Función de error

Función especial de la forma sigmoidea

En matemáticas, la función de error (también llamada función de error de Gauss ), a menudo denotada por erf , es una función definida como: ^[1] ${\displaystyle \mathrm {erf} :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$ $${\displaystyle \operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{z}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t.}$$

La integral aquí es una integral de contorno compleja que no depende de la trayectoria porque es holomorfa en todo el plano complejo . En muchas aplicaciones, el argumento de la función es un número real, en cuyo caso el valor de la función también es real. ${\displaystyle \exp(-t^{2})}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

En algunos textos antiguos, ^[2] la función de error se define sin el factor de . Esta integral no elemental es una función sigmoidea que aparece a menudo en probabilidad , estadística y ecuaciones diferenciales parciales . ${\displaystyle 2/{\sqrt {\pi }}}$

En estadística, para valores reales no negativos de x , la función de error tiene la siguiente interpretación: para una variable aleatoria real Y que se distribuye normalmente con media 0 y desviación estándar , erf x es la probabilidad de que Y caiga en el rango [− x , x ] . ${\displaystyle 1/{\sqrt {2}}}$

Dos funciones estrechamente relacionadas son la función de error complementaria se define como ${\displaystyle \mathrm {erfc} :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \operatorname {erfc} z=1-\operatorname {erf} z,}$$

y la función de error imaginaria se define como ${\displaystyle \mathrm {erfi} :\mathbb {C} \to \mathbb {C} }$

$${\displaystyle \operatorname {erfi} z=-i\operatorname {erf} iz,}$$

donde i es la unidad imaginaria .

Nombre

El nombre "función de error" y su abreviatura erf fueron propuestos por JWL Glaisher en 1871 debido a su conexión con "la teoría de la probabilidad, y en particular la teoría de los errores ". ^[3] El complemento de la función de error también fue discutido por Glaisher en una publicación separada en el mismo año. ^[4] Para la "ley de facilidad" de errores cuya densidad está dada por (la distribución normal ), Glaisher calcula la probabilidad de un error que se encuentra entre p y q como: $${\displaystyle f(x)=\left({\frac {c}{\pi }}\right)^{1/2}e^{-cx^{2}}}$$ $${\displaystyle \left({\frac {c}{\pi }}\right)^{\frac {1}{2}}\int _{p}^{q}e^{-cx^{2}}\,\mathrm {d} x={\tfrac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} \left(q{\sqrt {c}}\right)-\operatorname {erf} \left(p{\sqrt {c}}\right)\right).}$$

Gráfico de la función de error Erf(z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

Aplicaciones

Cuando los resultados de una serie de mediciones se describen mediante una distribución normal con desviación estándar σ y valor esperado 0, entonces erf ( ⁠a/σ √ 2⁠ ) ​​es la probabilidad de que el error de una sola medición se encuentre entre − a y + a , para a positivo. Esto es útil, por ejemplo, para determinar la tasa de error de bits de un sistema de comunicación digital.

Las funciones de error y error complementaria ocurren, por ejemplo, en soluciones de la ecuación de calor cuando las condiciones de contorno están dadas por la función escalón de Heaviside .

La función de error y sus aproximaciones se pueden utilizar para estimar resultados que se cumplen con alta o baja probabilidad. Dada una variable aleatoria X ~ Norm[ μ , σ ] (una distribución normal con media μ y desviación estándar σ ) y una constante L > μ , se puede demostrar mediante integración por sustitución: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[X\leq L]&={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\frac {L-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\\&\approx A\exp \left(-B\left({\frac {L-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}$$

donde A y B son ciertas constantes numéricas. Si L está suficientemente lejos de la media, específicamente μ − L ≥ σ √ ln k , entonces:

$${\displaystyle \Pr[X\leq L]\leq A\exp(-B\ln {k})={\frac {A}{k^{B}}}}$$

Por lo tanto, la probabilidad tiende a 0 cuando k → ∞ .

La probabilidad de que X esté en el intervalo [ L _a , L _b ] se puede derivar como $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr[L_{a}\leq X\leq L_{b}]&=\int _{L_{a}}^{L_{b}}{\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right)\,\mathrm {d} x\\&={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {erf} {\frac {L_{b}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}-\operatorname {erf} {\frac {L_{a}-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}\right).\end{aligned}}}$$

Propiedades

Parcelas en el plano complejo

La propiedad erf (− z ) = −erf z significa que la función error es una función impar . Esto resulta directamente del hecho de que el integrando e ^{− t 2} es una función par (la antiderivada de una función par que es cero en el origen es una función impar y viceversa).

