teorema de gibbard

En los campos del diseño de mecanismos y la teoría de la elección social , el teorema de Gibbard es un resultado probado por el filósofo Allan Gibbard en 1973. ^[1] Afirma que para cualquier proceso determinista de decisión colectiva, debe cumplirse al menos una de las siguientes tres propiedades:

1. El proceso es dictatorial , es decir, hay un único elector cuyo voto elige el resultado.
2. El proceso limita los posibles resultados a dos opciones únicamente.
3. El proceso no es sencillo; La papeleta óptima para un votante depende de sus creencias sobre las papeletas de otros votantes.

Un corolario de este teorema es el teorema de Gibbard-Satterthwaite sobre las reglas de votación. La diferencia clave entre los dos teoremas es que Gibbard-Satterthwaite se aplica sólo a la votación por orden de importancia . Debido a su alcance más amplio, el teorema de Gibbard no afirma si los votantes necesitan revertir su clasificación de candidatos, sólo que sus votos óptimos dependen de los votos de los demás votantes. ^{[nota 1]}

El teorema de Gibbard es más general y considera procesos de decisión colectiva que pueden no ser ordinales: por ejemplo, sistemas de votación en los que los votantes asignan calificaciones o califican a los candidatos ( votación cardinal ). El teorema de Gibbard se puede demostrar utilizando el teorema de imposibilidad de Arrow . ^{[ cita necesaria ]}

El teorema de Gibbard está a su vez generalizado por el teorema de Gibbard de 1978 ^[3] y el teorema de Hylland , ^[4] que extienden estos resultados a procesos no deterministas, es decir, donde el resultado puede no sólo depender de las acciones de los agentes sino que también puede implicar un elemento de azar. .

El teorema de Gibbard supone que la decisión colectiva da como resultado exactamente un ganador y no se aplica a la votación con múltiples ganadores . Un resultado similar para la votación con múltiples ganadores es el teorema de Duggan-Schwartz .

Descripción general

Consideremos algunos votantes , y que desean seleccionar una opción entre tres alternativas: , y . Supongamos que utilizan la votación de aprobación : cada votante asigna a cada candidato la calificación 1 (aprobación) o 0 (rechazar la aprobación). Por ejemplo, es una boleta autorizada: significa que el elector aprueba candidatos pero no aprueba candidato . Una vez recogidas las papeletas, se declara ganador al candidato con la puntuación total más alta. Los empates entre candidatos se desglosan por orden alfabético: por ejemplo, si hay un empate entre candidatos y , entonces gana. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (1,1,0)}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$

Supongamos que el votante prefiere la alternativa , entonces y entonces . ¿Qué papeleta defenderá mejor sus opiniones? Por ejemplo, considere las dos situaciones siguientes. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$

• Si los otros dos electores votan respectivamente y , entonces el elector tiene sólo una papeleta que conduce a la elección de su alternativa favorita  : . ${\displaystyle (0,1,1)}$ ${\displaystyle (1,1,1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle (1,0,0)}$
• Sin embargo, si asumimos que los otros dos votantes votaron respectivamente y , entonces el votante no debería votar porque le haría ganar; ella debería votar , lo que la hace ganar. ${\displaystyle (0,0,1)}$ ${\displaystyle (0,1,1)}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (1,0,0)}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle (1,1,0)}$ ${\displaystyle b}$

En resumen, el elector se enfrenta a un dilema estratégico de votación: dependiendo de los votos que emitan los demás electores, puede ser el voto que mejor defienda sus opiniones. Entonces decimos que la votación de aprobación no es a prueba de estrategias : una vez que el votante ha identificado sus propias preferencias, no tiene a su disposición la papeleta que mejor defienda sus opiniones en todas las situaciones; necesita actuar estratégicamente, posiblemente espiando a los demás votantes para determinar cómo piensan votar. ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle (1,0,0)}$ ${\displaystyle (1,1,0)}$

El teorema de Gibbard establece que un proceso determinista de decisión colectiva no puede ser a prueba de estrategias, excepto posiblemente en dos casos: si hay un agente distinguido que tiene un poder dictatorial, o si el proceso limita el resultado a dos opciones posibles únicamente.

Declaración formal

Sea el conjunto de alternativas , que también pueden denominarse candidatos en un contexto de votación. Sea el conjunto de agentes , que también pueden denominarse jugadores o votantes, según el contexto de aplicación. Para cada agente , sea un conjunto que represente las estrategias disponibles para el agente ; supongamos que es finito. Sea una función que, para cada tupla de estrategias , asigne una alternativa. La función se llama forma de juego . En otras palabras, una forma de juego se define esencialmente como un juego de n jugadores , pero sin utilidades asociadas a los posibles resultados: describe únicamente el procedimiento, sin especificar a priori la ganancia que cada agente obtendría de cada resultado. ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {N}}=\{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle {\mathcal {S}}_{i}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle (s_{1},\ldots ,s_{n})\in {\mathcal {S}}_{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}_{n}}$ ${\displaystyle g}$

