principio de duhamel

En matemáticas , y más específicamente en ecuaciones diferenciales parciales , el principio de Duhamel es un método general para obtener soluciones a ecuaciones de evolución lineal no homogéneas como la ecuación del calor , la ecuación de onda y la ecuación de placa vibratoria . Debe su nombre a Jean-Marie Duhamel , quien fue el primero en aplicar el principio a la ecuación del calor no homogéneo que modela, por ejemplo, la distribución del calor en una placa delgada que se calienta desde abajo. Para ecuaciones de evolución lineal sin dependencia espacial, como un oscilador armónico , el principio de Duhamel se reduce al método de variación de parámetros, técnica para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales no homogéneas . ^[1] También es una herramienta indispensable en el estudio de ecuaciones diferenciales parciales no lineales, como las ecuaciones de Navier-Stokes y la ecuación de Schrödinger no lineal , donde se trata la no linealidad como una falta de homogeneidad.

La filosofía que subyace al principio de Duhamel es que es posible pasar de soluciones del problema de Cauchy (o problema de valor inicial) a soluciones del problema no homogéneo. Consideremos, por ejemplo, el ejemplo de la ecuación del calor que modela la distribución de la energía térmica u en R ⁿ . Indicando por u _t  ( x , t ) la derivada temporal de u ( x , t ) , el problema de valor inicial es

$${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-\Delta u(x,t)=0&(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(x,0)=g(x)&x\in \mathbb {R} ^{n}\end{cases}}}$$

g

$${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-\Delta u(x,t)=f(x,t)&(x,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times (0,\infty )\\u(x,0)=0&x\in \mathbb {R} ^{n}\end{cases}}}$$

f  ( x , t ) dtt = t ₀t ₀

Consideraciones Generales

Formalmente, considere una ecuación de evolución lineal no homogénea para una función

$${\displaystyle u:D\times (0,\infty )\to \mathbb {R} }$$

DR ⁿ

$${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}(x,t)-Lu(x,t)=f(x,t)&(x,t)\in D\times (0,\infty )\\u|_{\partial D}=0&\\u(x,0)=0&x\in D,\end{cases}}}$$

L

El principio de Duhamel es, formalmente, que la solución a este problema es

$${\displaystyle u(x,t)=\int _{0}^{t}(P^{s}f)(x,t)\,ds}$$

P ^s f

$${\displaystyle {\begin{cases}u_{t}-Lu=0&(x,t)\in D\times (s,\infty )\\u|_{\partial D}=0&\\u(x,s)=f(x,s)&x\in D.\end{cases}}}$$

tts ${\displaystyle P^{s}f}$ ${\displaystyle f(x,s)\,ds}$

El principio de Duhamel también es válido para sistemas lineales (con funciones vectoriales u ), y esto a su vez proporciona una generalización a derivadas t superiores , como las que aparecen en la ecuación de onda (ver más abajo). La validez del principio depende de poder resolver el problema homogéneo en un espacio funcional apropiado y de que la solución debe exhibir una dependencia razonable de los parámetros para que la integral esté bien definida. Las condiciones analíticas precisas sobre u y f dependen de la aplicación particular.

Ejemplos

Ecuación de onda

La ecuación de onda lineal modela el desplazamiento u de una cuerda unidimensional idealizada sin dispersión, en términos de derivadas con respecto al tiempo t y al espacio x :

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}=f(x,t).}$$

La función f  ( x , t ) , en unidades naturales, representa una fuerza externa aplicada a una cuerda en la posición ( x , t ) . Para que sea un modelo físico adecuado para la naturaleza, debería ser posible resolverlo para cualquier estado inicial en el que se encuentre la cuerda, especificado por su desplazamiento y velocidad iniciales:

$${\displaystyle u(x,0)=u_{0}(x),\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,0)=v_{0}(x).}$$

De manera más general, deberíamos poder resolver la ecuación con datos especificados en cualquier segmento t = constante :

$${\displaystyle u(x,T)=u_{T}(x),\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}(x,T)=v_{T}(x).}$$

Para evolucionar una solución desde cualquier intervalo de tiempo T a T + dT , se debe sumar la contribución de la fuerza a la solución. Esa contribución proviene de cambiar la velocidad de la cuerda en f  ( x , T ) dT . Es decir, para obtener la solución en el tiempo T + dT a partir de la solución en el tiempo T , debemos agregarle una nueva solución (directa) de la ecuación de onda homogénea (sin fuerzas externas).

