Teorema de imposibilidad de Arrow

El teorema de imposibilidad de Arrow es un teorema de imposibilidad clave en la teoría de la elección social , que muestra que ninguna regla de votación clasificada ^{[nota 1]} puede producir una clasificación lógicamente coherente de más de dos candidatos. Específicamente, ninguna regla de este tipo puede satisfacer un criterio clave de elección racional llamado independencia de alternativas irrelevantes : que una elección entre y no debería depender de la calidad de un tercer resultado no relacionado . $A$ $B$ $C$

El teorema se cita a menudo en discusiones sobre ciencia electoral y teoría de la votación , donde se le llama candidato saboteador . Como resultado, el teorema de Arrow implica que un sistema de votación por clasificación nunca puede ser completamente independiente de los saboteadores. $C$

Las consecuencias prácticas del teorema son discutibles, y el propio Arrow señaló: " La mayoría de los sistemas [clasificados] no van a funcionar mal todo el tiempo. Lo único que probé es que todos pueden funcionar mal en ocasiones ". ^[1]^[2] Los efectos de spoiler son comunes en algunos sistemas de clasificación (como la segunda vuelta instantánea y la pluralidad ), pero son raros en los métodos de regla mayoritaria (ver más abajo).

Aunque originalmente se pasaron por alto, una gran clase de métodos, llamados métodos clasificados , no se ven afectados por el teorema de Arrow ni por las fallas del IIA. ^[2]^[3]^[4] El propio Arrow apoyó la votación de Score más adelante en su vida, diciendo que "probablemente sea lo mejor". ^[2]

Historia

El teorema de Arrow lleva el nombre del economista y premio Nobel Kenneth Arrow , quien lo demostró en su tesis doctoral y lo popularizó en su libro de 1951 . ^[5]

El trabajo de Arrow es recordado tanto por su metodología pionera como por sus implicaciones directas. El enfoque axiomático de Arrow proporcionó un marco para probar hechos sobre todos los mecanismos de votación concebibles a la vez, en contraste con el enfoque anterior de investigar dichas reglas una por una. ^[6]

Fondo

El teorema de Arrow pertenece a la rama de la economía del bienestar conocida como teoría de la elección social , que se ocupa de agregar preferencias e información para tomar decisiones justas y precisas para la sociedad. El objetivo es crear una función de ordenamiento social (un procedimiento para determinar qué resultados son mejores, según la sociedad en su conjunto) que satisfaga las propiedades del comportamiento racional .

Entre las más importantes está la independencia de alternativas irrelevantes , que dice que al decidir entre A y B, nuestras opiniones sobre C no deberían afectar nuestra decisión. El teorema de Arrow muestra que esto no es posible sin depender de más información, como las papeletas calificadas (que son rechazadas por los conductistas estrictos y muchos filósofos).

Sistemas no degenerados

Como antecedente, normalmente se supone que cualquier sistema de votación no degenerado (es decir, realmente útil) y no dictatorial:

No dictadura : al menos dos votantes pueden afectar el resultado de la elección. (El sistema no simplemente ignora todos los votos excepto uno, ni siquiera ignora todos los votos y elige siempre al mismo candidato).

La mayoría de las pruebas utilizan suposiciones adicionales para simplificar la obtención del resultado, aunque Robert Wilson demostró que eran innecesarias. ^[7] Las pruebas más antiguas han tomado como axiomas:

Respuesta no negativa : agregar apoyo a un resultado no debería hacer que pierda. Si bien originalmente se consideró "obvio" para cualquier sistema práctico, este criterio no se cumple en la segunda vuelta instantánea . Más tarde, Arrow dio otra prueba que se aplica a sistemas con respuesta negativa.
Eficiencia de Pareto : si todos los votantes están de acuerdo en que un candidato es mejor que otro, el sistema también estará de acuerdo. (Un candidato con apoyo unánime debería ganar). Esta suposición reemplaza la respuesta no negativa en la segunda prueba de Arrow, ampliándola para incluir la votación de segunda vuelta instantánea.
La mayoría gobierna : si la mayoría de los votanteslo, entoncesdeberían derrotar. Esta forma fue demostrada por el Marqués de Condorcet con su descubrimiento de la paradoja del voto . $A$ $B$ $A$ $B$
Dominio universal : algunos autores son explícitos acerca del supuesto de que la función de bienestar social es una función sobre el dominio de preferencias (no solo una función parcial ).
- En otras palabras, el sistema no puede simplemente "darse por vencido" y negarse a elegir un candidato en algunas elecciones.

