integral de duhamel

En teoría de las vibraciones , la integral de Duhamel es una forma de calcular la respuesta de estructuras y sistemas lineales a una perturbación externa arbitraria que varía en el tiempo.

Introducción

Fondo

La respuesta de un sistema lineal de un solo grado de libertad (SDOF) amortiguado viscosamente a una excitación mecánica variable en el tiempo p ( t ) viene dada por la siguiente ecuación diferencial ordinaria de segundo orden

${\displaystyle m{\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+c{\frac {dx(t)}{dt}}+kx(t)=p(t)}$

donde m es la masa (equivalente), x representa la amplitud de vibración, t el tiempo, c el coeficiente de amortiguación viscosa y k la rigidez del sistema o estructura.

Si un sistema inicialmente descansa en su posición de equilibrio , desde donde actúa sobre él un impulso unitario en el caso t = 0, es decir, p ( t ) en la ecuación anterior es una función delta de Dirac δ ( t ), entonces resolviendo la ecuación diferencial se puede obtener una solución fundamental (conocida como función de respuesta de impulso unitario ) ${\textstyle x(0)=\left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0}$

${\displaystyle h(t)={\begin{cases}{\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}t}\sin \omega _{d}t,&t>0\\0,&t<0\end{cases}}}$

donde se llama relación de amortiguamiento del sistema, es la frecuencia angular natural del sistema no amortiguado (cuando c =0) y es la frecuencia angular cuando se tiene en cuenta el efecto de amortiguamiento (cuando ). Si el impulso ocurre en t = τ en lugar de t =0, es decir , la respuesta al impulso es ${\textstyle \varsigma ={\frac {c}{2{\sqrt {km}}}}}$ ${\textstyle \omega _{n}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$ ${\textstyle \omega _{d}=\omega _{n}{\sqrt {1-\varsigma ^{2}}}}$ ${\displaystyle c\neq 0}$ ${\displaystyle p(t)=\delta (t-\tau )}$

${\displaystyle h(t-\tau )={\frac {1}{m\omega _{d}}}e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]}$， ${\displaystyle t\geq \tau }$

Conclusión

Considerando la excitación p ( t ) que varía arbitrariamente como una superposición de una serie de impulsos:

${\displaystyle p(t)\approx \sum _{\tau <t}{p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot \delta }(t-\tau )}$

entonces se sabe por la linealidad del sistema que la respuesta global también puede descomponerse en la superposición de una serie de impulsos-respuesta:

${\displaystyle x(t)\approx \sum _{\tau <t}{p(\tau )\cdot \Delta \tau \cdot h}(t-\tau )}$

Dejando y reemplazando la sumatoria por la integración , la ecuación anterior es estrictamente válida ${\displaystyle \Delta \tau \to 0}$

${\displaystyle x(t)=\int _{0}^{t}{p(\tau )h(t-\tau )d\tau }}$

Sustituyendo la expresión de h ( t - τ ) en la ecuación anterior se obtiene la expresión general de la integral de Duhamel.

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{m\omega _{d}}}\int _{0}^{t}{p(\tau )e^{-\varsigma \omega _{n}(t-\tau )}\sin[\omega _{d}(t-\tau )]d\tau }}$

Prueba matemática

La ecuación de equilibrio dinámico SDOF anterior en el caso p ( t ) = 0 es la ecuación homogénea :

${\displaystyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)=0}$, dónde ${\displaystyle {\bar {c}}={\frac {c}{m}},{\bar {k}}={\frac {k}{m}}}$

La solución de esta ecuación es:

${\displaystyle x_{h}(t)=C_{1}\cdot e^{-{\frac {1}{2}}\left({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}}\right)t}+C_{2}\cdot e^{{\frac {1}{2}}\left(-{\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4\cdot {\bar {k}}}}\right)t}}$

La sustitución: conduce a: ${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\left({\bar {c}}-{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}\right),\;B={\frac {1}{2}}\left({\bar {c}}+{\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}}\right),\;P={\sqrt {{\bar {c}}^{2}-4{\bar {k}}}},\;P=B-A}$

${\displaystyle x_{h}(t)=C_{1}e^{-B\cdot t}\;+\;C_{2}e^{-A\cdot t}}$

Una solución parcial de la ecuación no homogénea: , donde , podría obtenerse mediante el método lagrangiano para derivar soluciones parciales de ecuaciones diferenciales ordinarias no homogéneas . ${\textstyle {\frac {d^{2}x(t)}{dt^{2}}}+{\bar {c}}{\frac {dx(t)}{dt}}+{\bar {k}}x(t)={\bar {p}}(t)}$ ${\textstyle {\bar {p}}(t)={\frac {p(t)}{m}}}$

Esta solución tiene la forma:

${\displaystyle x_{p}(t)={\frac {\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}\cdot e^{-At}-\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}\cdot e^{-Bt}}{P}}}$

