Principio de indiferencia

En teoría de la probabilidad, una regla para asignar probabilidades epistémicas

El principio de indiferencia (también llamado principio de razón insuficiente ) es una regla para asignar probabilidades epistémicas . El principio de indiferencia establece que, en ausencia de evidencia relevante, los agentes deben distribuir su credibilidad (o "grados de creencia") equitativamente entre todos los resultados posibles bajo consideración. ^[1]

En probabilidad bayesiana , este es el prior no informativo más simple . El principio de indiferencia no tiene sentido bajo la interpretación frecuencial de la probabilidad , ^{[ cita necesaria ]} en la que las probabilidades son frecuencias relativas en lugar de grados de creencia en proposiciones inciertas, condicionadas a la información estatal.

Ejemplos

Los ejemplos de libros de texto para la aplicación del principio de indiferencia son las monedas , los dados y las cartas .

Al menos en un sistema macroscópico , se debe suponer que las leyes físicas que gobiernan el sistema no se conocen lo suficientemente bien como para predecir el resultado. Como observó hace algunos siglos John Arbuthnot (en el prefacio de De las leyes del azar , 1692),

Es imposible que un dado, con tanta fuerza y ​​dirección determinada, no caiga en ese lado determinado, solo que no sé la fuerza y ​​dirección que lo hace caer en ese lado determinado, y por lo tanto llámalo Azar, que no es más que la falta de arte...

Con suficiente tiempo y recursos, no hay ninguna razón fundamental para suponer que no se puedan realizar mediciones suficientemente precisas, lo que permitiría predecir el resultado de monedas, dados y cartas con alta precisión: el trabajo de Persi Diaconis con el lanzamiento de monedas Las máquinas son un ejemplo práctico de esto. ^[2]

monedas

Una moneda simétrica tiene dos caras, etiquetadas arbitrariamente como cara (muchas monedas tienen la cabeza de una persona representada en un lado) y cruz . Suponiendo que la moneda debe caer en un lado o en el otro, los resultados del lanzamiento de una moneda son mutuamente excluyentes, exhaustivos e intercambiables. Según el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los posibles resultados una probabilidad de 1/2.

Está implícito en este análisis que las fuerzas que actúan sobre la moneda no se conocen con precisión. Si se conociera con suficiente precisión el impulso impartido a la moneda cuando se lanza, el vuelo de la moneda podría predecirse de acuerdo con las leyes de la mecánica. Así, la incertidumbre en el resultado de un lanzamiento de moneda se deriva (en su mayor parte) de la incertidumbre con respecto a las condiciones iniciales. Este punto se analiza con mayor detalle en el artículo sobre el lanzamiento de moneda .

Dado

Un dado simétrico tiene n caras, etiquetadas arbitrariamente de 1 a n . Un dado cúbico ordinario tiene n = 6 caras, aunque se puede construir un dado simétrico con diferente número de caras; ver Dados . Suponemos que el dado caerá con una cara u otra hacia arriba y no hay otros resultados posibles. Aplicando el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los posibles resultados una probabilidad de 1/ n . Al igual que ocurre con las monedas, se supone que las condiciones iniciales del lanzamiento de los dados no se conocen con suficiente precisión para predecir el resultado según las leyes de la mecánica. Por lo general, los dados se lanzan de manera que reboten sobre una mesa u otra superficie. Esta interacción hace que la predicción del resultado sea mucho más difícil.

El supuesto de simetría es crucial aquí. Supongamos que nos piden apostar a favor o en contra del resultado "6". Podríamos razonar que aquí hay dos resultados relevantes "6" o "no 6", y que son mutuamente excluyentes y exhaustivos. Una falacia común es asignar la probabilidad 1/2 a cada uno de los dos resultados, cuando "no 6" es cinco veces más probable que "6".

Tarjetas

Una baraja estándar contiene 52 cartas, a cada una de las cuales se le asigna una etiqueta única de forma arbitraria, es decir, ordenada arbitrariamente. Sacamos una carta de la baraja; Aplicando el principio de indiferencia, asignamos a cada uno de los posibles resultados una probabilidad de 1/52.

Este ejemplo, más que los demás, muestra la dificultad de aplicar realmente el principio de indiferencia en situaciones reales. Lo que realmente queremos decir con la frase "ordenada arbitrariamente" es simplemente que no tenemos ninguna información que nos lleve a favorecer una tarjeta en particular. En la práctica real, este rara vez es el caso: una nueva baraja de cartas ciertamente no está en un orden arbitrario, como tampoco lo está una baraja inmediatamente después de una mano de cartas. Por lo tanto, en la práctica barajamos las cartas; Esto no destruye la información que tenemos, sino que (con suerte) la vuelve prácticamente inutilizable, aunque en principio sigue siendo utilizable. De hecho, algunos jugadores expertos de blackjack pueden rastrear ases a través de la baraja; para ellos, no se cumple la condición para aplicar el principio de indiferencia.