Decimos que es a prueba de estrategias (originalmente llamado: sencillo ) si para cualquier agente y para cualquier orden débil estricto sobre las alternativas, existe una estrategia que es dominante para el agente cuando tiene preferencias : no existe un perfil de estrategias para los otros agentes como que otra estrategia , diferente de , conduciría a un resultado estrictamente mejor (en el sentido de ). Esta propiedad es deseable para un proceso de decisión democrático: significa que una vez que el agente ha identificado sus propias preferencias , puede elegir la estrategia que mejor defienda sus preferencias, sin necesidad de conocer o adivinar las estrategias elegidas por los otros agentes. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}^{*}(P_{i})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}^{*}(P_{i})}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle P_{i}}$ ${\displaystyle s_{i}^{*}(P_{i})}$

Denotamos y denotamos por el rango de , es decir, el conjunto de posibles resultados de la forma de juego. Por ejemplo, decimos que tiene al menos 3 resultados posibles si y sólo si la cardinalidad de es 3 o más. Dado que los conjuntos de estrategias son finitos, también lo son; por lo tanto, incluso si no se supone que el conjunto de alternativas sea finito, el subconjunto de resultados posibles lo es necesariamente. ${\displaystyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}_{1}\times \cdots \times {\mathcal {S}}_{n}}$ ${\displaystyle g({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle g({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle g({\mathcal {S}})}$

Decimos que es dictatorial si existe un agente que es dictador , en el sentido de que para cualquier resultado posible , el agente tiene una estrategia a su disposición que asegura que el resultado sea , cualesquiera que sean las estrategias elegidas por los demás agentes. ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a\in g({\mathcal {S}})}$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle a}$

Teorema de Gibbard  :  si una forma de juego no es dictatorial y tiene al menos 3 resultados posibles, entonces no es a prueba de estrategias.

Ejemplos

Dictadura en serie

Suponemos que cada votante comunica un orden estricto y débil sobre los candidatos. La dictadura en serie se define de la siguiente manera. Si el votante 1 tiene un candidato único que le gusta, entonces este candidato es elegido. De lo contrario, los posibles resultados se restringen a sus candidatos ex-aequo más queridos y los demás candidatos quedan eliminados. Luego se examina la papeleta del votante 2: si tiene un único candidato preferido entre los no eliminados, entonces este candidato es elegido. De lo contrario, la lista de posibles resultados se reduce nuevamente, etc. Si después de examinar todas las papeletas aún quedan varios candidatos no eliminados, se aplica una regla arbitraria de desempate.

Esta forma de juego es a prueba de estrategias: cualesquiera que sean las preferencias de un votante, tiene una estrategia dominante que consiste en declarar su sincero orden de preferencia. También es dictatorial, y su dictador es el votante 1: si desea que un candidato sea elegido, entonces sólo tiene que comunicar un orden de preferencia donde está el único candidato que más le gusta. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$

Voto por mayoría simple

Si sólo hay dos resultados posibles, una forma de juego puede ser a prueba de estrategias y no dictatorial. Por ejemplo, es el caso de la mayoría simple: cada votante vota por la alternativa que más le gusta (entre los dos resultados posibles), y la alternativa con más votos es declarada ganadora. Esta forma de juego es a prueba de estrategias porque siempre es óptimo votar por la alternativa que más le gusta (a menos que uno sea indiferente entre ellas). Sin embargo, está claro que no es dictatorial. Muchas otras formas de juego son a prueba de estrategias y no dictatoriales: por ejemplo, supongamos que la alternativa gana si obtiene dos tercios de los votos, y gana en caso contrario. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

Una forma de juego que muestra que lo contrario no se cumple.

Considere la siguiente forma de juego. El votante 1 puede votar por un candidato de su elección o puede abstenerse. En el primer caso, el candidato especificado es elegido automáticamente. De lo contrario, los demás electores utilizan una regla de votación clásica, por ejemplo el conteo Borda . Esta forma de juego es claramente dictatorial, porque el votante 1 puede imponer el resultado. Sin embargo, no es a prueba de estrategia: los demás votantes se enfrentan al mismo problema de votación estratégica que en el recuento habitual de Borda. Por tanto, el teorema de Gibbard es una implicación y no una equivalencia.

notas y referencias

1. La terminología para esto varía. Gibbard afirma que "un individuo "manipula" el esquema de votación si, al tergiversar sus preferencias, obtiene un resultado que prefiere al resultado "honesto"", mientras que Brams y Fishburn califican de "sincero" cada votación con un orden honesto. ^[2]

1. Gibbard, Allan (1973). "Manipulación de los esquemas de votación: un resultado general" (PDF) . Econométrica . 41 (4): 587–601. doi :10.2307/1914083. JSTOR  1914083.
2. Brams, Steven J.; Fishburn, Peter C. (1978). "Votación de aprobación". Revista estadounidense de ciencias políticas . 72 (3): 831–847. doi :10.2307/1955105. ISSN  0003-0554.
3. Gibbard, Allan (1978). "Sencillez de las formas de juego con loterías como resultados" (PDF) . Econométrica . 46 (3): 595–614. doi :10.2307/1914235. JSTOR  1914235.
4. Hylland, Aanund. Prueba de estrategia de los procedimientos de votación con loterías como resultados y conjuntos infinitos de estrategias, 1980.

Ver también

• Teorema de imposibilidad de Arrow
• Teorema de Gibbard-Satterthwaite

• Portal de economía