Ahora sustituyendo: donde se calcula la primitiva de x ( t ) en t = z , en el caso z = t esta integral es la primitiva misma, se obtiene: ${\textstyle \left.\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{At}dt}\right|_{t=z}=Q_{z},\left.\int {{\bar {p(t)}}\cdot e^{Bt}dt}\right|_{t=z}=R_{z}}$ ${\textstyle \left.\int x(t)dt\right|_{t=z}}$

${\displaystyle x_{p}(t)={\frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}}$

Finalmente la solución general de la ecuación no homogénea anterior se representa como:

${\displaystyle x(t)=x_{h}(t)+x_{p}(t)=C_{1}\cdot e^{-Bt}+C_{2}\cdot e^{-At}+{\frac {Q_{t}\cdot e^{-At}-R_{t}\cdot e^{-Bt}}{P}}}$

con derivada del tiempo:

${\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=-Ae^{-At}\cdot C_{2}-Be^{-Bt}\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}\left[{\dot {Q_{t}}}\cdot e^{-At}-AQ_{t}\cdot e^{-At}-{\dot {R_{t}}}\cdot e^{-Bt}+BR_{t}\cdot e^{-Bt}\right]}$, dónde ${\displaystyle {\dot {Q_{t}}}=p(t)\cdot e^{At},{\dot {R_{t}}}=p(t)\cdot e^{Bt}}$

Para encontrar las constantes desconocidas se aplicarán condiciones iniciales cero: ${\displaystyle C_{1},C_{2}}$

${\displaystyle x(t)|_{t=0}=0:C_{1}+C_{2}+{\frac {Q_{0}\cdot 1-R_{0}\cdot 1}{P}}=0}$⇒ ${\displaystyle C_{1}+C_{2}={\frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}}$

${\displaystyle \left.{\frac {dx}{dt}}\right|_{t=0}=0:-A\cdot C_{2}-B\cdot C_{1}+{\frac {1}{P}}\cdot [-A\cdot Q_{0}+B\cdot R_{0}]=0}$⇒ ${\displaystyle A\cdot C_{2}+B\cdot C_{1}={\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]}$

Ahora combinando ambas condiciones iniciales, se observa el siguiente sistema de ecuaciones:

${\displaystyle \left.{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\;+&&\;C_{2}&&\;=&&\;{\frac {R_{0}-Q_{0}}{P}}&\\B\cdot C_{1}&&\;+&&\;A\cdot C_{2}&&\;=&&\;{\frac {1}{P}}\cdot [B\cdot R_{0}-A\cdot Q_{0}]\end{alignedat}}\right|{\begin{alignedat}{5}C_{1}&&\;=&&\;{\frac {R_{0}}{P}}&\\C_{2}&&\;=&&\;-{\frac {Q_{0}}{P}}\end{alignedat}}}$

La sustitución inversa de las constantes y en la expresión anterior para x ( t ) produce: ${\displaystyle C_{1}}$ ${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {Q_{t}-Q_{0}}{P}}\cdot e^{-A\cdot t}-{\frac {R_{t}-R_{0}}{P}}\cdot e^{-B\cdot t}}$

Reemplazar y (la diferencia entre las primitivas en t = t y t =0) con integrales definidas (por otra variable τ ) revelará la solución general con condiciones iniciales cero, a saber: ${\displaystyle Q_{t}-Q_{0}}$ ${\displaystyle R_{t}-R_{0}}$

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{P}}\cdot \left[\int _{0}^{t}{{\bar {p}}(\tau )\cdot e^{A\tau }d\tau }\cdot e^{-At}-\int _{0}^{t}{{\bar {p}}(\tau )\cdot e^{B\tau }d\tau }\cdot e^{-Bt}\right]}$

Finalmente sustituyendo , en consecuencia , donde ξ<1 se obtiene: ${\displaystyle c=2\xi \omega m,\;k=\omega ^{2}m}$ ${\displaystyle {\bar {c}}=2\xi \omega ,{\bar {k}}=\omega ^{2}}$

${\displaystyle P=2\omega _{D}i,\;A=\xi \omega -\omega _{D}i,\;B=\xi \omega +\omega _{D}i}$, donde y i es la unidad imaginaria . ${\displaystyle \omega _{D}=\omega \cdot {\sqrt {1-\xi ^{2}}}}$

Sustituir estas expresiones en la solución general anterior con condiciones iniciales cero y usar la fórmula exponencial de Euler conducirá a cancelar los términos imaginarios y revelará la solución de Duhamel:

${\displaystyle x(t)={\frac {1}{\omega _{D}}}\int _{0}^{t}{{\bar {p}}(\tau )e^{-\xi \omega (t-\tau )}\sin(\omega _{D}(t-\tau ))d\tau }}$

Ver también

• principio de duhamel

Referencias

• RW Clough, J. Penzien, Dinámica de estructuras , McGraw Hill Inc., Nueva York, 1975.
• Anil K. Chopra, Dinámica de estructuras: teoría y aplicaciones a la ingeniería sísmica , Pearson Education Asia Limited y Tsinghua University Press, Beijing, 2001
• Leonard Meirovitch, Elementos de análisis de vibraciones , McGraw Hill Inc., Singapur, 1986

Enlaces externos

• Fórmula de Duhamel en "Dispersive Wiki".