Aplicación a variables continuas

La aplicación incorrecta del principio de indiferencia puede conducir fácilmente a resultados sin sentido, especialmente en el caso de variables continuas multivariadas. Un caso típico de mal uso es el siguiente ejemplo:

• Supongamos que hay un cubo escondido en una caja. Una etiqueta en la caja dice que el cubo tiene una longitud de lado de entre 3 y 5 cm.
• No conocemos la longitud real del lado, pero podríamos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 4 cm.
• La información de la etiqueta nos permite calcular que la superficie del cubo está entre 54 y 150 cm ² . No conocemos el área de superficie real, pero podríamos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 102 cm ² .
• La información de la etiqueta nos permite calcular que el volumen del cubo está entre 27 y 125 cm ³ . No conocemos el volumen real, pero podríamos suponer que todos los valores son igualmente probables y simplemente elegir el valor medio de 76 cm ³ .
• Sin embargo, ahora hemos llegado a la imposible conclusión de que el cubo tiene una longitud de lado de 4 cm, un área de superficie de 102 cm ² y un volumen de 76 cm ³ .

En este ejemplo, surgen estimaciones mutuamente contradictorias de la longitud, el área de superficie y el volumen del cubo porque hemos supuesto tres distribuciones mutuamente contradictorias para estos parámetros: una distribución uniforme para cualquiera de las variables implica una distribución no uniforme para la otra. dos. En general, el principio de indiferencia no indica qué variable (por ejemplo, en este caso, longitud, área de superficie o volumen) debe tener una distribución de probabilidad epistémica uniforme .

Otro ejemplo clásico de este tipo de uso indebido es la paradoja de Bertrand . Edwin T. Jaynes introdujo el principio de los grupos de transformación , que puede producir una distribución de probabilidad epistémica para este problema. Esto generaliza el principio de indiferencia, al decir que uno es indiferente entre problemas equivalentes en lugar de indiferente entre proposiciones. Esto todavía se reduce al principio ordinario de indiferencia cuando se considera que una permutación de las etiquetas genera problemas equivalentes (es decir, utilizando el grupo de transformación de permutación). Para aplicar esto al ejemplo del cuadro anterior, tenemos tres variables aleatorias relacionadas mediante ecuaciones geométricas. Si no tenemos motivos para favorecer un trío de valores sobre otro, entonces nuestras probabilidades anteriores deben estar relacionadas por la regla para variables cambiantes en distribuciones continuas. Sea L la longitud y V el volumen. Entonces debemos tener

${\displaystyle f_{L}(L)=\left|{\partial V \over \partial L}\right|f_{V}(V)=3L^{2}f_{V}(L^{3})}$,

donde están las funciones de densidad de probabilidad (pdf) de las variables indicadas. Esta ecuación tiene solución general: , donde K es una constante de normalización, determinada por el rango de L , en este caso igual a: ${\displaystyle f_{L},\,f_{V}}$ ${\displaystyle f(L)={K \over L}}$

${\displaystyle K^{-1}=\int _{3}^{5}{dL \over L}=\log \left({5 \over 3}\right)}$

Para poner esto "a prueba", pedimos la probabilidad de que la longitud sea menor que 4. Esto tiene una probabilidad de:

${\displaystyle Pr(L<4)=\int _{3}^{4}{dL \over L\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$.

Para el volumen, esto debe ser igual a la probabilidad de que el volumen sea menor que 4 ³ = 64. La densidad de probabilidad del volumen es

${\displaystyle f(V^{1 \over 3}){1 \over 3}V^{-{2 \over 3}}={1 \over 3V\log({5 \over 3})}}$.

Y entonces la probabilidad de un volumen inferior a 64 es

${\displaystyle Pr(V<64)=\int _{27}^{64}{dV \over 3V\log({5 \over 3})}={\log({64 \over 27}) \over 3\log({5 \over 3})}={3\log({4 \over 3}) \over 3\log({5 \over 3})}={\log({4 \over 3}) \over \log({5 \over 3})}\approx 0.56}$.

Así hemos logrado la invariancia con respecto al volumen y la longitud. También se puede mostrar la misma invariancia con respecto a que el área de superficie sea menor que 6(4 ² ) = 96. Sin embargo, tenga en cuenta que esta asignación de probabilidad no es necesariamente "correcta". La distribución exacta de longitudes, volúmenes o superficies dependerá de cómo se lleve a cabo el "experimento".

La hipótesis fundamental de la física estadística , de que dos microestados cualesquiera de un sistema con la misma energía total son igualmente probables en el equilibrio , es en cierto sentido un ejemplo del principio de indiferencia. Sin embargo, cuando los microestados se describen mediante variables continuas (como posiciones y momentos), se necesita una base física adicional para explicar bajo qué parametrización la densidad de probabilidad será uniforme. El teorema de Liouville justifica el uso de variables canónicamente conjugadas , como las posiciones y sus momentos conjugados.

La paradoja vino/agua muestra un dilema con variables vinculadas y cuál elegir.