Dado que la función de error es una función entera que convierte números reales en números reales, para cualquier número complejo z : donde z es el conjugado complejo de z . $${\displaystyle \operatorname {erf} {\overline {z}}={\overline {\operatorname {erf} z}}}$$

El integrando f = exp(− z ² ) y f = erf z se muestran en el plano z complejo en las figuras de la derecha con coloración de dominio .

La función de error en +∞ es exactamente 1 (ver integral de Gauss ). En el eje real, erf z tiende a la unidad en z → +∞ y a −1 en z → −∞ . En el eje imaginario, tiende a ± i ∞ .

Serie de Taylor

La función de error es una función entera ; no tiene singularidades (excepto la del infinito) y su expansión de Taylor siempre converge. Sin embargo, para x >> 1 , la cancelación de los términos principales hace que la expansión de Taylor no sea práctica.

La integral definitoria no se puede evaluar en forma cerrada en términos de funciones elementales (véase el teorema de Liouville ), pero al expandir el integrando e ^{− z 2} en su serie de Maclaurin e integrar término por término, se obtiene la serie de Maclaurin de la función de error como: que se cumple para cada número complejo z . Los términos del denominador son la secuencia A007680 en la OEIS . $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}-{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}-\cdots \right)\end{aligned}}}$$ 

Para el cálculo iterativo de la serie anterior, puede ser útil la siguiente formulación alternativa : porque $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }\left(z\prod _{k=1}^{n}{\frac {-(2k-1)z^{2}}{k(2k+1)}}\right)\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z}{2n+1}}\prod _{k=1}^{n}{\frac {-z^{2}}{k}}\end{aligned}}}$$−(2 k − 1) z ²/k (2k + 1)⁠ expresa el multiplicador para convertir el k -ésimo término en el ( k  + 1) -ésimo término (considerando z como el primer término).

La función de error imaginaria tiene una serie de Maclaurin muy similar, que es: que es válida para cada número complejo z . $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} z&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{2n+1}}{n!(2n+1)}}\\[6pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(z+{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{10}}+{\frac {z^{7}}{42}}+{\frac {z^{9}}{216}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$$ 

Derivada e integral

La derivada de la función de error se sigue inmediatamente de su definición: De esto, la derivada de la función de error imaginaria también es inmediata: Una antiderivada de la función de error, obtenible por integración por partes , es Una antiderivada de la función de error imaginaria, también obtenible por integración por partes, es Las derivadas de orden superior están dadas por donde H son los polinomios de Hermite de los físicos . ^[5] $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} z}}\operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}.}$$ $${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\operatorname {erfi} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{z^{2}}.}$$ $${\displaystyle z\operatorname {erf} z+{\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$$ $${\displaystyle z\operatorname {erfi} z-{\frac {e^{z^{2}}}{\sqrt {\pi }}}.}$$ $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{(k)}z={\frac {2(-1)^{k-1}}{\sqrt {\pi }}}{\mathit {H}}_{k-1}(z)e^{-z^{2}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\mathrm {d} ^{k-1}}{\mathrm {d} z^{k-1}}}\left(e^{-z^{2}}\right),\qquad k=1,2,\dots }$$

Serie Bürmann

Una expansión, ^[6] que converge más rápidamente para todos los valores reales de x que una expansión de Taylor, se obtiene utilizando el teorema de Hans Heinrich Bürmann : ^[7] donde sgn es la función de signo . Manteniendo solo los dos primeros coeficientes y eligiendo c ₁ = ⁠ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} x&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left(1-{\frac {1}{12}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)-{\frac {7}{480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{2}-{\frac {5}{896}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{3}-{\frac {787}{276480}}\left(1-e^{-x^{2}}\right)^{4}-\cdots \right)\\[10pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }c_{k}e^{-kx^{2}}\right).\end{aligned}}}$$31/200⁠ y c ₂ = − ⁠341/8000⁠ , la aproximación resultante muestra su mayor error relativo en x = ±1,3796 , donde es menor que 0,0036127: $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx {\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-e^{-x^{2}}}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+{\frac {31}{200}}e^{-x^{2}}-{\frac {341}{8000}}e^{-2x^{2}}\right).}$$