Independencia de alternativas irrelevantes (IIA)

La condición IIA es un supuesto importante que rige la elección racional . El axioma dice que agregar opciones irrelevantes (es decir, rechazadas) no debería afectar el resultado de una decisión. Desde un punto de vista práctico, el supuesto evita que los resultados electorales se comporten de manera errática en respuesta a la llegada y salida de candidatos. ^[8]

Arrow define IIA de manera ligeramente diferente, al afirmar que la preferencia social entre alternativas y sólo debería depender de las preferencias individuales entre y ; es decir, no debería poder pasar de a cambiando las preferencias sobre alguna alternativa irrelevante, por ejemplo si . Esto es equivalente a la afirmación anterior sobre la independencia de los candidatos a spoiler cuando se utiliza la construcción estándar de una función de ubicación . $A$ $B$ $A$ $B$ $A\succ B$ $B\succ A$ $A\succ C$

Teorema

Intuición

El requisito de Arrow de que la preferencia social dependa únicamente de las preferencias individuales es extremadamente restrictivo. El teorema de May muestra que la única forma "justa" de elegir entre dos candidatos basándose en preferencias ordinales es la votación por mayoría. Esto significa que las suposiciones sólo un poco más sólidas que las de Arrow ya son suficientes para encerrarnos en la clase de métodos de Condorcet . En este punto, la existencia de la paradoja del voto es suficiente para mostrar la imposibilidad de un comportamiento racional. $A\succ B$ $A\succ _{i}B$

Si bien el argumento anterior es intuitivo, no es formal y requiere suposiciones adicionales que Arrow no utiliza.

Declaración formal

Sea $A$ un conjunto de resultados , $N$ un número de votantes o criterios de decisión. Denotamos el conjunto de todos los ordenamientos totales de $A$ por $L(A)$ .

Una función de bienestar social ordinal (clasificada) es una función:

F:\mathrm {L(A)} ^{N}\to \mathrm {L(A)}

que agrega las preferencias de los votantes en un único orden de preferencia en $A$ .

Una $N$ - tupla $(R 1,\dots, R N) \in L(A) N$ de las preferencias de los votantes se denomina perfil de preferencias . Suponemos dos condiciones:

eficiencia de Pareto: Si la alternativa $a$ se clasifica estrictamente por encima de $b$ para todos los ordenamientos $R 1,\dots, R N$ , entonces $a$ se clasifica estrictamente por encima de $b$ por $F(R 1, R 2,\dots, R N)$ . Este axioma no es necesario para demostrar el resultado, ^[7] pero se utiliza en las dos demostraciones siguientes.
No dictadura: No existe ningún individuo $cuyas$ preferencias estrictas prevalezcan siempre. Es decir, no existe $i \in {1, \dots, N$ } tal que para todo $(R 1, \dots, R N) \in L(A) N$ y todo $a$ y $b$ , cuando $a$ está clasificado estrictamente por encima de $b$ por $R i$ entonces $a$ se clasifica estrictamente por encima de $b$ por $F(R 1, R 2,\dots, R N)$ .

Entonces, esta regla debe violar la independencia de alternativas irrelevantes:

Independencia de alternativas irrelevantes: Para dos perfiles de preferencia $(R 1,\dots, R N)$ y $(S 1,\dots, S N)$ tales que para todos los individuos $i$ , las alternativas $a$ y $b$ tienen el mismo orden en $R i$ que en $Si,$ las alternativas $a$ y $b$ tienen el mismo orden en $F(R 1,\dots, R N)$ que en $F(S 1, \dots, S N)$ .

prueba formal

Interpretación y soluciones prácticas.