Historia

Este principio surge del principio de Epicuro de "explicaciones múltiples" (pleonachos tropos), ^[3] según el cual "si más de una teoría es consistente con los datos, consérvelas todas". El epicúreo Lucrecio desarrolló este punto con una analogía de las múltiples causas de muerte de un cadáver ^[4] Los escritores originales sobre probabilidad, principalmente Jacob Bernoulli y Pierre Simon Laplace , consideraron que el principio de indiferencia era intuitivamente obvio y ni siquiera se molestaron en darle un nombre.

La teoría del azar consiste en reducir todos los acontecimientos de la misma especie a un cierto número de casos igualmente posibles, es decir, a aquellos sobre los cuales podemos estar igualmente indecisos en cuanto a su existencia, y en determinar el número de casos. favorable al evento cuya probabilidad se busca. La relación entre este número y el de todos los casos posibles es la medida de esta probabilidad, que es, por tanto, simplemente una fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número de todos los casos posibles.

Estos escritores anteriores, Laplace en particular, generalizaron ingenuamente el principio de indiferencia al caso de parámetros continuos, dando la llamada "distribución de probabilidad previa uniforme", una función que es constante en todos los números reales. Usó esta función para expresar una total falta de conocimiento sobre el valor de un parámetro. Según Stigler (página 135), el supuesto de Laplace de probabilidades previas uniformes no era un supuesto metafísico. ^[5] Fue una suposición implícita hecha para facilitar el análisis.

El principio de razón insuficiente fue su primer nombre, dado por Johannes von Kries , ^[6] posiblemente como un juego con el principio de razón suficiente de Leibniz . Estos escritores posteriores ( George Boole , John Venn y otros) se opusieron al uso del uniforme anterior por dos razones. La primera razón es que la función constante no es normalizable y, por tanto, no es una distribución de probabilidad adecuada. La segunda razón es su inaplicabilidad a variables continuas, como se describió anteriormente.

El "principio de razón insuficiente" fue rebautizado como "principio de indiferencia" por John Maynard Keynes  (1921), ^[7] quien tuvo cuidado de señalar que se aplica sólo cuando no hay conocimiento que indique probabilidades desiguales.

Los intentos de poner la noción en una base filosófica más firme generalmente han comenzado con el concepto de equipabilidad y han progresado desde él hasta la equiprobabilidad .

Se puede dar una justificación lógica más profunda al principio de indiferencia señalando que a estados de conocimiento equivalentes se les deben asignar probabilidades epistémicas equivalentes. Este argumento fue propuesto por Edwin Thompson Jaynes : conduce a dos generalizaciones, a saber, el principio de transformación de grupos como en el anterior de Jeffreys , y el principio de máxima entropía . ^[8]

De manera más general, se habla de antecedentes poco informativos .

Ver también

• Epistemología bayesiana
• Equilibrio clínico
• Regla de sucesión : una fórmula para estimar las probabilidades subyacentes cuando hay pocas observaciones, o para eventos que no se ha observado que ocurran en absoluto en datos de muestra (finitos)

Referencias

1. Eva, Benjamín (30 de abril de 2019). "Principios de la indiferencia". philsci-archive.pitt.edu (preimpresión) . Consultado el 30 de septiembre de 2019 .
2. Diaconis, Persi; Keller, José B. (1989). "Dados justos". El Mensual Matemático Estadounidense . 96 (4): 337–339. doi :10.2307/2324089. JSTOR  2324089. (Discusión sobre dados que son justos "por simetría" y "por continuidad".)
3. Verde, Francesco (6 de julio de 2020). "Meteorología epicúrea, Lucrecio y el Etna". Lucrecio Poeta y Filósofo . De Gruyter. págs. 83-102. doi :10.1515/9783110673487-006. ISBN 978-3-11-067348-7. S2CID  243676846.
4. Rathmanner, Samuel; Hutter, Marcus (3 de junio de 2011). "Un tratado filosófico de inducción universal". Entropía . 13 (6): 1076-1136. arXiv : 1105.5721 . Código Bib : 2011Entrp..13.1076R. doi : 10.3390/e13061076 . ISSN  1099-4300.
5. Stigler, Stephen M. (1986). La historia de la estadística: la medición de la incertidumbre antes de 1900 . Cambridge, Mass: Belknap Press de Harvard University Press. ISBN 0-674-40340-1.
6. Howson, Colin; Urbach, Peter (1989). "Probabilidad subjetiva". Razonamiento científico: el enfoque bayesiano . La Salle: Cancha Abierta. págs. 39–76. ISBN 0-8126-9084-2.
7. Keynes, John Maynard (1921). "Capítulo IV. El Principio de Indiferencia". Un tratado sobre probabilidad . vol. 4. Macmillan y compañía págs. 41–64. ISBN 9780404145637.
8. Jaynes, Edwin Thompson (2003). "Antecedentes de ignorancia y grupos de transformación". Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia. Prensa de la Universidad de Cambridge . págs. 327–347. ISBN 0-521-59271-2.