Funciones inversas

Función de error inverso

Dado un número complejo z , no existe un único número complejo w que satisfaga erf w = z , por lo que una función inversa verdadera sería multivaluada. Sin embargo, para −1 < x < 1 , existe un único número real denotado erf ⁻¹ x que satisface $${\displaystyle \operatorname {erf} \left(\operatorname {erf} ^{-1}x\right)=x.}$$

La función de error inversa se define habitualmente con el dominio (−1,1) , y está restringida a este dominio en muchos sistemas de álgebra computacional. Sin embargo, se puede extender al disco | z | < 1 del plano complejo, utilizando la serie de Maclaurin ^[8] donde c ₀ = 1 y $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}c_{k}&=\sum _{m=0}^{k-1}{\frac {c_{m}c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)}}\\[1ex]&=\left\{1,1,{\frac {7}{6}},{\frac {127}{90}},{\frac {4369}{2520}},{\frac {34807}{16200}},\ldots \right\}.\end{aligned}}}$$

Así tenemos la expansión de la serie (los factores comunes han sido cancelados de los numeradores y denominadores): (Después de la cancelación, los valores del numerador y denominador en OEIS : A092676 y OEIS : A092677 respectivamente; sin cancelación, los términos del numerador son valores en OEIS : A002067 ). El valor de la función de error en  ±∞ es igual a  ±1 . $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}z={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}\left(z+{\frac {\pi }{12}}z^{3}+{\frac {7\pi ^{2}}{480}}z^{5}+{\frac {127\pi ^{3}}{40320}}z^{7}+{\frac {4369\pi ^{4}}{5806080}}z^{9}+{\frac {34807\pi ^{5}}{182476800}}z^{11}+\cdots \right).}$$

Para | z | < 1 , tenemos erf(erf ⁻¹ z ) = z .

La función de error complementaria inversa se define como Para x real , existe un único número real erfi ⁻¹ x que satisface erfi(erfi ⁻¹ x ) = x . La función de error imaginaria inversa se define como erfi ⁻¹ x . ^[9] $${\displaystyle \operatorname {erfc} ^{-1}(1-z)=\operatorname {erf} ^{-1}z.}$$

Para cualquier x real , se puede utilizar el método de Newton para calcular erfi ⁻¹ x , y para −1 ≤ x ≤ 1 , la siguiente serie de Maclaurin converge: donde c _k se define como arriba. $${\displaystyle \operatorname {erfi} ^{-1}z=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}c_{k}}{2k+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}z\right)^{2k+1},}$$

Expansión asintótica

Una expansión asintótica útil de la función de error complementaria (y por lo tanto también de la función de error) para x reales grandes es donde (2 n − 1)!! es el factorial doble de (2 n − 1) , que es el producto de todos los números impares hasta (2 n − 1) . Esta serie diverge para cada x finito , y su significado como expansión asintótica es que para cualquier entero N ≥ 1 se tiene donde el resto es que se sigue fácilmente por inducción, escribiendo e integrando por partes. $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\left(1+\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1\cdot 3\cdot 5\cdots (2n-1)}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}\right)\\[6pt]&={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}},\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {erfc} x={\frac {e^{-x^{2}}}{x{\sqrt {\pi }}}}\sum _{n=0}^{N-1}(-1)^{n}{\frac {(2n-1)!!}{\left(2x^{2}\right)^{n}}}+R_{N}(x)}$$ $${\displaystyle R_{N}(x):={\frac {(-1)^{N}}{\sqrt {\pi }}}2^{1-2N}{\frac {(2N)!}{N!}}\int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t,}$$ $${\displaystyle e^{-t^{2}}=-(2t)^{-1}\left(e^{-t^{2}}\right)'}$$

El comportamiento asintótico del término restante, en notación de Landau , es cuando x → ∞ . Esto se puede encontrar mediante Para valores suficientemente grandes de x , solo se necesitan los primeros términos de esta expansión asintótica para obtener una buena aproximación de erfc x (mientras que para valores no demasiado grandes de x , la expansión de Taylor anterior en 0 proporciona una convergencia muy rápida). $${\displaystyle R_{N}(x)=O\left(x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}\right)}$$ $${\displaystyle R_{N}(x)\propto \int _{x}^{\infty }t^{-2N}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t=e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }(t+x)^{-2N}e^{-t^{2}-2tx}\,\mathrm {d} t\leq e^{-x^{2}}\int _{0}^{\infty }x^{-2N}e^{-2tx}\,\mathrm {d} t\propto x^{-(1+2N)}e^{-x^{2}}.}$$

