador de número que da el número de partículas en un estado específico es . ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )\,}$ ${\displaystyle a(\phi )}$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle |\phi \rangle }$ ${\displaystyle \langle \phi |}$ ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi )}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle |\phi _{i}\rangle }$ ${\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}$

Interpretación de la función de onda

A menudo, el espacio de una partícula se da como , el espacio de funciones integrables al cuadrado en un espacio con medida (estrictamente hablando, las clases de equivalencia de funciones integrables al cuadrado donde las funciones son equivalentes si difieren en un conjunto de medida cero ). El ejemplo típico es la partícula libre con el espacio de funciones integrables al cuadrado en el espacio tridimensional. Los espacios de Fock tienen entonces una interpretación natural como funciones integrables al cuadrado simétricas o antisimétricas de la siguiente manera. ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L_{2}(X,\mu )}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle H=L_{2}(\mathbb {R} ^{3},d^{3}x)}$

Sea y , , , etc. Consideremos el espacio de tuplas de puntos que es la unión disjunta ${\displaystyle X^{0}=\{*\}}$ ${\displaystyle X^{1}=X}$ ${\displaystyle X^{2}=X\times X}$ ${\displaystyle X^{3}=X\times X\times X}$

$${\displaystyle X^{*}=X^{0}\bigsqcup X^{1}\bigsqcup X^{2}\bigsqcup X^{3}\bigsqcup \cdots .}$$

Tiene una medida natural tal que y la restricción de a es . El espacio de Fock par puede entonces identificarse con el espacio de funciones simétricas en mientras que el espacio de Fock impar puede identificarse con el espacio de funciones antisimétricas. La identificación se desprende directamente de la función isométrica . ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle \mu ^{*}(X^{0})=1}$ ${\displaystyle \mu ^{*}}$ ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle \mu ^{n}}$ ${\displaystyle F_{+}(L_{2}(X,\mu ))}$ ${\displaystyle L_{2}(X^{*},\mu ^{*})}$ ${\displaystyle F_{-}(L_{2}(X,\mu ))}$ $${\displaystyle L_{2}(X,\mu )^{\otimes n}\to L_{2}(X^{n},\mu ^{n})}$$ $${\displaystyle \psi _{1}(x)\otimes \cdots \otimes \psi _{n}(x)\mapsto \psi _{1}(x_{1})\cdots \psi _{n}(x_{n})}$$

Dadas las funciones de onda , el determinante de Slater ${\displaystyle \psi _{1}=\psi _{1}(x),\ldots ,\psi _{n}=\psi _{n}(x)}$

$${\displaystyle \Psi (x_{1},\ldots x_{n})={\frac {1}{\sqrt {n!}}}{\begin{vmatrix}\psi _{1}(x_{1})&\cdots &\psi _{n}(x_{1})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\psi _{1}(x_{n})&\cdots &\psi _{n}(x_{n})\\\end{vmatrix}}}$$es una función antisimétrica en . Por lo tanto, puede interpretarse naturalmente como un elemento del sector de partículas del espacio de Fock impar. La normalización se elige de modo que si las funciones son ortonormales. Existe un "permanente de Slater" similar con el determinante reemplazado por el permanente que da elementos del sector del espacio de Fock par. ${\displaystyle X^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \|\Psi \|=1}$ ${\displaystyle \psi _{1},\ldots ,\psi _{n}}$ ${\displaystyle n}$

Relación con el espacio de Segal-Bargmann

Defina el espacio de Segal-Bargmann ^[3] de funciones holomorfas complejas integrables al cuadrado con respecto a una medida gaussiana : ${\displaystyle B_{N}}$

$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{2}\left(\mathbb {C} ^{N}\right)=\left\{f\colon \mathbb {C} ^{N}\to \mathbb {C} \mid \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}<\infty \right\},}$$donde Luego, definiendo un espacio como la unión anidada de los espacios sobre los enteros , Segal ^[4] y Bargmann demostraron ^{[5] [6]} que es isomorfo a un espacio de Fock bosónico. El monomio corresponde al estado de Fock $${\displaystyle \Vert f\Vert _{{\mathcal {F}}^{2}(\mathbb {C} ^{N})}:=\int _{\mathbb {C} ^{N}}\vert f(\mathbf {z} )\vert ^{2}e^{-\pi \vert \mathbf {z} \vert ^{2}}\,d\mathbf {z} .}$$ ${\displaystyle B_{\infty }}$ ${\displaystyle B_{N}}$ ${\displaystyle N\geq 0}$ ${\displaystyle B_{\infty }}$ $${\displaystyle x_{1}^{n_{1}}...x_{k}^{n_{k}}}$$ $${\displaystyle |n_{0},n_{1},\ldots ,n_{k}\rangle _{\nu }=|\psi _{0}\rangle ^{n_{0}}|\psi _{1}\rangle ^{n_{1}}\cdots |\psi _{k}\rangle ^{n_{k}}.}$$

Véase también

• Estado de Fock
• Álgebra tensorial
• Espacio de Fock holomórfico
• Operadores de creación y aniquilación
• Determinante de Slater
• Teorema de Wick
• Geometría no conmutativa
• Conjunto gran canónico , distribución térmica sobre el espacio de Fock
• Funcional de Schrödinger

Referencias

1. Fock, V. (1932). "Konfigurationsraum und zweite Quantelung". Zeitschrift für Physik (en alemán). 75 (9-10). Springer Science y Business Media LLC: 622–647. Código bibliográfico : 1932ZPhy...75..622F. doi :10.1007/bf01344458. ISSN  1434-6001. S2CID  186238995.
2. MC Reed , B. Simon , "Métodos de física matemática moderna, volumen II", Academic Press 1975. Página 328.
3. Bargmann, V. (1961). "Sobre un espacio de Hilbert de funciones analíticas y la transformada integral asociada I". Communications on Pure and Applied Mathematics . 14 : 187–214. doi :10.1002/cpa.3160140303. hdl : 10338.dmlcz/143587 .
4. Segal, IE (1963). "Problemas matemáticos de la física relativista". Actas del Seminario de verano, Boulder, Colorado, 1960, vol. II , cap. VI.
5. Bargmann, V (1962). "Observaciones sobre un espacio de Hilbert de funciones analíticas". Proc. Natl. Sci . 48 (2): 199–204. Bibcode :1962PNAS...48..199B. doi : 10.1073/pnas.48.2.199 . PMC 220756 . PMID  16590920. 
6. Stochel, Jerzy B. (1997). "Representación de operadores generalizados de aniquilación y creación en el espacio de Fock" (PDF) . Universitatis Iagellonicae Acta Mathematica . 34 : 135–148 . Consultado el 13 de diciembre de 2012 .

Enlaces externos

• Diagramas de Feynman y productos de Wick asociados con el espacio q-Fock: análisis no conmutativo, Edward G. Effros y Mihai Popa, Departamento de Matemáticas, UCLA
• R. Geroch, Física matemática, Chicago University Press, Capítulo 21.