El teorema de Arrow establece que ninguna regla de votación clasificada puede satisfacer siempre la independencia de alternativas irrelevantes, pero no dice nada sobre la frecuencia de los saboteadores. Esto llevó a Arrow a comentar que "la mayoría de los sistemas no van a funcionar mal todo el tiempo. Lo único que probé es que todos pueden funcionar mal en ocasiones". ^[1]^[2]

Los intentos de abordar los efectos del teorema de Arrow toman uno de dos enfoques: aceptar su regla y buscar los métodos menos propensos a spoilers, o abandonar su suposición de votación clasificada para centrarse en estudiar las reglas de votación clasificada .

Fracasos mínimos del IIA: métodos de regla de la mayoría

El primer conjunto de métodos que los economistas han estudiado son los métodos de regla de la mayoría , que limitan los saboteadores a situaciones raras en las que la regla de la mayoría es autocontradictoria y minimizan de manera única la posibilidad de un efecto saboteador entre los métodos calificados. ^[14] El teorema de Arrow fue precedido por el descubrimiento del Marqués de Condorcet de las preferencias sociales cíclicas , casos en los que los votos mayoritarios son lógicamente inconsistentes. Condorcet creía que las reglas de votación deberían satisfacer su principio de regla de la mayoría , es decir, si la mayoría de los votantes clasifican a Alice por delante de Bob , Alice debería derrotar a Bob en las elecciones.

Desafortunadamente, como demostró Condorcet, esta regla puede ser contradictoria ( intransitiva ), porque puede haber un ciclo de piedra, papel y tijera en el que tres o más candidatos se derrotan entre sí en un círculo. Así, Condorcet demostró una forma más débil del teorema de imposibilidad de Arrow mucho antes que el propio Arrow, bajo el supuesto más fuerte de que un sistema de votación en el caso de dos candidatos consistirá en una mayoría simple de votos.

Los métodos de Condorcet evitan el efecto saboteador en elecciones no cíclicas, donde los candidatos pueden ser elegidos por mayoría. Los politólogos han descubierto que estos ciclos son empíricamente raros, lo que sugiere que tienen una preocupación práctica limitada. Los modelos de votación espacial también sugieren que la paradoja es poco frecuente ^[15] o incluso inexistente. ^[dieciséis]

Espectro izquierda-derecha

Duncan Black mostró su propio resultado notable, el teorema del votante mediano . El teorema demuestra que si los votantes y candidatos se organizan en un espectro de izquierda-derecha , las condiciones de Arrow son compatibles y todas ellas se cumplirán con cualquier regla que satisfaga el principio de Condorcet .

Más formalmente, el teorema de Black supone que las preferencias tienen un solo pico : la felicidad de un votante con un candidato sube y luego baja a medida que el candidato avanza a lo largo de cierto espectro. Por ejemplo, en un grupo de amigos que eligen un nivel de volumen para la música, es probable que cada amigo tenga su propio volumen ideal; A medida que el volumen se vuelva progresivamente demasiado alto o demasiado bajo, estarán cada vez más insatisfechos.

Si el dominio se restringe a perfiles donde cada individuo tiene una preferencia única con respecto al orden lineal, entonces las preferencias sociales son acíclicas. En esta situación, los métodos Condorcet satisfacen una amplia variedad de propiedades altamente deseables. ^[dieciséis]

Desafortunadamente, la regla no se generaliza desde el espectro político a la brújula política, un resultado llamado Teorema del Caos de McKelvey-Schofield . ^[17] Sin embargo, existe una mediana bien definida y un ganador de Condorcet si la distribución de votantes en el espectro ideológico es rotacionalmente simétrica . ^[18] En casos realistas, cuando las opiniones de los votantes tienen una distribución aproximada en forma de campana o pueden resumirse con precisión en una o dos dimensiones, los ciclos de Condorcet son raros. ^[15]^[19]