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}=0}$$

con las condiciones iniciales

$${\displaystyle U(x,T)=0,\qquad {\frac {\partial U}{\partial t}}(x,T)=f(x,T)dT.}$$

Una solución a esta ecuación se logra mediante una integración sencilla:

$${\displaystyle U(x,t)=\left({\frac {1}{2c}}\int _{x-c(t-T)}^{x+c(t-T)}f(\xi ,T)\,d\xi \right)\,dT}$$

(La expresión entre paréntesis está simplemente en la notación del método general anterior). Entonces, una solución del problema de valores iniciales original se obtiene comenzando con una solución al problema con el mismo problema de valores iniciales prescritos pero con desplazamiento inicial cero , y sumando a eso (integrando) las contribuciones de la fuerza agregada en los intervalos de tiempo de T a T + dT : ${\displaystyle P^{T}f(x,t)}$

$${\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2}}\left[u_{0}(x+ct)+u_{0}(x-ct)\right]+{\frac {1}{2c}}\int _{x-ct}^{x+ct}v_{0}(y)dy+{\frac {1}{2c}}\int _{0}^{t}\int _{x-c(t-T)}^{x+c(t-T)}f(\xi ,T)\,d\xi \,dT.}$$

EDO lineal de coeficiente constante

El principio de Duhamel es el resultado de que la solución a una ecuación diferencial parcial lineal no homogénea se puede resolver encontrando primero la solución para una entrada escalonada y luego superponiendo usando la integral de Duhamel . Supongamos que tenemos un coeficiente constante, ecuación diferencial ordinaria no homogénea de orden m .

$${\displaystyle P(\partial _{t})u(t)=F(t)}$$

$${\displaystyle \partial _{t}^{j}u(0)=0,\;0\leq j\leq m-1}$$

$${\displaystyle P(\partial _{t}):=a_{m}\partial _{t}^{m}+\cdots +a_{1}\partial _{t}+a_{0},\;a_{m}\neq 0.}$$

Podemos reducir esto a la solución de una EDO homogénea usando el siguiente método. Todos los pasos se realizan formalmente, ignorando los requisitos necesarios para que la solución esté bien definida.

Primero deja que G resuelva

$${\displaystyle P(\partial _{t})G=0,\;\partial _{t}^{j}G(0)=0,\quad 0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0)=1/a_{m}.}$$

Definir , siendo la función característica del intervalo . Entonces nosotros tenemos ${\displaystyle H=G\chi _{[0,\infty )}}$ ${\displaystyle \chi _{[0,\infty )}}$ ${\displaystyle [0,\infty )}$

$${\displaystyle P(\partial _{t})H=\delta }$$

en el sentido de distribuciones . Por lo tanto

$${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&=(H\ast F)(t)\\&=\int _{0}^{\infty }G(\tau )F(t-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau )F(\tau )\,d\tau \end{aligned}}}$$

resuelve la EDO.

PDE lineal de coeficiente constante

De manera más general, supongamos que tenemos una ecuación diferencial parcial no homogénea de coeficiente constante

$${\displaystyle P(\partial _{t},D_{x})u(t,x)=F(t,x)}$$

dónde

$${\displaystyle D_{x}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial }{\partial x}}.}$$

Podemos reducir esto a la solución de una EDO homogénea usando el siguiente método. Todos los pasos se realizan formalmente, ignorando los requisitos necesarios para que la solución esté bien definida.

Primero, tomando la transformada de Fourier en x tenemos

$${\displaystyle P(\partial _{t},\xi ){\hat {u}}(t,\xi )={\hat {F}}(t,\xi ).}$$

Supongamos que es una EDO de orden m en t . Sea el coeficiente del término de mayor orden de . Ahora por cada vamos a resolver ${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )}$ ${\displaystyle a_{m}}$ ${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )}$ ${\displaystyle \xi }$ ${\displaystyle G(t,\xi )}$

$${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )G(t,\xi )=0,\;\partial _{t}^{j}G(0,\xi )=0\;{\text{ for }}0\leq j\leq m-2,\;\partial _{t}^{m-1}G(0,\xi )=1/a_{m}.}$$

Definir . entonces tenemos ${\displaystyle H(t,\xi )=G(t,\xi )\chi _{[0,\infty )}(t)}$

$${\displaystyle P(\partial _{t},\xi )H(t,\xi )=\delta (t)}$$

distribuciones

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {u}}(t,\xi )&=(H(\cdot ,\xi )\ast {\hat {F}}(\cdot ,\xi ))(t)\\&=\int _{0}^{\infty }G(\tau ,\xi ){\hat {F}}(t-\tau ,\xi )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{t}G(t-\tau ,\xi ){\hat {F}}(\tau ,\xi )\,d\tau \end{aligned}}}$$

x

Ver también

• Potencial retardado
• Propagador
• Respuesta impulsiva
• Variación de parámetros

Referencias

1. Fritz John, "Ecuaciones diferenciales parciales", Nueva York, Springer-Verlag, 1982, 4ª ed., 0387906096