Expansión de fracciones continuas

Laplace encontró una expansión de fracción continua de la función de error complementaria : ^{[10] [11]} $${\displaystyle \operatorname {erfc} z={\frac {z}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}{\cfrac {1}{z^{2}+{\cfrac {a_{1}}{1+{\cfrac {a_{2}}{z^{2}+{\cfrac {a_{3}}{1+\dotsb }}}}}}}},\qquad a_{m}={\frac {m}{2}}.}$$

Serie factorial

La serie factorial inversa: converge para Re( z ² ) > 0 . Aquí z ⁿ denota el factorial ascendente y s ( n , k ) denota un número de Stirling con signo de primera especie . ^{[12] [13]} También existe una representación mediante una suma infinita que contiene el factorial doble : $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} z&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{n}Q_{n}}{{\left(z^{2}+1\right)}^{\bar {n}}}}\\[1ex]&={\frac {e^{-z^{2}}}{{\sqrt {\pi }}\,z}}\left[1-{\frac {1}{2}}{\frac {1}{(z^{2}+1)}}+{\frac {1}{4}}{\frac {1}{\left(z^{2}+1\right)\left(z^{2}+2\right)}}-\cdots \right]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}Q_{n}&{\overset {\text{def}}{{}={}}}{\frac {1}{\Gamma {\left({\frac {1}{2}}\right)}}}\int _{0}^{\infty }\tau (\tau -1)\cdots (\tau -n+1)\tau ^{-{\frac {1}{2}}}e^{-\tau }\,d\tau \\[1ex]&=\sum _{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{\bar {k}}s(n,k),\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \operatorname {erf} z={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-2)^{n}(2n-1)!!}{(2n+1)!}}z^{2n+1}}$$

Aproximaciones numéricas

Aproximación con funciones elementales

• Abramowitz y Stegun ofrecen varias aproximaciones de precisión variable (ecuaciones 7.1.25–28). Esto permite elegir la aproximación más rápida adecuada para una aplicación determinada. En orden de precisión creciente, son: (error máximo: $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}\right)^{4}}},\qquad x\geq 0}$$5 × 10 ⁻⁴ )

  donde a ₁ = 0,278393 , a ₂ = 0,230389 , a ₃ = 0,000972 , a ₄ = 0,078108

  $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+a_{3}t^{3}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}},\qquad x\geq 0}$$(error máximo:2,5 × 10 ⁻⁵ )

  donde p = 0,47047 , a ₁ = 0,3480242 , a ₂ = −0,0958798 , a ₃ = 0,7478556

  $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-{\frac {1}{\left(1+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{6}x^{6}\right)^{16}}},\qquad x\geq 0}$$(error máximo:3 × 10 ⁻⁷ )

  donde a ₁ = 0,0705230784 , a ₂ = 0,0422820123 , a ₃ = 0,0092705272 , a ₄ = 0,0001520143 , a ₅ = 0,0002765672 , a ₆ = 0,0000430638

  $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx 1-\left(a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots +a_{5}t^{5}\right)e^{-x^{2}},\quad t={\frac {1}{1+px}}}$$(error máximo:1,5 × 10 ⁻⁷ )

  donde p = 0,3275911 , a ₁ = 0,254829592 , a ₂ = −0,284496736 , a ₃ = 1,421413741 , a ₄ = −1,453152027 , a ₅ = 1,061405429

  Todas estas aproximaciones son válidas para x ≥ 0 . Para utilizar estas aproximaciones para x negativo , utilice el hecho de que erf x es una función impar, por lo que erf x = −erf(− x ) .