Teoremas de estabilidad generalizados

Campbell y Kelly (2000) demostraron que los métodos de Condorcet son la clase de sistemas de votación por clasificación más resistente al spoiler: siempre que sea posible para algún sistema de votación por clasificación evitar un efecto spoiler. En otras palabras, reemplazar un método de votación por ranking con su variante Condorcet (es decir, eliminar a todos los candidatos fuera del conjunto de Smith y luego ejecutar el método) a veces eliminará los efectos de spoiler, pero nunca causará un nuevo efecto de spoiler. ^[14]

En 1977, Ehud Kalai y Eitan Muller dieron una caracterización completa de las restricciones de dominio admitiendo una función de bienestar social racional y no dictatorial. Corresponden a preferencias para las que existe un ganador Condorcet. ^[20]

Holliday y Pacuit diseñan un sistema de votación que minimiza de manera demostrable el potencial de efectos saboteadores, aunque a costa de otros criterios, y descubren que es un método de Condorcet, aunque a costa de fallas ocasionales de monotonicidad (a un ritmo mucho menor que el observado en votación de segunda vuelta instantánea ). ^[19]

Sin fracasos del IIA: votación calificada

Como se muestra arriba, la prueba del teorema de Arrow se basa crucialmente en el supuesto de votación por clasificación y no es aplicable a los sistemas de votación por clasificación . Como resultado, sistemas como la votación por puntaje y el juicio por mayoría gradual pasan a ser independientes de alternativas irrelevantes . ^[1] Estos sistemas piden a los votantes que califiquen a los candidatos en una escala numérica (por ejemplo, de 0 a 10) y luego elijan al candidato con el promedio más alto (para puntuación de votación) o mediana ( juicio de mayoría graduada ).

Si bien el teorema de Arrow no se aplica a los sistemas graduados, el teorema de Gibbard sí lo es: ningún sistema electoral está completamente libre de estrategias, ^[21] por lo que la máxima informal de que "ningún sistema de votación es perfecto" todavía tiene alguna base matemática. ^[22]

Comparaciones interpersonales de utilidad.

El marco de Arrow suponía que las preferencias individuales y sociales son ordenamientos o clasificaciones , es decir, afirmaciones sobre qué resultados son mejores o peores que otros. Inspirándose en el conductismo estricto popular en psicología, algunos filósofos y economistas rechazaron la idea de comparar las experiencias humanas internas de bienestar . ^[23] Tales filósofos rechazaron afirmaciones como "una persona atropellada por un automóvil experimenta más dolor que una persona que se golpeó el dedo del pie" como infalsificables y, por lo tanto, sin sentido.

Amartya Sen argumentó que los métodos cardinales fracasarían en la independencia de alternativas irrelevantes si la comparación interpersonal de utilidades fuera imposible. ^[24] El propio Arrow originalmente rechazó la utilidad cardinal como una herramienta significativa para expresar el bienestar social, lo que lo llevó a centrar su teorema en las clasificaciones de preferencias. ^[23]^[25] Sin embargo, cambió su opinión más adelante en su vida, admitiendo que los métodos de puntuación podrían proporcionar información útil que permita a tales sistemas evadir su teorema. ^[2]

Esto viene respaldado adicionalmente por resultados como el teorema utilitario de Harsanyi ^[26] y otros teoremas de representación de utilidades como el teorema VNM , que muestran que el comportamiento racional implica utilidades cardinales consistentes . John Harsanyi ^[26] y William Vickrey ^[27] obtuvieron resultados independientes que muestran que tales preferencias podrían definirse rigurosamente utilizando preferencias individuales sobre la lotería de nacimiento . ^[28]^[29] Estos resultados han llevado al aumento de enfoques de votación utilitarios implícitos , que modelan procedimientos de elección clasificada como aproximaciones de sistemas calificados . ^[30]

Spoilers no arrovianos

Los economistas conductuales y los científicos cognitivos han demostrado que las decisiones individuales a veces violan la independencia de alternativas irrelevantes, con ejemplos bien conocidos como los efectos señuelo , donde incluir opciones inútiles puede aumentar ligeramente las calificaciones de otro producto. ^[31] Como resultado, la psicología humana podría crear ligeras violaciones del IIA en los sistemas de votación graduados, incluso cuando el sistema de votación en sí no causa un efecto saboteador.

