mapeo racional

Tipo de función parcial entre variedades algebraicas.

En matemáticas , en particular el subcampo de la geometría algebraica , una aplicación racional o mapeo racional es una especie de función parcial entre variedades algebraicas . Este artículo utiliza la convención de que las variedades son irreducibles .

Definición

Definicion formal

Formalmente, una aplicación racional entre dos variedades es una clase de equivalencia de pares en la que hay un morfismo de variedades de un conjunto abierto no vacío a , y dos de esos pares se consideran equivalentes si y coinciden en la intersección (esto es, en particular , vagamente cierto si la intersección está vacía, pero como se supone irreducible, esto es imposible). La prueba de que esto define una relación de equivalencia se basa en el siguiente lema: ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle (f_{U},U)}$ ${\displaystyle f_{U}}$ ${\displaystyle U\subset V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle (f_{U},U)}$ ${\displaystyle ({f'}_{U'},U')}$ ${\displaystyle f_{U}}$ ${\displaystyle {f'}_{U'}}$ ${\displaystyle U\cap U'}$ ${\displaystyle V}$

• Si dos morfismos de variedades son iguales en algún conjunto abierto no vacío, entonces son iguales.

${\displaystyle f}$Se dice que es biracional si existe una aplicación racional que sea su inversa, donde la composición se toma en el sentido anterior. ${\displaystyle g\colon W\to V}$

La importancia de los mapas racionales para la geometría algebraica radica en la conexión entre dichos mapas y los mapas entre los campos funcionales de y . Incluso un examen superficial de las definiciones revela una similitud entre la de mapa racional y la de función racional; de hecho, una función racional es simplemente una aplicación racional cuyo rango es la línea proyectiva. La composición de funciones nos permite entonces "retirar" funciones racionales a lo largo de un mapa racional, de modo que un único mapa racional induce un homomorfismo de campos . En particular, el siguiente teorema es central: el functor de la categoría de variedades proyectivas con aplicaciones racionales dominantes (sobre un campo base fijo, por ejemplo ) a la categoría de extensiones de campo finitamente generadas del campo base con inclusión inversa de extensiones como morfismos , que asocia cada variedad a su campo funcional y cada mapa al mapa asociado de campos funcionales, es una equivalencia de categorías . ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle f\colon V\to W}$ ${\displaystyle K(W)\to K(V)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$

Ejemplos

Mapas racionales de espacios proyectivos.

Hay un mapa racional que envía una proporción . Como el punto no puede tener imagen, esta aplicación es sólo racional y no un morfismo de variedades. De manera más general, existen mapas racionales que envían una tupla a una tupla olvidando las últimas coordenadas. ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle [x:y:z]\mapsto [x:y]}$ ${\displaystyle [0:0:1]}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{m}\to \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle m>n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$

Inclusiones de subvariedades abiertas.

En una variedad conexa , la inclusión de cualquier subvariedad abierta es una equivalencia biracional ya que las dos variedades tienen campos funcionales equivalentes. Es decir, toda función racional puede restringirse a una función racional y, a la inversa, una función racional define una clase de equivalencia racional en . Un excelente ejemplo de este fenómeno es la equivalencia biracional de y , por tanto . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i:U\to X}$ ${\displaystyle f:X\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle U\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle (U,f)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle K(\mathbb {P} ^{n})\cong k(x_{1},\ldots ,x_{n})}$

Cubrir espacios en subconjuntos abiertos

Cubrir espacios en subconjuntos abiertos de una variedad da amplios ejemplos de mapas racionales que no son biracionales. Por ejemplo, el teorema de Belyi establece que toda curva algebraica admite una aplicación que se ramifica en tres puntos. Entonces, hay un espacio de cobertura asociado que define un morfismo racional dominante que no es biracional. Otra clase de ejemplos provienen de las curvas hiperelípticas que son dobles cubiertas de ramificaciones en un número finito de puntos. Otra clase de ejemplos se dan al tomar una hipersuperficie y restringir un mapa racional a . Esto da una cobertura ramificada. Por ejemplo, la superficie cúbica dada por el lugar de fuga tiene un mapa racional para enviar . Este mapa racional se puede expresar como la extensión del campo de grados. ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle f:C\to \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle C|_{U}\to U=\mathbb {P} ^{1}-\{p_{1},p_{2},p_{3}\}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$ ${\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}\to \mathbb {P} ^{n-1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle [x:y:z:w]\mapsto [x:y:z]}$ ${\displaystyle 3}$

$${\displaystyle k(x,y,z)\to {\frac {k(x,y,z)[w]}{(x^{3}+y^{3}+z^{3}+w^{3})}}}$$

Resolución de singularidades

Uno de los ejemplos canónicos de mapa biracional es la Resolución de singularidades . Sobre un campo de característica 0, cada variedad singular tiene asociada una variedad no singular con un mapa biracional . Este mapa tiene la propiedad de que es un isomorfismo y la fibra que está encima es un divisor de cruce normal. Por ejemplo, una curva nodal como es birracional ya que topológicamente es una curva elíptica con uno de los círculos contraído. Entonces, el mapa biracional viene dado por normalización . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \pi :Y\to X}$ ${\displaystyle U=X-{\text{Sing}}(X)}$ ${\displaystyle {\text{Sing}}(X)}$ ${\displaystyle C=Z(x^{3}+y^{3}+z^{3}-xyz)\subset \mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$

Equivalencia biracional

Se dice que dos variedades son biracionalmente equivalentes si existe un mapa biracional entre ellas; este teorema establece que la equivalencia biracional de variedades es idéntica al isomorfismo de sus campos funcionales como extensiones del campo base. Esto es algo más liberal que la noción de isomorfismo de variedades (que requiere un morfismo definido globalmente para presenciar el isomorfismo, no simplemente un mapa racional), en el sentido de que existen variedades que son biracionales pero no isomorfas.

El ejemplo habitual es que es biracional a la variedad contenida en el conjunto de puntos proyectivos tales que , pero no isomorfo. De hecho, dos líneas cualesquiera se cruzan, pero las líneas definidas por y no pueden cruzarse ya que su intersección tendría todas las coordenadas cero. Para calcular el campo de función de pasamos a un subconjunto afín (que no cambia el campo, una manifestación del hecho de que un mapa racional depende sólo de su comportamiento en cualquier subconjunto abierto de su dominio) en el que ; en el espacio proyectivo esto significa que podemos tomar y por lo tanto identificar este subconjunto con el plano afín. Allí, el anillo de coordenadas de es ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{3}}$ ${\displaystyle [w:x:y:z]}$ ${\displaystyle xy-wz=0}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w=x=0}$ ${\displaystyle y=z=0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle w\neq 0}$ ${\displaystyle w=1}$ ${\displaystyle xyz}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle A(X)=k[x,y,z]/(xy-z)\cong k[x,y]}$

a través del mapa . Y el campo de fracciones de este último es justamente isomorfo al de . Tenga en cuenta que en ningún momento produjimos realmente un mapa racional, aunque es posible hacerlo rastreando la prueba del teorema. ${\displaystyle p(x,y,z)+(xy-z)A(X)\mapsto p(x,y,xy)}$ ${\displaystyle k(x,y)}$ ${\displaystyle \mathbb {P} _{k}^{2}}$

Ver también

• Geometría biracional
• explotando
• Campo funcional de una variedad algebraica.
• Resolución de singularidades
• Programa de modelo mínimo
• Estructura de registro

Referencias

• Hartshorne, Robin (1977), Geometría algebraica , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90244-9, SEÑOR  0463157, apartado I.4.