• Los límites exponenciales y una aproximación exponencial pura para la función de error complementaria se dan en ^[14]. $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&\leq {\frac {1}{2}}e^{-2x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-x^{2}}\leq e^{-x^{2}},&\quad x&>0\\[1.5ex]\operatorname {erfc} x&\approx {\frac {1}{6}}e^{-x^{2}}+{\frac {1}{2}}e^{-{\frac {4}{3}}x^{2}},&\quad x&>0.\end{aligned}}}$$
• Lo anterior se ha generalizado a sumas de N exponenciales ^[15] con una precisión creciente en términos de N, de modo que erfc x se puede aproximar con precisión o acotar por 2 Q̃ ( √ 2 x ) , donde En particular, existe una metodología sistemática para resolver los coeficientes numéricos {( a _n , b _n )} $${\displaystyle {\tilde {Q}}(x)=\sum _{n=1}^{N}a_{n}e^{-b_{n}x^{2}}.}$$^N
  _{n = 1}que producen una aproximación o límite minimax para la función Q estrechamente relacionada : Q ( x ) ≈ Q̃ ( x ) , Q ( x ) ≤ Q̃ ( x ) o Q ( x ) ≥ Q̃ ( x ) para x ≥ 0 . Los coeficientes {( a _n , b _n )}^N
  _{n = 1}Se han publicado para acceso abierto muchas variaciones de las aproximaciones exponenciales y límites hasta N = 25 como un conjunto de datos completo. ^[16]
• Karagiannidis y Lioumpas (2007) ^[17] ofrecen una aproximación estricta de la función de error complementaria para x ∈ [0,∞) y demostraron que, para la elección adecuada de los parámetros { A , B } , determinaron que { A , B } = {1,98,1,135} , lo que dio una buena aproximación para todos los x ≥ 0 . También hay coeficientes alternativos disponibles para adaptar la precisión a una aplicación específica o transformar la expresión en un límite estricto. ^[18] $${\displaystyle \operatorname {erfc} x\approx {\frac {\left(1-e^{-Ax}\right)e^{-x^{2}}}{B{\sqrt {\pi }}x}}.}$$
• Un límite inferior de un solo término es ^[19] donde el parámetro β puede elegirse para minimizar el error en el intervalo de aproximación deseado. $${\displaystyle \operatorname {erfc} x\geq {\sqrt {\frac {2e}{\pi }}}{\frac {\sqrt {\beta -1}}{\beta }}e^{-\beta x^{2}},\qquad x\geq 0,\quad \beta >1,}$$
• Otra aproximación la da Sergei Winitzki usando sus "aproximaciones globales de Padé": ^{[20] [21] : 2–3} donde Esto está diseñado para ser muy preciso en un entorno de 0 y un entorno de infinito, y el error relativo es menor que 0,00035 para todos los x reales . Usando el valor alternativo a ≈ 0,147 se reduce el error relativo máximo a aproximadamente 0,00013. ^[22] $${\displaystyle \operatorname {erf} x\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {1-\exp \left(-x^{2}{\frac {{\frac {4}{\pi }}+ax^{2}}{1+ax^{2}}}\right)}}}$$ $${\displaystyle a={\frac {8(\pi -3)}{3\pi (4-\pi )}}\approx 0.140012.}$$

  Esta aproximación se puede invertir para obtener una aproximación de la función de error inversa: $${\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}x\approx \operatorname {sgn} x\cdot {\sqrt {{\sqrt {\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)^{2}-{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{a}}}}-\left({\frac {2}{\pi a}}+{\frac {\ln \left(1-x^{2}\right)}{2}}\right)}}.}$$

• Una aproximación con un error máximo de1,2 × 10 ⁻⁷ para cualquier argumento real es: ^[23] con y $${\displaystyle \operatorname {erf} x={\begin{cases}1-\tau &x\geq 0\\\tau -1&x<0\end{cases}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\tau &=t\cdot \exp \left(-x^{2}-1.26551223+1.00002368t+0.37409196t^{2}+0.09678418t^{3}-0.18628806t^{4}\right.\\&\left.\qquad \qquad \qquad +0.27886807t^{5}-1.13520398t^{6}+1.48851587t^{7}-0.82215223t^{8}+0.17087277t^{9}\right)\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle t={\frac {1}{1+{\frac {1}{2}}|x|}}.}$$
• Una aproximación de con un error relativo máximo menor que en valor absoluto es: ^[24] para , y para ${\displaystyle \operatorname {erfc} }$ ${\displaystyle 2^{-53}}$ ${\displaystyle \left(\approx 1.1\times 10^{-16}\right)}$ ${\displaystyle x\geq 0}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} \left(x\right)&=\left({\frac {0.56418958354775629}{x+2.06955023132914151}}\right)\left({\frac {x^{2}+2.71078540045147805x+5.80755613130301624}{x^{2}+3.47954057099518960x+12.06166887286239555}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+3.47469513777439592x+12.07402036406381411}{x^{2}+3.72068443960225092x+8.44319781003968454}}\right)\left({\frac {x^{2}+4.00561509202259545x+9.30596659485887898}{x^{2}+3.90225704029924078x+6.36161630953880464}}\right)\\&\left({\frac {x^{2}+5.16722705817812584x+9.12661617673673262}{x^{2}+4.03296893109262491x+5.13578530585681539}}\right)\left({\frac {x^{2}+5.95908795446633271x+9.19435612886969243}{x^{2}+4.11240942957450885x+4.48640329523408675}}\right)e^{-x^{2}}\\\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle x<0}$ $${\displaystyle \operatorname {erfc} \left(x\right)=2-\operatorname {erfc} \left(-x\right)}$$
• Una aproximación simple para argumentos de valor real podría hacerse a través de funciones hiperbólicas : que mantienen la diferencia absoluta . $${\displaystyle \operatorname {erf} \left(x\right)\approx z(x)=\tanh \left({\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x+{\frac {11}{123}}x^{3}\right)\right)}$$ ${\displaystyle \left|\operatorname {erf} \left(x\right)-z(x)\right|<0.000358,\,\forall x}$