La votación estratégica también puede crear situaciones de pseudo-spoiler. Si el método pasa el criterio mayoritario y el ganador con votación honesta es A, pero con estrategia es B, entonces eliminar a todos los candidatos excepto A y B cambiaría el resultado estratégico de B a A, ya que la regla de la mayoría es a prueba de estrategias. Estos casos están fuera del alcance del teorema de Arrow.

Soluciones esotéricas

Además de las resoluciones prácticas anteriores, existen situaciones inusuales (poco prácticas) en las que se pueden satisfacer las condiciones de Arrow.

Normas de votación no neutrales

Cuando la igualdad de trato de los candidatos no es una necesidad, el criterio de la regla de la mayoría de Condorcet puede modificarse para requerir una supermayoría . Estas situaciones se vuelven más prácticas si hay un incumplimiento claro (como no hacer nada o permitir que un titular continúe ocupando el cargo en una elección revocatoria ). En esta situación, establecer un umbral para las alternativas (por ejemplo, una mayoría de $2$ $⁄$ $3$ para 3 resultados o $3$ $⁄$ $4$ para 4) elimina el ciclo, un resultado relacionado con el número de mecanismos de votación de Nakamura. ${\textstyle k}$ ${\textstyle {\frac {k-1}{k}}}$ $.mw-parser-output .frac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .frac .num,.mw-parser-output .frac .den{font-size:80%;line-height:0;vertical-align:super}.mw-parser-output .frac .den{vertical-align:sub}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);clip-path:polygon(0px 0px,0px 0px,0px 0px);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px}$

En algunas condiciones, como las preferencias convexas con una distribución de probabilidad cuasicóncava sobre puntos ideales , este requisito puede flexibilizarse para requerir sólo $1 - 1 ⁄ e$ (aproximadamente 64%) de los votos para evitar ciclos. ^[32]

Votantes incontablemente infinitos

Fishburn muestra que todas las condiciones de Arrow pueden satisfacerse para conjuntos incontables de votantes dado el axioma de elección ; ^[33] sin embargo, Kirman y Sondermann demostraron que esto requiere privar de derechos a casi todos los miembros de una sociedad (los votantes elegibles forman un conjunto de medida 0). ^[34]

Elección social fraccionada

Las loterías máximas satisfacen una versión probabilística de los criterios de Arrow en modelos de elección social fraccionada , donde los candidatos pueden ser elegidos por lotería o celebrar acuerdos de poder compartido (por ejemplo, donde cada uno ocupa un cargo durante un período de tiempo específico). ^[35]

Conceptos erróneos comunes

El teorema de Arrow no trata de la votación estratégica , que no aparece en su marco. El marco arroviano del bienestar social (y la mayor parte del campo de la teoría matemática de la votación ) supone que se conocen todas las preferencias de los votantes y que el único problema es agregarlas. El estudio de la votación estratégica generalmente cae dentro de la teoría de juegos , que ha producido resultados como el teorema de Gibbard y la semihonestidad de los votos cardinales en los juegos de Poisson .

Contrariamente a la idea errónea común , ^{[ cita necesaria ]} El teorema de Arrow trata de la clase limitada de sistemas de votación por clasificación , en lugar de los sistemas de votación en su conjunto. El teorema de Arrow tampoco se limita a métodos de comparación por pares ; Como se señaló anteriormente, toda regla que no se base en comparaciones pareadas falla trivialmente en el IIA, ya que cualquier regla de este tipo depende directamente de preferencias distintas de las que involucran a ambos candidatos.

Ver también

Referencias

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Otras lecturas

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enlaces externos

Entrada "Teorema de imposibilidad de Arrow" en la Enciclopedia de Filosofía de Stanford
Una prueba de Terence Tao, asumiendo una versión mucho más fuerte de la no dictadura

^ en la elección social, las reglas clasificadas incluyen la pluralidad y todas las demás reglas que solo hacen uso de las preferencias de clasificación de los votantes. Por lo tanto, las reglas calificadas quedan excluidas.