Tabla de valores

Funciones relacionadas

Función de error complementaria

La función de error complementaria , denotada erfc , se define como

Gráfico de la función de error complementaria Erfc(z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfc} x&=1-\operatorname {erf} x\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{x}^{\infty }e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&=e^{-x^{2}}\operatorname {erfcx} x,\end{aligned}}}$$que también define erfcx , la función de error complementaria escalada ^[25] (que se puede utilizar en lugar de erfc para evitar el desbordamiento aritmético ^{[25] [26]} ). Otra forma de erfc x para x ≥ 0 se conoce como fórmula de Craig, en honor a su descubridor: ^[27] Esta expresión es válida solo para valores positivos de x , pero se puede utilizar junto con erfc x = 2 − erfc(− x ) para obtener erfc( x ) para valores negativos. Esta forma es ventajosa porque el rango de integración es fijo y finito. Una extensión de esta expresión para el erfc de la suma de dos variables no negativas es la siguiente: ^[28] $${\displaystyle \operatorname {erfc} (x\mid x\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta .}$$ $${\displaystyle \operatorname {erfc} (x+y\mid x,y\geq 0)={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}\exp \left(-{\frac {x^{2}}{\sin ^{2}\theta }}-{\frac {y^{2}}{\cos ^{2}\theta }}\right)\,\mathrm {d} \theta .}$$

Función de error imaginario

La función de error imaginaria , denotada erfi , se define como

Gráfico de la función de error imaginaria Erfi(z) en el plano complejo desde -2-2i hasta 2+2i con colores creado con la función ComplexPlot3D de Mathematica 13.1

$${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erfi} x&=-i\operatorname {erf} ix\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int _{0}^{x}e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t\\[5pt]&={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{x^{2}}D(x),\end{aligned}}}$$donde D ( x ) es la función de Dawson (que puede utilizarse en lugar de erfi para evitar el desbordamiento aritmético ^[25] ).

A pesar del nombre "función de error imaginaria", erfi x es real cuando x es real.

Cuando se evalúa la función de error para argumentos complejos arbitrarios z , la función de error compleja resultante generalmente se analiza en forma escalada como la función de Faddeeva : $${\displaystyle w(z)=e^{-z^{2}}\operatorname {erfc} (-iz)=\operatorname {erfcx} (-iz).}$$

Función de distribución acumulativa

La función de error es esencialmente idéntica a la función de distribución acumulativa normal estándar , denotada Φ , también llamada norm( x ) por algunos lenguajes de software ^{[ cita requerida ]} , ya que difieren solo en la escala y la traducción. De hecho,

La función de distribución acumulativa normal representada en el plano complejo.

$${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (x)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{x}e^{\tfrac {-t^{2}}{2}}\,\mathrm {d} t\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(1+\operatorname {erf} {\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \left(-{\frac {x}{\sqrt {2}}}\right)\end{aligned}}}$$o reorganizado para erf y erfc : $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {erf} (x)&=2\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)-1\\[6pt]\operatorname {erfc} (x)&=2\Phi \left(-x{\sqrt {2}}\right)\\&=2\left(1-\Phi \left(x{\sqrt {2}}\right)\right).\end{aligned}}}$$

En consecuencia, la función de error también está estrechamente relacionada con la función Q , que es la probabilidad de cola de la distribución normal estándar. La función Q se puede expresar en términos de la función de error como $${\displaystyle {\begin{aligned}Q(x)&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}\operatorname {erf} {\frac {x}{\sqrt {2}}}\\&={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} {\frac {x}{\sqrt {2}}}.\end{aligned}}}$$

La inversa de Φ se conoce como función cuantil normal o función probit y puede expresarse en términos de la función de error inversa como $${\displaystyle \operatorname {probit} (p)=\Phi ^{-1}(p)={\sqrt {2}}\operatorname {erf} ^{-1}(2p-1)=-{\sqrt {2}}\operatorname {erfc} ^{-1}(2p).}$$

La función de distribución normal estándar se utiliza con más frecuencia en probabilidad y estadística, y la función de error se utiliza con más frecuencia en otras ramas de las matemáticas.

La función de error es un caso especial de la función Mittag-Leffler , y también puede expresarse como una función hipergeométrica confluente (función de Kummer): $${\displaystyle \operatorname {erf} x={\frac {2x}{\sqrt {\pi }}}M\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {3}{2}},-x^{2}\right).}$$

Tiene una expresión simple en términos de la integral de Fresnel . ^{[ se necesita más explicación ]}

En términos de la función gamma regularizada P y la función gamma incompleta , sgn x es la función de signo . $${\displaystyle \operatorname {erf} x=\operatorname {sgn} x\cdot P\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)={\frac {\operatorname {sgn} x}{\sqrt {\pi }}}\gamma {\left({\tfrac {1}{2}},x^{2}\right)}.}$$

Integrales iteradas de la función de error complementaria

Las integrales iteradas de la función de error complementaria están definidas por ^[29] $${\displaystyle {\begin{aligned}i^{n}\!\operatorname {erfc} z&=\int _{z}^{\infty }i^{n-1}\!\operatorname {erfc} \zeta \,\mathrm {d} \zeta \\[6pt]i^{0}\!\operatorname {erfc} z&=\operatorname {erfc} z\\i^{1}\!\operatorname {erfc} z&=\operatorname {ierfc} z={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}e^{-z^{2}}-z\operatorname {erfc} z\\i^{2}\!\operatorname {erfc} z&={\tfrac {1}{4}}\left(\operatorname {erfc} z-2z\operatorname {ierfc} z\right)\\\end{aligned}}}$$

La fórmula general de recurrencia es $${\displaystyle 2n\cdot i^{n}\!\operatorname {erfc} z=i^{n-2}\!\operatorname {erfc} z-2z\cdot i^{n-1}\!\operatorname {erfc} z}$$

Tienen la serie de potencias de las cuales se siguen las propiedades de simetría y $${\displaystyle i^{n}\!\operatorname {erfc} z=\sum _{j=0}^{\infty }{\frac {(-z)^{j}}{2^{n-j}j!\,\Gamma \left(1+{\frac {n-j}{2}}\right)}},}$$ $${\displaystyle i^{2m}\!\operatorname {erfc} (-z)=-i^{2m}\!\operatorname {erfc} z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)!(m-q)!}}}$$ $${\displaystyle i^{2m+1}\!\operatorname {erfc} (-z)=i^{2m+1}\!\operatorname {erfc} z+\sum _{q=0}^{m}{\frac {z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)!(m-q)!}}.}$$

Implementaciones

Como función real de un argumento real

• En los sistemas operativos compatibles con POSIX , el encabezado math.hdeberá declarar y la biblioteca matemática libmdeberá proporcionar las funciones erfy erfc( precisión doble ) así como sus contrapartes de precisión simple y precisión extendidaerff , erfly erfcf,. ^[30erfcl ]
• La biblioteca científica GNU proporciona funciones de error erf, erfc, log(erf)y escalado. ^[31]

Como función compleja de un argumento complejo

• libcerf, biblioteca numérica C para funciones de error complejas, proporciona las funciones complejas cerf, y las funciones reales , con una precisión de aproximadamente 13 a 14 dígitos, basadas en la función Faddeeva tal como se implementa en el paquete Faddeeva del MITcerfccerfcxerfierfcx

Referencias

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Lectura adicional

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Enlaces externos

• Tabla de integrales de las funciones de error